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2024-2025学年第二学期苏科版八年级数学下册期末检测试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1．下列四幅作品，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中的最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投篮十次可投中6次
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件
4． 将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来一半 D．无法确定
如图，已知中，是上一点，，，，垂足是，
点是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　 　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
7. 如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，
则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．2
如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，
G，H分别为，的中点，则的长是（ ）
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像
交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：
①反比例函数的关系式；
②根据图像，当时，x的取值范围为或；
③若点P在x轴上，且，点P的坐标．
其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，
AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．
其中正确的有（　 　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11．为了解2023年某区八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，
在这次调查中，样本容量为 ．
12．已知，那么的值是 ．
13.如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点E，F，
若，，则的长为 ．
14．将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是 ．
15．已知2＜a＜3，化简： ．
16．如图，D是内一点，，，，，
E，F，G，H分别是的中点，则四边形的周长为 ．

如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 ．
如图，点E是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），
连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，
连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有9个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)
(2)
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，
选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，
整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
(2)七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
(3)八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ；
(4)该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
23．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍．
(1) 求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2) 若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
24．在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：
如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；
问题解决：
如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，
点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.
25．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．
例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．
如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
如图，在梯形 中，，，，，，
动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，
动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，分别从同时出发，
当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)的长度为 ，的长度为 ，（用的式子表示），其中的取值范围为 ．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．
请探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求此时点的速度．
27．综上所述，满足条件的点N的坐标为（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）．
如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
直接写出与的位置和数量关系．
如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，
且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，
使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．
你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
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2024-2025学年第二学期苏科版八年级数学下册期末检测试卷解答
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1．下列四幅作品，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列二次根式中的最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】A、不是最简二次根式，错误；
B、不是最简二次根式，错误；
C、不是最简二次根式，错误；
D、是最简二次根式，正确；
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投篮十次可投中6次
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件
【答案】D
【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、“任意画一个多边形，其内角和是”是随机事件，故不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投篮十次不一定投中6次，故不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心”是随机事件，故不符合题意；
D、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故符合题意；
故选：D．
4．将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来一半 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是将扩大后字母代入化简与原来进行比较．将x、y分别以、代入化简即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值不变，
故选：A．
如图，已知中，是上一点，，，，垂足是，
点是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，根据等腰三角形的性质可得为的中点，由是的中点，可得为的中位线，从而由三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，，，
∴，
即点为的中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：．
6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　 　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
7.如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，
则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】可求，，，即可求解．
【详解】解：函数（）与的图像交于点，
，，
，，
，
故选：A．
如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，
G，H分别为，的中点，则的长是（ ）
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长．
连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到．
【详解】
解：连接，
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故选：D．
9.如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像
交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：
①反比例函数的关系式；
②根据图像，当时，x的取值范围为或；
③若点P在x轴上，且，点P的坐标．
其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题．①先把点代入中求出a得到，然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式；②根据图象得出取值范围；③先求得，进而得出，设，则，利用三角形面积公式得到关于t的方程，求解即可．
【详解】解：把点点代入，得，
∴，
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为，故结论①正确；
把代入，得：，
∴，
根据图象可知，当时，x的取值范围为或，故结论②正确；
如图，连接，

对于，
当时，，
∴点，
∵，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
∴或，故结论③错误．
故选：A．
如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，
AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．
其中正确的有（　 　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误；
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误；
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EFCDAB，故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EFCD，
∴∠OEF＝∠ODC＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴EF＝ED＝OE，
∴，
∴AB＝CD＝（）EF，
故④错误．
故选：C．
二、填空题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11．为了解2023年某区八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，
在这次调查中，样本容量为 ．
【答案】500
【分析】本题考查了样本容量．根据样本容量是指样本中个体的数目即可作出判断；熟知样本容量的定义是关键．
【详解】解：根据题意，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，
故在这次调查中，样本容量为500；
故答案为：500
12．已知，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，可设，，再代入化简即可解答．
【详解】解：，
设，，
．
故答案为：．
13.如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点E，F，
若，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线，先求得，，则，，进而可求得，再根据即可求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，，
和分别是和的平分线，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：4．
14．将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.
【详解】∵一次函数的解析式为，
∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，
∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
15．已知2＜a＜3，化简： ．
【答案】3
【分析】根据，则有，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式=，
故答案为：．
16．如图，D是内一点，，，，，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的周长为 ．

【答案】12
【分析】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵，，，
∴．
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，，
∴四边形的周长．
又∵，
∴四边形的周长．
故答案为：12．
17.如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 ．
【答案】2.1
【分析】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，根据MB∥x轴，MC∥y轴，得到MB⊥y轴，MC⊥x轴，得到∠MEO=∠MDO=90°，根据∠EOD=90°，推出四边形EODM是矩形，设，推出，，得到=2.1．
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，
∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，
∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，
∴四边形EODM是矩形，
设，
则，，
∴
=2.1．
故答案为：2.1．
如图，点E是边长为8的正方形的对角线上的一个动点（不与点B，D重合），
连接，以为边向左侧作正方形，点P为的中点，
连接，，与的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明，求出，进而得出点G在线段上，当时，最短，此时为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出的长度，即可得出答案．
【详解】解：四边形、四边形均为正方形，
，，，，
，即，
在与中，
，
，
∴点G在线段上，
当时，最短，
∵正方形的边长为8，点P为的中点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有9个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算以及零指数幂；
（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可．
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去分母，然后求解检验即可；
（2）将分式方程去分母，然后求解检验即可．
【详解】解：（1）方程两边同时乘，得，
化简，得
解得： ，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2）解：去分母得，
整理得，，
移项、合并同类项得，，
解得，
检验：当时，，，
∴是原分式方程的解，
所以．
21．先化简，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
【答案】，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
22．某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
(2)七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；
(3)八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m的值是 ；
(4)该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．
【答案】(1)见解析
(2)8；8；7
(3)90；25
(4)75名
【分析】（1）先求出七年级10分的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可；
（3）用乘八年级学生成绩为8分的人数的百分比即可求出其圆心角的度数；用1减去其他几项所占的百分比，即可求出八年级学生成绩为8分的人数的百分比，即可得出m的值；
（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：七年级10分的人数为（人），补全条形统计图如下：
（2）解：七年级学生成绩的平均数为（分），
将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是分，即中位数是8，
七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7；
（3）解：，即，
，
∴八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是，m的值是25；
（4）解：（人），
答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．
23．骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍．
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
【答案】(1)甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元
(2)最多能购进甲种头盔个
【分析】（1）设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元
解之得：
经检验，是原方程的解．
∴，
答：甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元．
（2）解：设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，得
解得：，
∴最多能购进甲种头盔个．
24．在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：
如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；
问题解决：
如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，
点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；
（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．
【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，
∵∠NHB=90°，
∴四边形ABHN是矩形，
∴AB=HN，
∵DD′⊥MN，
∴∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠OND+∠MNH=90°，
∴∠ODN=∠MNH，
∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，
∴△ADD'≌△HNM（ASA），
∴MN=DD'；
（2）连接MD'，DD'，
设正方形的边长为x，由勾股定理得，
BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，
∴62+（x-2）2=x2+22，
解得x=9，
∴AB=AD=9，
∴AD'=3，
由勾股定理得，DD'=，
∵MN是DD'的垂直平分线，
由（1）知，DD'=MN，
∴MN=．
25．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．
如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，
利用可判断 ；
根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，
利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
如图，在梯形 中，，，，，，
动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，
动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，分别从同时出发，
当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)的长度为 ，的长度为 ，（用的式子表示），其中的取值范围为 ．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．
请探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求此时点的速度．
【答案】(1)，，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)使四边形在某一时刻为菱形，此时点的速度为 cm/秒
【分析】（1）根据的运动速度可得，从而可得，根据的运动速度以及分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动即可得到的取值范围；
（2）要使四边形是平行四边形，则，从而得到，解方程即可得到答案；
（3）设点的速度为cm/秒，则，根据勾股定理可得，要使四边形是菱形，则，从而得到方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，
，
，
分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，，
，
故答案为：，，；
（2）解：，
，
要使四边形是平行四边形，则，
动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，
，
，
由（1）得，
，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）解：设点的速度为cm/秒，
则，
由（1）得：，，
，
，
，
，
要使四边形是菱形，则，
即，
解得：，
使四边形在某一时刻为菱形，此时点的速度为 cm/秒．
27．综上所述，满足条件的点N的坐标为（2， 2）、（ 1，2）、（3，2）．
如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
直接写出与的位置和数量关系．
如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，
且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，
使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．
你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】(1)，
(2)；，证明见解析
(3)在（2）中得到的两个结论不发生变化，证明见解析
【分析】（1）延长交于点H，可证，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可；
（2）延长交于点H，可证，可得，从而得到，再由，，可得，从而得到，即可；
（3）延长到H，使，连接，可得，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于点H，
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
（2）解：猜想：；，证明如下：
如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．证明如下：
如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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