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高一下学期数学人教A版（2019）期末达标测试卷A卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若a与b均为实数，且，则( )
A.3 B.4 C.5 D.7
2.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.在所在平面中有一点P满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.如表是某公司员工月收入的资料.
月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是( )
A.平均数和众数 B.平均数和中位数
C.中位数和众数 D.平均数和方差
6.有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数x构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知m，n为异面直线，平面，平面.若直线l满足，，，，则( )
A.， B.与相交，且交线平行于l
C.， D.与相交，且交线垂直于l
8.对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则( )
A.A与B不互斥 B.A与D互斥但不对立
C.C与D互斥 D.A与C相互独立
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.与的夹角为
D.在方向上的投影向量是
10.已知复数，则( )
A. B.
C.为纯虚数 D.z在复平面内对应的点位于第四象限
11.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为( )
A. B.考生成绩的众数为72
C.考生成绩的第70百分位数为75 D.估计该市考生成绩的平均分为70.6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数z满足，，则_________.
13.已知m，n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若m，，，，则；
③是两条异面直线，若，，，，则.
上面的命题中，真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号）
14.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求线段AC的长度；
(2)求的值.
16.（15分）已知：，是同一平面内的两个向量，其中.
(1)若且与垂直，求与的夹角；
(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
(3)，，，求在上的投影向量（用坐标表示）
17.（15分）为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，．整理得到如下频率分布直方图．
(1)求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选2人，求这2人成绩不在同一组的概率．
18.（17分）某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分.如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过.小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投.
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大.
19.（17分）已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为.
(1)若，求；
(2)若复数为纯虚数，求实数a的值；
(3)若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以，，所以，则．故选：C．
2.答案：C
解析：依题意，.故选：C.
3.答案：C
解析：由题设，则，即，则，又，所以.故选：C
4.答案：B
解析：如图，将正四棱台补形为正四棱锥，记，O分别为正四棱台上、下底面的中心，连接，BD，PO，由题意，得，均为等腰直角三角形，，，，，所以，所以正四棱台的体积，故选B.
5.答案：C
解析：公司共有员工人，该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，而25名员工月收入的平均数元，受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量，所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.故选：C
6.答案：C
解析：易知样本数据共6个，，因此样本数据的下四分位数为第2个数，即3；添加一个数构成一组新的样本数据共有7个数，，因此新数据的下四分位数为第2个数，也得为3；所以添加的数x大于等于3即可满足题意，即x可以为3，8，9，12；
在中任选一个作为x共有6种选择，因此所求概率.故选：C
7.答案：B
解析：若，则由平面，平面，可得，这与m，n是异面直线矛盾，故与相交，A错误；
设，过直线n一点，作，设b与n确定的平面为.
因为，所以，又，b与n相交，，所以，因为，所以，又，所以，因为，所以，，又b与n相交，，所以，
又因为，，所以l与a不重合，所以，B正确，D错误；因为，，，所以，C错误.故选：B.
8.答案：D
解析：由，，，即，故A、B互斥，A错误；
由，A、D互斥且对立，B错误；
又，，则，C与D不互斥，C错误；
由，，，所以，即A与C相互独立，D正确.
故选：D
9.答案：ABD
解析：对于A，由题意可得，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量是，故D正确.故选：ABD.
10.答案：ABD
解析：，，A正确；
，B正确；
不是纯虚数，C错误；
z在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.故选：ABD.
11.答案：AD
解析：由频率分布直方图可知，，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误；
同时可知考生成绩的第70百分位数为：，故C错误；
由频率分布直方图可知样本中，考生成绩的平均分为，可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确.故选：AD.
12.答案：
解析：设，，则，得，由，得，
因为，所以.
13.答案：③
解析：若，，，则m与n平行或异面，故①错误；
m，，，，但m与n不一定相交，不一定成立，故②错误；
m，n是两条异面直线，若，，，，则过m的平面与平面相交于直线，有，过n的平面与平面相交于直线，有，m，n异面，，一定相交，，，，，如图所示，由面面平行的判定可知，故③正确.
故答案为：③.
14.答案：
解析：因为，所以，因为，所以，则向量，夹角的余弦值为故答案为：.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)，，
，，
在中，由余弦定理得
，；
(2)在中，由正弦定理得：，，，
，，
在中，由正弦定理得：，，.
16.答案：(1)
(2)且
(3)
解析：(1)由，得，而，
由与垂直，得，则，，
又，所以.
(2)由，，得，，
由与的夹角为锐角，
得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围是且.
(3)由，，，得，即，则，，
又，则，所以在上的投影向量为.
17.答案：(1)，平均数为64.5
(2)
解析：(1)由直方图可得，解得，
平均数为.
(2)成绩在，内的频率分别为0.05，0.1，
则成绩在，内抽取的人数分别为人，人，
成绩在内的2人记为a，b，成绩在内的4人记为1，2，3，4，
从这6人中任选2人的样本空间，
所以.
记2人成绩不在同一组为事件A，则，
所以，所以从这6人中任选2人，这2人成绩不在同一组的概率.
18.答案：(1)
(2)选择都在乙处投篮通过率更大
解析：(1)设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，于是，，
小明得3分的概率.
(2)小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
，
，所以选择都在乙处投篮通过率更大.
19.答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)当时，，则，
所以.
(2)因为为纯虚数，
所以，解得.
(3)，
因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，所以，解得，
因此，实数a的取值范围是.

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