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二次函数压轴题--全等与相似存在性问题常见考点
预测练 2025年中考数学三轮复习备考
1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
(1)求抛物线与直线的函数解析式；
(2)设点的坐标为，求面积的最大值；
(3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
6．如图．抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，A点在对称轴的左侧，B点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与直线交于点D，连接，，求的面积；
(3)点E为直线上一动点，过点E作y轴的平行线与抛物线交于点F，是否存在点E，使得以点D，E，F为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标；
8．如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．
9．已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，是第四象限内抛物线上一点，分别连接，，，．若，求点的坐标；
(3)如图2，直线交x轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，二次函数的图象与直线交于、两点．
(1)请直接写出关于x的不等式的解集：______；
(2)求二次函数表达式；
(3)点E是线段（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线于点N、若以点P，N，A为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标；
(3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上的动点，且位于第一象限，过点P作y轴的平行线交x轴于点M，连接，是否存在这样的点P，使得以点P、A、M为顶点的三角形与相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质可求的取值范围；
（3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；
（2）令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；
（3）存在
到轴的距离为，由图象可知，
则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
∵关于x轴对称
∴与全等，
∵关于抛物线的对称轴对称
∴与全等
2．(1)该二次函数的表达式为；
(2)满足条件的点坐标为．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：设，
轴，为第一象限内抛物线上一点，
，，，
，
与相似，
或，
或．
解得：，或，．
，
．则
与相似，满足条件的点坐标为．
3．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)点的坐标为或，点的坐标为或；
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解；
（3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解．
【详解】（1）解：把和代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴，把代入得：，
∴，
令，解得：，∴，
令，则，解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
∴直线的解析式为，
设直线与对称轴相交于点M，如图，
把代入直线的解析式为得：，
∴，
∴；
（3）解：
由（2）得：，，，对称轴，
∴，
由题意得：，
则当时，以为顶点的三角形与全等，
设点，
当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得，
∴，
∴点，
∴点或；
当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，，
此时点或；
综上：点的坐标为或，点的坐标为或；
4．(1)，
(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
5．(1)，
(2)当时有最大值
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）由已知对称轴可得，再将点，代入，即可求二次函数的解析式，再由待定系数法求直线的解析式即可；
（2）由的坐标为，可得，，求出的长度，在利用坐标求出高的长度，即可用三角形面积公式求出，进而求出的最大值．
（3）由题意可知是直角三角形，分两种情况求解：当时，过点作轴交于，证明，再由边的比例关系求出的值；当时，轴，可得点纵坐标为，由此可求的值．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线
则
将点，代入
解得
抛物线的解析式为
设直线的解析式为
将点，代入
解得
直线的函数解析式为
（2）点M的坐标为，轴，
，，
，
，
点在线段上，
当时有最大值
（3）存在这样的点，使，理由如下：
，
与相似时由两种情况：
①当时，，
过点作轴交于点，
，
，
，
，又，
，
，，，，，
，经检验，是分式方程的根，
点的坐标为
②当时，，
则轴，
点纵坐标为，
，
或（舍去）
点的坐标为
综上所述：点的坐标为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
6．(1)
(2)2
(3)或或或
【分析】（1）把点，代入解析式中，即可求解；
（2）连接，由点A与点B关于对称轴对称即可得到点A的坐标，从而得到的长，待定系数法求出直线的解析式，从而求得点D的坐标，进而得到的高，根据，结合三角形的面积公式即可解答；
（3）分两种情况讨论：①当时，②当时，与相似，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图1所示，连接．

∵抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵将代入得：，
∴
设对称轴与x轴的交点为G，
∴．
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图2所示：当时．

∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴点F的纵坐标为1．
将代入抛物线的解析式得；，解得：，，
∵将代入得：，
∴．
∵将代入得：，
∴的坐标为．
如图3所示：当时，

∵，，
∴．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，即，
∴点F在直线上，
∴点F是直线与抛物线的交点．
∵，，
∴直线的解析式为，
解方程组得或，
∴点或，
∵轴，
∴点E的横坐标为1或4，
∴将代入得，
∴．
将代入得，
∴．
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，三角形的面积，相似三角形的判定，函数图象的交点，综合运用相关知识是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)点坐标为或或或，或或或
【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解；
（3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可．
【详解】（1）解：把代入得；
把代入得．
，．
抛物线经过三点，
，
解得．
抛物线的解析式为；
（2）过点作垂直于轴交于点，设，则，
则，
，
当时，最大，此时．
当坐标为时，取得最大值．
（3）∵，
∴抛物线对称轴为直线．
∵过点P作l的垂线，垂足为D，
∴，
∵，
∴，
∴，．
设，则
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或，
，
或．
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或，
，
或．
综上：点坐标为或或或，或或或．
【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键．
8．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角，
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴点F的纵坐标为2，
把代入得：
，
解得：，，
∴的横坐标为，
此时；
当时，过点F作轴于点G，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
此时；
综上，或；
（3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理得：，
∴当取最小值时，的值最小，
显然点在直线上运动，
作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即取得最小值，
∵点B关于直线对称的对称的点是点，，
∴，
设直线的解析式是：，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式是：，
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是，
∴，
根据平移可知：，，
∴四边形为平行四边形，
∵N是对角线与的交点，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
9．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据抛物线的顶点可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）如图，过作于，设，由，结合求解即可；
（3）求出点坐标后，可证明，设，分两种情况讨论：①当时，由，即可求坐标；②当时，由即可求坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，点为抛物线的顶点，
∴可设抛物线解析式为，
可有，
∴，
∴抛物线为：；
（2）当时，
解得：，，
∴，，
如图，过作于，设，
∴，
，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴；
（3）如图，连接，，
∵，两点的坐标分别为，，
故直线的解析式为：，
令，，则，
∴，且，
∴，即，
又∵点在线段上，设，
∴，
则，，
由题意知：相似，
情况①，当时，，
∴，解得，满足条件，
此时的坐标为；
情况②，当时，，
∴，解得，满足条件，
此时的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）利用待定系数法求解析式即可；
（3）由，求出直线解析式为，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点；当点E与点B重合时，即点P与点B重合，可证明此时；当点E与点B不重合时，令，则，，由，得，故，因而有，即，求出的值即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与直线交于、两点
∴当时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式的解集为；
（2）将、两点代入得，
，解得
∴二次函数表达式为；
（3）解：∵，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
如图，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，
∵，
∴，
当点E与点B重合时，此时点P与点B重合，且此时，
∴此时，符合题意，
∴此时点P的坐标为；
当点E不与点B重合时，设，则，，
由题意可知，不可能垂直，即，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或，
经检验时方程的解，
∴．
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形和求一次函数解析式，灵活运用知识点是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，全等三角形的性质是解题的关键；
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）求出直线的解析式，可得从而得到，进而得到即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解．
【详解】（1）解：将代入，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
解得：
∴直线的解析式为，
设
当时，最大，最大为4，
（3）解：存在，理由如下：
抛物线的解析式为，
，
与全等，
当时，点与点关于对称轴对称，
故；
当时，点重合，故，
综上，或．
12．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B、D的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明．再由，则要使与相似，分两种情况讨论：当时， 当时，两种情况列出比例式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将，代入中得，
∴
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设
∵，
∴．
又∵，对称轴为直线，
∴，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∵点P在第一象限， 即点P位于点B的右侧，
∴，
要使与相似，分两种情况讨论：
①当时，，解得，（舍去），
②当时，，解得，（舍去），）
综上，存在这样的点P，使得以点P、A、M为顶点的三角形与相似，
此时或．
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