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湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷
一、单选题
1．《九章算术》记载的余和不足等概念体现了中国是最早采用正负数表示相反意义量的国家，若收入10元记作元，则支出136元记作（ ）
A．元 B．元 C．0元 D．元
2．小明同学从正面观察如图所示的几何体，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．据党中央2024年发布的中国共产党党内统计公报，截至2023年12月底，全国约共有党员9675万．数据9675万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装 甲 乙 丙 丁
销售量（盒）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．《孙子算经》中记载了这样一道题：”今有百鹿进城，每家取一鹿，不尽，又三家合取一鹿，恰尽”．问：有多少户人家？大意为：有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户共分一头，恰好分完，若设共有户，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
9．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
测试次数 1 2 3 4 5
甲 5 10 9 3 8
乙 8 6 8 6 7
A． B． C． D．无法确定
10．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在二次根式中，字母a的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．计算的结果是 ．
14．如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深cm，锯道cm，则这根圆柱形木材的半径是 cm．
15．为了从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为环，方差分别是，从稳定性的角度看， 的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）．
16．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是 ．（结果保留）
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组:
19．人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
(1)填空： ；
(2)求的度数．
20．端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节、重五节、天中节等，日期在每年农历五月初五，是集祈福辟邪、拜神祭祖、欢庆饮食和娱乐为一体的民俗大节．某校今年6月开设了以“端午”为主题的活动课程，每位学生可在“折纸龙”、“做香囊、“采艾叶””与“包粽子”四门课程中任意且只选择其中一门，学校统计调查了本校部分学生的选课情况，小明据此绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
(1)补全条形统计图，并求本次被调查的学生人数．
(2)该校共有2000名学生，若每间教室最多可安排40名学生，试估计开设“包粽子“课程的教室至少需要几间．
21．如图，在扇形中，，，分别以A、B两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，连接与弧交于点P，连接与交于点D．
(1)求证：射线为的角平分线；
(2)求线段的长度．
22．今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一，4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右，长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）
①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．（ ）
②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．（ ）
(2)另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次，若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率．
23．如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
24．如图1，A、B、C是⊙O上三点，，，延长，交于点E，过点O作的平行线交射线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若，求的长；
(3)设的长为x，记，，，四边形的面积分别为，，，．
小乐：存在实数x，使得成立；
小善：对于任意实数x，都有成立．
请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理．
25．我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点、满足，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．
(1)判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“√”，错的打“×”．
①（　　　）；
②（　　　）；
③（　　　）；
(2)是否存在A、B两点既是一次函数上的“冲刺点”，又是二次函数上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由．
(3)若“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1，若以A、B为顶点的正方形边长为1，求c值．
《湖南省长沙市2025年中考数学模拟练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B A C C D A B
1．B
【分析】此题考查了正数与负数．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法．
【详解】解：收入10元记作元，则支出136元应记作元，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是几何体的三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【详解】解：从正面看到的平面图形为等腰梯形.
故选：A．
3．B
【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
4．B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可直接得出答案．
【详解】解：，，
，
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握“两直线平行，内错角相等” ．
5．A
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】9675万，
故选：A．
6．C
【分析】根据众数的意义结合题意即可得到乙的销量最好，要多进即可得到答案．
【详解】解：由表格可得，
，众数是乙，
故乙的销量最好，要多进，
故选C．
【点睛】本题考查众数的意义，根据众数最多销量最好多进货．
7．C
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有户，根据“有100头鹿，首先每户分一头鹿，发现还有剩余，将剩下的鹿给每3户共分一头，恰好分完，”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解： 共有户，
则由题意可得，，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再求出甲、乙的方差即可得出答案．
【详解】解：甲的平均数为，
甲的方差为，
乙的平均数为，
乙的方差为，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10．B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
11．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
12．．
【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键．
13．3
【分析】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式．
同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．
【详解】
故答案为：3．
14．10
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用．设圆心为，连接，依题得，为的中点，则三点共线，，设圆的半径为，由，则，再用勾股定理列出等量关系求解即可．
【详解】解：如图，设圆心为，连接，
依题得，为的中点
则三点共线，
设圆的半径为，由，则
在中，由勾股定理得
解得．
故答案为：10．
15．甲
【分析】本题主要考查方差的知识，解答本题需掌握方差的意义； 根据题意得到甲、乙两人成绩的方差分别为：； 然后再结合方差的意义并比较出甲和乙的方差即可得到结论．
【详解】∵
∴，
根据方差越小，越稳定，
故选甲，
故答案为：甲．
16．
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥母线长，以及扇形面积公式．
先求出底面半径，再求出圆锥的母线长，最后根据扇形，即可解答．
【详解】解：∵该圆锥底面周长为，
∴该圆锥底面半径为，
根据勾股定理可得：该圆锥母线，
∴该吊灯外罩的侧面积，
故答案为：．
17．
【分析】】本题考查了实数的运算，先根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】原式．
18．.
【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
【详解】
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞-4，
所以不等式组的解集为：-4＜x＜1．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查折叠的性质， 三角函数的应用，理解折叠的性质是解本题的关键；
（1）根据折叠判断线段关系即可计算比值；
（2）由（1）可知，可得到，继而得到，即可得解；
根据折叠得到对应的边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
（2）由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
20．(1)50人，图见解析
(2)18间
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，求扇形统计图中圆心角，结合条形统计图和扇形统计图统计图求出相关数据是解题的关键．
（1）用“包粽子”的人数除以，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙”“做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统计图即可．
（2）用总人数乘样本中“包粽子”所占百分比得出选择“包粽子”课程的人数，再除以40即可．
【详解】（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，
∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图如下：
（2）（间），
答：估计开设“包粽子“课程的教室至少需要18间．
21．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）连接，，根据全等三角形的判定证明，可得，即可得出结论．
（2）结合等腰三角形的性质可得，，则，则．
【详解】（1）证明：连接，，
由作图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的角平分线．
（2）解：∵，为的平分线，
∴，，
∴．
在中，，
∵，
∴．
22．(1)×，√；
(2)20%．
【分析】（1）根据外地游客的占比可求本地游客的占比，根据“文和友5天接待客人约30万人次”可求出平均每天接待客人的数量，从而作出判断；
（2）设年平均增长率为x，根据“共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次”，可列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
（2）设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%．
【点睛】本题考查实际问题与一元二次方程，读懂题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是关键．
（1）根据垂直的定义得到，根据平行线的判定定理得到即可证明结论．
（2）根据平行线的性质得到根据平行四边形的性质得到，根据三角函数的定义得到，设，，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得．
．
24．(1)见解析
(2)
(3)小乐不正确，小善正确，证明见解析
【分析】（1）通过圆的半径相等，得到等腰三角形，即可求解．
（2）通过已知条件的边相等，得到角相等，得到线段平行，根据平行四边形的性质，即可求解．
（3），，，假设，，，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵A、C两点都在圆上，
∴，
为等腰三角形，，
同理，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：小乐不正确，小善正确，
理由如下，
小乐：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
小善：假设成立．
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题关键在于熟练掌握平行线的性质，平行四边形的性质．
25．(1)①×；②√；③×
(2)不存在，理由见解析
(3)时，或；时，或
【分析】（1）根据，得出一组冲刺点在直角坐标系中关于原点对称，然后对三个函数图象进行判断即可确定结论；
（2）先根据函数上有“冲刺点”，得出，然后把两个函数解析式联立得出关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得出，进而得出两函数不会存在共同的“冲刺点”；
（3）根据“冲刺点”的关于原点对称，设出A、B两点的坐标并代入,求出两点坐标进而判定两点在直线上，然后由以A、B为顶点的正方形边长为1，结合的面积为1，得出点P的轨迹所在两条直线的解析式，再由抛物线分别与两条直线有且仅有3个交点，得出抛物线与其中一条直线相切，进而通过两条直线分别与抛物线的解析式联立，由根的判别式求出c值．
【详解】（1）解：根据题意，，则，，A、B两点关于原点对称，故“冲刺函数”存在一组冲刺点，这组冲刺点在平面直角坐标系里关于原点对称．
①对于，其图象为未经过原点的直线，则图象上不存在关于原点对称的两个点，
故不是“冲刺函数”．
故答案为：×；
②∵是反比例函数，其图象是中心对称图形，
∴函数上存在多组冲刺点，如和，则函数是“冲刺函数”；
故答案为：√；
③函数的图象为一开口向上，顶点坐标为，与x轴相切的抛物线，图象上任意两点都不关于原点对称，所以函数不存在一组冲刺点，则该函数不是“冲刺函数”；
故答案为：×；
（2）根据题意，函数和图象的两个交点A和B是一组“冲刺点”．
对于函数，当时，其图象为经过原点的直线，存在“冲刺点”．
令，把代入，得，
由根与系数的关系可知，则两函数图象的两个交点不是“冲刺点”．
故两函数不存在共同的“冲刺点”．
（3）设“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点坐标为、．
把A、B两点坐标分别代入函数，联立方程组得：
解得，，
∴A、B两点在直线上．
∴．
∵以A、B为顶点的正方形边长为1，
∴当A、B两点为正方形的对角线顶点时，；
当A、B两点为正方形的相邻顶点时，；
又∵，其中h代表三个点P到直线的距离．
∴当时，；时，．
如图所示，，直线和分别是到直线距离为h的直线，均可由向上或向下平移h单位得到．当“冲刺函数”的图象开口向上，并且与相切，则抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1；同理，当“冲刺函数”的图象开口向下，并且与相切，抛物线上也有且只有3个点P满足的面积为1．
则两直线解析式：：，：，
因为与相切只有一个交点，把代入得：，令，则，
∴当时，或，
同理，把代入得：令，则，
∴当时，或．
故当时，或；当时，或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对新定义的理解，三角形面积，正方形性质，一次函数的图象和性质等，综合性强．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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