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湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷
一、单选题
1．如图，比数轴上点表示的数大2的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．已知某三角形的三边长分别为10，3，，则的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
5．一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
6．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．

根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（　　）
A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟 D．方差为0
7．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
8．某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）

A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
10．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
11．已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为 ．
12．的立方根是 ．
13．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．

14．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因下雨需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米．设实际每天施工米，则可列方程为 ．
15．为提高学生身体素质，某校举办了“阳光体育节”活动，下表是小方同学参加活动的得分情况：
项目 跑步 花样跳绳 立定跳远
得分 90 85 72
评总分时，按跑步占，花样跳绳占，立定跳远占考评，则小方同学的最终得分为 分．
16．如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．

三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值： ，其中
20．为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：表示“非常支持”，表示“支持”，表示“不关心”，表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了________名居民进行调查统计，扇形统计图中，类所对应的扇形圆心角的大小是________；
（2）将条形统计图补充完整；
（2）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的类居民大约有多少人？
21．如图，矩形中，，，点、分别在、上，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)求线段的长．
22．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？
23．如图，在中，，以为直径的⊙O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．
24．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．
(1)求出二次函数和所在直线的表达式；
(2)在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；
(3)连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
25．对平面直角坐标系中的点，定义，我们称d为的幸福指数．对于函数图象上任意一点，若它的幸福指数恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数就是一个幸福函数，理由如下：设为上任意一点，，，，∴．∴是一个幸福函数．
(1)若点P在反比例函数的图象上，且它的幸福指数，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
(2)一次函数是幸福函数吗？请判断并说明理由；
(3)若二次函数是幸福函数，试求出m的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大2的数是；
故选：C．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
2．D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：根据三角形的三边关系定理得：，
解得：，
四个选项中，符合的只有9，
故选：D．
5．A
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
6．B
【分析】分别求出平均数、众数、中位数、方差，即可进行判断．
【详解】解：A．平均数为（分钟），故选项错误，不符合题意；
B．在7个数据中，67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，故选项正确，符合题意；
C．7个数据按照从小到大排列为：，中位数是70分钟，故选项错误，不符合题意；
D．平均数为，
方差为，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、众数、中位数、方差，熟练掌握各量的求解方法是解题的关键．
7．A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据概率公式可直接求解．
【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．
9．B
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得：，
∴游玩行走的速度为（米/分），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为，
∴，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）；
故选B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
10．B
【分析】本题主要考查了圆的面积，先根据含直角三角形的性质求出，进而求出正十二边形的面积，即圆的面积，再根据圆的面积公式可得答案．
【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，过A作于，
在正十二边形中，，
，
，
正十二边形的面积为，
，
，
的近似值为3.
故选：B．
11．5或6；
【分析】解决本题时先明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．因此当1≤t≤10时，先计算出光传播的距离，再将结算结果用科学记数法表示出来．
【详解】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5；
当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6；
因为1≤t≤10，所以n可能为5或6．
故答案为：5或6．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．解决问题的关键在于明确科学记数法的具体要求和正确确定a的值以及n的值．
12．2
【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
13．
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
14．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：设实际每天施工米，由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．84
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，熟记加权平均数公式是解本题的关键．
根据加权平均数公式进行计算即可．
【详解】解：∵按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，
则小红的最终得分为：（分）．
故答案为：84．
16．或或
【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，

∵在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，

当点在的延长线上时，如图所示，则

当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形，
∴
即是直角三角形，

综上所述，旋转角的度数为或或
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．12
【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】解∶原式
．
【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
18．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．，12
【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式的运用，先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，求出的值，再代入求出即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
20．（1）60，；（2）图见解析；（3）该社区表示“支持”的类居民大约有1200人．
【分析】（1）根据C类的条形统计图和扇形统计图的信息可得出总共抽取的人数，再求出D类居民人数的占比，然后乘以即可得；
（2）根据（1）的结论，先求出A类居民的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出表示“支持”的类居民的占比，再乘以2000即可得．
【详解】（1）总共抽取的居民人数为（名）
D类居民人数的占比为
则类所对应的扇形圆心角的大小是
故答案为：60，；
（2）A类居民的人数为（名）
补全条形统计图如下所示：
（3）表示“支持”的类居民的占比为
则（名）
答：该社区表示“支持”的类居民大约有1200人．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）过作于，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
，，，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于，
则四边形是矩形，
，，
，
．
22．（1）甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）至少应安排乙生产线生产32天；（3）再满负荷生产13天能完成任务．
【分析】（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，根据题意列出方程即求解可；
（2）设安排乙生产线生产y天，再根据完成这批任务总运行成本不超过40万元列出不等式求解即可；
（3）根据题意求出原来满负荷生产3天和再满负荷生产13天的产能的和，然后与1440万相比即可解答．
【详解】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有
﹣＝2，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
0.5y+1.2×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解答本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）的值为．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角平分线的定义即可得证；
（2）如图（见解析），先根据角的和差、等量代换可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，设，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出x的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得．
【详解】（1）如图，连接OD
由圆的切线的性质得：
又
则平分；
（2）如图，连接BD
由圆周角定理得：
在和中，
设，则，且
在和中，
，即
解得或（不符题意，舍去）
经检验，是所列分式方程的解
则在中，
故的值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正弦三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
24．(1)；
(2)点的坐标为，
(3)点的坐标为：，
【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为，则，由待定系数法求出所在直线的表达式即可
（2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点的坐标，由直线的解析式求出点的坐标，则，设点的横坐标为，则的坐标为：，的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案；
（3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将点，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为：，
当时，，
，
设所在直线的表达式为：，
将、代入，
得：，
解得：，
所在直线的表达式为：；
（2）轴，轴，
，
只要，四边形即为平行四边形，
，
点的坐标为：，，
将代入，即，
点的坐标为：，，
，
设点的横坐标为，
则的坐标为：，的坐标为：，
，
由得：，
解得：（不合题意舍去），，
当时，，
点的坐标为，；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：，
，
又与有共同的顶点，且在的内部，
，
只有时，，
，
、，，
，
由（2）得：，，的坐标为：，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为：，．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)满足条件的P点坐标为或
(2)一次函数是幸福函数，理由见解析
(3)若二次函数是幸福函数，m的取值范围为
【分析】（1）设点P的坐标为，根据幸福指数的定义，即可得出关于m的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设为上的一点，分、和三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数是幸福函数；
（3）设为上的一点，由且，可知分、、、四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．
试题解析：
【详解】（1）解：设点P的坐标为，
，
解得：，，
经检验，，是原分式方程的解，
∴满足条件的P点坐标为或．
（2）解：一次函数是幸福函数，理由如下：
设为上的一点，，
当时，；
当时，；
当时，．
∴对于上任意一点，它的幸福指数恒成立，
∴一次函数是幸福函数．
（3）解：设为上的一点，，
，，
∴分、、、四段考虑．
①当时，，
当时，d取最小值，最小值为，
，
解得： ；
②时，，
，
，
解得：；
③当时，
当时，d取最小值，最小值为m，
；
④当时，，
．
综上所述：若二次函数是幸福函数，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、配方法、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分、和三种情况找出d的取值范围；（3）分、、、四段考虑．
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