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江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷
一、单选题
1．-2025的倒数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5
6．用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
二、填空题
7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
8．成人血管首尾相连的总长度大约是米，将用科学记数法表示为 ．
9．计算的结果是 ．
10．关于的方程的两个根为，．若，则 ．
11．若正比例函数与函数的图像没有交点，则k的值可以是 （写出一个即可）．
12．若一组数据2，3，4，5，7的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则 （填“＞”“＜”或“＝”）．
13．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则 °．
14．如图，在⊙O中，C为上的点，．若，则 ．

15．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是 ．

16．如图，在中，，，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程组：．
18．化简并求值：，其中．
19．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
(1)这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
(2)分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
(3)结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
20．一个不透明的袋子中，装有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出个球是红球的概率为______ ；
(2)搅匀后从中任意摸出个球，求个都是红球的概率．
21．如图，在平行四边形中，，位于，上，，分别平分，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足条件______ 时，四边形是矩形．
22．已知，试说明．
23．如图，为了测量悬停在空中的两架无人机，之间的距离，数学兴趣小组在地面选定两个相距100米的观测点，．在观测点测得，的仰角均为，在观测点测得的仰角为，的仰角为．求，之间的距离．（参考数据：，，
24．如图，为外一点，用两种不同的方法过点作直线交，于点，，使得要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明
25．两地相距，甲、乙两车从地驶往地，甲车出发后，乙车以的速度出发，追上甲车后，甲车的速度变为原来的倍设甲车出发的时间为(单位：h)，甲、乙两车离地的距离为，(单位：km)，图中的线段表示与之间的函数关系．
(1)点的坐标为______ ；
(2)若两车同时到达地，求乙车追上甲车前与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)若甲车在乙车到达地后的内到达，直接写出乙车追上甲车所用时间的范围．
26．如图，内接于，，是上一点，过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，．
求的长；
的长为______ ．
27．【积累经验】：
（1）如图，在中，，垂足为，矩形的顶点，分别位于，上，，位于上，设，．
Ⅰ当，，设，，则______用含有的代数式表示．
Ⅱ设矩形的面积为，求的最大值用含有、的代数式表示．
【问题解决】：
（2）如图，在四边形中，，，，，现从中画一个面积最大的矩形，要求矩形的一边落在上，直接写出最大矩形的面积与的关系式及对应的取值范围．
《江苏省南京市2025年中考数学模拟练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C B A A C
1．C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
2．C
【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【详解】解：．
故选：C．
3．B
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键．
4．A
【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，

∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解．
【详解】如图，过点A作，垂足为F，
设，，
∵轴，，
∴轴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解．
【详解】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故选：C．
7．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
．
．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．按照科学记数法的表示形式改写即可．
【详解】解：．
故答案为：．
9．3
【分析】根据乘法分配律和二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
10．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算即可求出m值．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
解得：
故答案为．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数，时，正比例函数图象过第一、三象限；时，正比例函数图象过第二、四象限；（2）反比例函数，时，反比例函数图象在第一、三象限；时，反比例函数图象在第二、四象限．
【详解】正比例函数与函数的图像没有交点，
，
k的值可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12．＞
【分析】先计算数据的平均数，再根据方差公式计算方差，比较大小即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了方差的计算，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
13．105
【分析】本题主要考查对平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解此题的关键．根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
14．50°
【分析】在优弧上取一点D，连接，，，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：在优弧上取一点D，连接，，，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，添加辅助线构造圆心角和圆周角是解题的关键．
15．3
【分析】连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，
∴，
连接，

∵，
∴，
∴
设，
则，
∴，
解得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助圆、应用圆周角定理得到是关键．
以O为圆心，长为半径作外接圆，连接，由圆周角定理推出是等腰直角三角形，得到，当时，长最小，由锐角的正弦求出长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点O，
∴，
∴点O是外接圆的圆心，
如图：以O为圆心，长为半径作外接圆，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当长最小时长最小，
当时，长最小，
∵，
∴，
∴，
∴长的最小值是．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．利用加减消元法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
18．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先算括号里面的，再算除法即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．(1)6，5.5
(2)西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350
(3)西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加
【分析】此题考查了条形统计图，折线统计图，中位数，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）根据统计图数据解答即可．
【详解】（1）由题意得，这四周西红柿销售单价的众数为6，黄瓜销售单价的中位数为：；
故答案为：6，5.5；
（2）西红柿销量的平均数，
黄瓜销量的平均数，
西红柿销量的方差，
黄瓜销量的方差；
（3）答案不唯一，如：西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中2个都是红球的结果有6种，
个都是红球的概率为．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线定义即可完成证明；
根据等腰三角形的性质可得，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）当满足时，四边形是矩形，理由如下：
∵，平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
22．见解析
【分析】本题考查了分式化简求值、不等式的性质以及非负数的性质，先作差，然后根据完全平方公式化简，根据不等式的性质可得到结果，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
【详解】解：，
又，，
，
，
．
23．，之间的距离约为米．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过点作，过点作，垂足分别为、，设为米，则米；然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，最后设为米，则米，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而列出关于的方程，进行计算可求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】
解：过点作，过点作，垂足分别为、，
设为米，
米，
米；
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
设为米，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
、之间的距离约为米．
24．见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．如图，连接，作，交于点，再作交于点，于是可证明四边形为平行四边形，连接交于点，则；如图，连接，作，交于点，再在上截取，则可证明四边形为平行四边形，连接交于点，则．
【详解】解：如图，连接，作，交于点，再作交于点，则过的直线为，直线交于点，所以直线为所作；
如图，连接，作，交于点，再在上截取，则过的直线为，直线交于点，所以直线为所作．
25．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）求出乙从到的时间，可得结论；
（）先根据题意求出相遇后甲车的速度，再求出解析式；
（）设相遇前甲的速度为，列出不等式组 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：由题意，乙从到的时间()，
∴(h)，
∴，
故答案为：，
（2）解：∵，
设的函数表达式为，
将代入得，
∴，
∵两车同时到达，即甲车后来的速度为，
∴甲车的出发速度为，
∴乙车追上甲车前的函数表达式为，
∴，
解得，
∴自变量的取值范围，
综上可知，；
（3）解：设相遇前甲的速度为，
则，
解得：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解一元二次方程，从函数图象提取有用信息是解题的关键．
26．(1)证明见解析
(2)；
【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用三角形内角和定理可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，再利用等角对等边即可解答；
（2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
②过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后求出的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）．（2）当时，；当时，；当时，．
【分析】
（1）（Ⅰ）根据矩形的判定与性质得出，，即可证明，可得，即可求解；
（Ⅱ）设，则，由得出，表示出，利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用三角函数求出、的长，利用面积法求出的长，设，，分和两种情况，得出与的关系式，表示出，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）（Ⅰ）∵四边形是矩形，，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（Ⅱ）设，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为．
（2）如图，延长，交于点，过点作于，交于，
，
，，
，
，
，
，，，
，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
设，，
①当时，
，
∴，
，即，
，
∴
∵，
∴当时，时有最大值，最大值为，
当时，时有最大值，最大值为
如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即时，时有最大值为，
当时，即时，时有最大值为，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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