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2025年浙江省中考数学模拟训练试卷（三）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的）
1．下表记录了杭州市2025年一月份一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（ ）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在预定区域，
嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，
实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，
为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．
数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5. 某班40名学生一周体育锻炼的时间统计如图所示，
那么该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的众数和中位数分别是（ ）
A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形
（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，
的面积为，则的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．16
如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
如图，等边内接于⊙，点E是弧上的一点，且，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9． 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，
交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（ ）
A．8 B．9 C． D．4
如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，
连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④；⑤
其中正确的有（　　 ）
A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
12．代数式和代数式的值相等，则 ．
如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，
将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同），
若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_____________．
如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，
连接，，，，则的长是 ．

如图，点，，，分别在矩形纸片的边，，，上，
将矩形的四个角分别沿着，，，向内折，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．
若，，则四边形的面积为 ．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：
18．解方程组：．
如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．
已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，
安装热水器的铁架水平管长米，求：
(1)的长度（结果精确到米）．
(2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，）
某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，
随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，
并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，
回答下列问题：

（1）该校初三学生总数为 人；
（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ；
（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ；
（5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
21．小明和小丽在探究尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作边上的中线．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，
两弧交的右侧于点，连接交于点，则是边上的中线．
小丽：为什么？
小明：可以连接，，因为……
(1)请补充小明的推理过程．
(2)如图2，若，，，求的长．
甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．
前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图．
乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由．
求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式．
若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，
甲同学离终点还有多远？
在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．
抛物线与轴交于点和点．
如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式；
(2) 如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3) 若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围．
24．如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
求 的长；
如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，
连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
② 试求 的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年浙江省中考数学模拟训练试卷（三）解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的）
1．下表记录了杭州市2025年一月份一天四个时刻的气温．
10时 12时 14时 16时
在这一天以上四个时刻中，该城市最低气温在（ ）
A．10时 B．12时 C．14时 D．16时
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的大小比较．根据正数大于一切负数即可求解．
【详解】解：∵，
∴最低气温中最低的是；
故选：A．
“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于采来拼装建造月球基地．
如图，这是“月壤砖”的示意图，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图），熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．画出题中“月壤砖”的俯视图，与各选项中的视图进行对比即可得出答案．
【详解】
解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其俯视图为
故选：．
年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，
至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在预定区域，
嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，
实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，
为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．
数据用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A.不是同类项不能合并，故A错误；
B.合并同类项系数相加字母及指数不变，故B错误；
C.合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误；
D.合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；
故选D.
5. 某班40名学生一周体育锻炼的时间统计如图所示，
那么该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的众数和中位数分别是（ ）
A．9，9 B．14，9 C．14，8.5 D．9，8.5
【答案】A
【分析】本题考查了众数、中位数，出现次数最多的数为众数；将数据排序后，位于中间位置的数为中位数（如果中间位置有两个数，那么这两个数的平均数即为中位数），据此进行作答即可．
【详解】解：由统计图得参加体育锻炼时间为小时的人数为，且为最多，
∴众数是，
∵数据为某班40名学生一周体育锻炼的时间统计，
∴中位数为第名和第21名的平均数，
∵，
∴该班学生一周参加体育锻炼时间（单位：小时）的中位数为，
故选：A．
如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形
（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，
的面积为，则的面积为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查位数图形的性质，掌握位数图形的性质，求出相似比是解题的关键．
先由得，，进而得，再利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：

故选D．
如图，等边内接于⊙，点E是弧上的一点，且，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，结合圆内接四边形对角互补，得出，根据等边三角形性质以及圆周角性质，得出，运用三角形内角性质，列式计算，即可作答．
【详解】解：连接，，
∵，，
∴，
则，
∵是等边三角形，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，
交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为（ ）
A．8 B．9 C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，
由题意，设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴与的边上的高相等，
∴，
又∵，
∴，
解得，
故选：A．
如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，
连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：
①四边形是菱形；②；③；④；⑤
其中正确的有（　　 ）
A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】A
【分析】①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，再根据平行四边形的性质证明，进而可得四边形是菱形；
②根据四边形是菱形，对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可得的长，进而可以判断；
③根据四边形是菱形，即可求出菱形的面积，进而可以判断；
④根据等面积法即可求出的长，进而可以判断；
⑤根据菱形的性质可得是斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可判断．
【详解】解：①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
②四边形是菱形，
，，，
，
，故②错误；
③四边形是菱形，
，故③正确；
④四边形是菱形，
，
，
，故④正确；
⑤四边形是菱形，
是的中点，
在中，是斜边的中线，
，故⑤错误．
故正确的有①③④，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式来分解因式．
【详解】解∶ ．
故答案为∶ ．
12．代数式和代数式的值相等，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式值相等问题，熟练掌握相等关系，
列出方程，解方程，分式方程检验，是解决本题的关键．
通过题目中的等量关系列方程，解方程，检验，即可．
【详解】解：由题可得：，
去分母得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是所列方程的根，
故答案为：1．
如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，
将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
【答案】/132度
【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解．
【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：，
正六边形内角和为：，每个内角为：，
因此，
故答案为：．
一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同），
若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】由红球的个数及任意摸出一个球是红球的概率求得袋中球的总个数，继而可得答案．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：由题意知，袋中球的总个数为（个），
所以，
故答案为：3．
如图，在中，点D，E分别是边的中点，点F是线段上的一动点，
连接，，，，则的长是 ．

【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质计
算，得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，点D是边的中点，
∴，
故答案为：8．
如图，点，，，分别在矩形纸片的边，，，上，
将矩形的四个角分别沿着，，，向内折，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．
若，，则四边形的面积为 ．
【答案】78
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，证明四边形为矩形，再证明，求出，由勾股定理求出，得出，最后由矩形面积公式计算即可得解．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，
∴，
同理可得：，
∴四边形为矩形，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：
【答案】
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零指数幂，及负整数指数幂．根据特殊的三角函数值，零指数幂，及负整数指数幂运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18．解方程组：．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：整理得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：
解得：，
∴原方程组的解为．
如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．
已知斜屋面的倾斜角为，长度为米的真空管与水平线的夹角为，
安装热水器的铁架水平管长米，求：
(1)的长度（结果精确到米）．
(2)铁架垂直管的长度（结果精确到米）．（，，）
【答案】(1)的长度约为米；
(2)铁架垂直管的长度约为米．
【分析】（）过点作于，根据余弦的定义求出，进而求出；
（）根据正弦的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出；
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
∴米，
在中，米，，
则（米），
∴（米），
答：的长度约为米；
（2）解：在中，米，，
则（米），
在中，米，，
则（米），
∴（米，
答：铁架垂直管的长度约为米．
某市教育行政部门为了解初三学生每学期参加综合实践活动的情况，
随机抽样调查了某校初三学生一个学期参加综合实践活动的天数，
并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，
回答下列问题：

（1）该校初三学生总数为 人；
（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数为 、 ，并补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是 ；
（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是 、 ；
（5）如果该市共有初三学生96000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
【答案】（1）200；（2）50，10；图见解析；（3）；（4）4天，4天；（5）（人）
【分析】（1）活动时间为2天的人数除以百分比，即可求解；
（2）抽取的人数乘以活动时间为5天和7天的百分比，即可求解；
（3）360°乘以活动时间为5天的百分比，即可求解；
（4）根据众数，中位数的定义，即可求解；
（5）96000乘以活动时间为5天，6天，7天的百分比之和，即可求解．
【详解】（1）20÷0.1=200（人），
答：该校初三学生总数为200人．
故答案是：200；
（2）200×0.05=10（人），200×（1-0.15-0.05-0.1-0.15-0.3）=50（人），
答：活动时间为5天、7天的学生人数分别为：50人，10人．
故答案是：50，10；
频数直方图，如图所示：

（3）360°×0.25=90°，
答：扇形统计图中“活动时间为5天”的扇形所对圆心角的度数是90°．
故答案是：90°；
（4）∵活动时间为4天的人数最多，
∴众数是：4天，
∵总人数为200人，按活动时间从小到大排序，第100，101人的活动天数都是4天，
∴中位数是：4天．
故答案是：4天，4天；
（5）96000×（0.05+0.15+0.25）=（人），
答：估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人．
21．小明和小丽在探究尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作边上的中线．
小明：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，
两弧交的右侧于点，连接交于点，则是边上的中线．
小丽：为什么？
小明：可以连接，，因为……
(1)请补充小明的推理过程．
(2)如图2，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
（1）由作图知，，利用对边相等的四边形的是平行四边形，证明四边形是平行四边形，即可证明是边上的中线；
（2）利用平行四边形的性质求得，，再利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接，，
由作图知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是边上的中线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
甲、乙两同学在400米的环形跑道上参加1000米跑步训练，时间少于或等于3分40秒为满分．
前800米的路程s（米）和时间t（秒）的函数关系如图．
乙同学按照当前的速度继续匀速跑，那么他能否得到满分？请说明理由．
求甲同学跑第2圈时的路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式．
若最后200米甲同学按第1圈的速度冲刺，乙同学保持原速不变，当乙同学跑到终点时，
甲同学离终点还有多远？
【答案】(1)乙同学能够得到满分，理由见解析
(2)
(3)米
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）求出乙同学路程s（米）关于时间t（秒）的函数解析式，然后令，求出t的值即可解答；
（2）设，用待定系数法求解即可；
（3）求出最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒），速度是（米/秒），进而可求出甲同学离终点还有多远．
【详解】（1）解：由乙图象可知s是t的正比例函数，设，
将代入可得，，
解得：，
．
令，
解得：．
∵3分40秒秒，，
∴乙同学能够得到满分．
（2）解：由图象可知s是t的一次函数，设，
将代入可得，
解得：
．
（3）解：由（1）可知乙同学到终点的时间是215秒，
由图象可知甲同学跑前800米的时间是180秒，
所以最后200米，乙跑到终点时，甲同学跑的时间是（秒）．
速度是（米/秒）．
路程是（米）．
∴甲离终点的距离是（米）．
在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．
抛物线与轴交于点和点．
如图，若抛物线过点，求抛物线的表达式；
(2) 如图，在（）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3) 若抛物线与正方形恰有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）运用待定系数法进行解二次函数的解析式，得，再令，即可作答；
（）运用待定系数法得到直线CE的表达式为 设点，则点，依题意把点代入，即可作答；
（）分类讨论，如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，或如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点，联立不等式组， 即可作答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，得，
∴，
令，则，
整理得：，解得：，，
∴；
（2）解：如图所示：
设直线的表达式为过点，，
∴，
解得：，
∴，
设点，则点，
把点代入得，，
整理得：，解得：，，
∴；
（3）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴点和点的横坐标为，点和点的横坐标为，
将代入得，
∴，
∴顶点坐标为，
当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴，
∴；
如图，当抛物线与直线交点在点下方，且与直线交点在点上方时，与正方形有两个交点，
，
∴，
综上所述，的取值范围为或．
24．如图 1，四边形 是 的内接四边形， 为对角线，且 为 的直径， ，已知 ， ．
求 的长；
如图 2， 为 上一点，过 作 ，其反向延长线交 于点 ，
连结 、 、 ，若 ，
① 求 的值；
② 试求 的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）连结，设与交于点P，由垂径定理可得P为中点，结合O为圆心，可求出，求出，然后利用勾股定理即可求解；
（2）①先证明，再证明得，设，由，，，再利用勾股定理求出即可求解．
②证明得，求出，，再证明得，进而可求出 的长．
【详解】（1）解：连结，设与交于点P
∵，
∴，
∴，
∴P为中点，
∵O为圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）①∵，
∴．
∵ 为 的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又由①得，
∵，
∴，
∴，
解得．
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