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高一下学期数学人教A版（2019）期末达标测试卷B卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在中，已知，，，则的值为( )
A. B.2 C. D.
2.向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.设复数z满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.已知，，若向量与向量互相垂直，则( )
A. B. C.5 D.
5.已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这组数据一定都小于12的是( )
A.甲：中位数为9，众数为11 B.乙：中位数为9，极差为3
C.丙：平均数为8，极差为4 D.丁：平均数为8，方差为3
7.已知，，，则事件A与B的关系是( )
A.A与B互斥不对立 B.A与B对立
C.A与B相互独立 D.A与B既互斥又相互独立
8.在四面体中，平面平面，是直角三角形，，，则二面角的正切值为( )
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足，则( )
A.z为纯虚数 B.对应的点在第四象限
C. D.z和是方程的两个根
10.某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是( )
A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2
C.平均数为2，方差为2.4 D.中位数为3，方差为2.8
11.已知正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上一动点，则( )
A.异面直线与所成角为
B.平面
C.平面平面
D.三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是_________.
13.一组数据按从小到大排列为1、4、4、4、x、7、8，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是________.
14.已知i虚数单位，若复数的虚部为，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.（13分）已知复数是虚数单位，，且为实数.
(1)设复数，求；
(2)设复数，且复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数n的取值范围.
16.（15分）哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示）.已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
(1)根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；
(2)现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
17.（15分）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，E是线段的中点，G，H分别是线段上靠近P，C的三等分点.
(1)求证：平面平面；
(2)求点A到平面的距离.
18.（17分）如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点.
(1)求的值；
(2)若Q为线段上一点，且，求实数m的值；
(3)若P为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点P的位置.
19.（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以，又，所以，
所以.故选：D.
2.答案：B
解析：由题意知，，，
，所以，又，所以，即与的夹角为.故选：B
3.答案：B
解析：法一：设（），则.由复数相等，得，解得，即，可得，所以的虚部为，故选：B.
法二：由，得，所以.所以的虚部为.故选：B.
4.答案：C
解析：因为，，显然、、、均不为0，所以，即，所以，所以，因为向量与向量互相垂直，所以，则，又，解得.故选：C
5.答案：A
解析：如图，将三棱锥补成三棱柱，点S与重合，正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为O，半径为R，
记和外接圆的圆心分别为和，其半径为r，由正弦定理得，而O为的中点，则，所以该三棱锥的外接球的体积为.
故选：A
6.答案：B
解析：对于A，中位数为9，众数为11，说明11至少有两个数，不妨取两个11，则由中位数可知另外两个数肯定不超过9，故A能判断这组数据都小于12，所以不能选A；
对于B，中位数为9，极差为3，由于极差是5个数中最大与最小的差，由于该组数据由5个整数组成，所以不妨取4个9，1个12，这样不能判断该组数据一定小于12，故选B；
对于C，平均数为，极差为，由于个数都是整数，根据条件可知，这个数中肯定最大数与最小数的差为，则可知最大数肯定大于，最小数肯定小于，故最小数加得最大数肯定小于，从而能判断这组数据一定都小于12，故不能选C；
对于D，平均数为8，方差为3，由方差公式可得，
若存在数12，则，这与方差为3相矛盾，所以最大数也一定小于12，故不能选D；故选：B.
7.答案：C
解析：因，则.注意到，则A与B不互斥，不对立，则ABD错误；又.因为，则事件A与事件B相互独立，则C正确；故选：C.
8.答案：A
解析：设，的中点分别为E，D，连接，，则，因为，所以，又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，而平面，则，因为是直角三角形，，所以，
所以，且，因为，且平面，所以平面，又因为平面，则，所以为二面角的平面角，且.故选：A.
9.答案：BC
解析：因为，所以，对于A，显然不是纯虚数，A不正确；
对于B，，对应的点在第四象限，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，所以z和不是方程的根，D不正确.故选：BC.
10.答案：ABD
解析：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，
可以出现点数6，故D正确．故选：ABD
11.答案：BCD
解析：对于A选项，如图，连接，，，则，
则或其补角为异面直线与所成角，因为，所以，
故异面直线与所成角为，故A选项错误；
对于B选项，由已知得为等腰直角三角形，P是的中点，则，因为平面，平面，所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以，设与交于点E，其中，因为，，所以，，因为，所以，又，平面，，，平面，所以平面，故B选项正确.；
对于C选项，由正方体的性质可知，平面，而平面，所以，因为平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故C选项正确；
对于D选项，由，平面，平面，得平面，
又，所以点Q到平面的距离为定值，又的面积确定，，所以三棱锥的体积为定值，故D选项正确.故选：BCD.
12.答案：
解析：由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是.青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按，此时停在A叶上的概率；第二条，按，此时停在A叶上的概率.所以跳三次之后停在A叶上的概率.故答案为：
13.答案：5
解析：数据1、4、4、4、x、7、8共7个数，该组数据的众数为4，因为，所以，该组数据的第百分位数为x，因为该组数据的第60百分位数是众数的倍，则.所以，这组数据的平均数为.故答案为：5.
14.答案：
解析：，因为复数z的虚部为，所以，得，
所以，所以.故答案为：.
15.答案：(1)1
(2)
解析：(1)由复数是虚数单位，，可得，
则，
因为是实数，所以，解得，
则，所以.
(2)由，
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，可得且，解得，
所以实数n的取值范围为.
16.答案：(1)，；中位数为
(2).
解析：(1)由频率分布直方图的面积和为1，
则，得，
又由100人中分数段的人数比分数段的人数多6人，
则，解得，，
中位数为
(2)设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，，，，
，，，，，，，，，，，共15种抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，
，，，，共8种，所以抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.
17.答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明：如图，连接，交于点O，连接，
在中，E，G分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
因为平面，，所以平面平面.
(2)记点A到平面，点H到平面的距离分别为，，.
因为平面，，，所以.
在中，，，所以.
在中，，
则，同理可得.
在中，，，所以.
连接，因为，所以.
18.答案：（1）6
（2）
（3）
解析：（1）由于为边的中点，所以，
故.
由于，故.
因此.
（2）由于，故.由于Q为线段上一点，设，
所以，由向量基本定理得，解得，因此.
（3）因为P为边上一点，所以可设，
，
因为，，
所以，
当时，取得最小值为.
所以点P的四等分点靠近C的分点，即处.
19.答案：(1)；
(2)
解析：（1）由及正弦定理知：
所以
由，得，
由，所以，则，由，所以.
（2）如图，由，
且，AD平分，得，
令，则，又，且，
因为，
所以，
即，
化简得，所以，即，，
故的面积.

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