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广东省江门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（2024八下·江门期末）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．（2024八下·江门期末）下列几组线段中，能组成直角三角形的是
A．1，，2 B．4，5，6 C．，， D．1，2，3
3．（2024八下·江门期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．27 D．
4．（2024八下·江门期末）在□ABCD中，如果，那么的度数是
A． B． C． D．
5．（2024八下·江门期末）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法，正确的是
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（，0）
C．与y轴交于（0，6） D．y随x的增大而增大
6．（2024八下·江门期末）已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2024八下·江门期末）已知，下列结论正确的是
A．x是负数 B．x与互为倒数
C．是有理数 D．是8的立方根
8．（2024八下·江门期末）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·江门期末）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·江门期末）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M，N是DF的中点，若，，则MN的长为
A． B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上．
11．（2024八下·江门期末）计算：　 　．
12．（2024八下·江门期末）某市气象局统计了A，B两个地区某周的每日最高气温的平均值都是23℃，方差分别为，，则A，B两个地区这周每日最高气温更为稳定的是　 　．（填“A”或“B”）
13．（2024八下·江门期末）若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是　 　（写出一个即可）．
14．（2024八下·江门期末）小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　．
15．（2024八下·江门期末）如图，四边形ABCD是矩形，E是边AB上一动点，将沿直线DE折叠，点A落在点处，连接并延长，交边CD于点F，，的面积是，则AD的长为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
16．（2024八下·江门期末）计算：
（1），　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若，则　 　；②　 　．
17．（2024八下·江门期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
解：∵，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题，
（1）化简：．
（2）若，求的值，
18．（2024八下·江门期末）已知一次函数的图象经过点M（，9），N（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）若点P（，3m）在直线MN上，求m的值．
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
19．（2024八下·江门期末）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩的情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析．已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题．
（1）【收集数据】若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有　 　．（填写序号即可）
①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生．
（2）【整理数据】将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制成绩分布扇形统计图和频数分布表（不完整）如下．
成绩/分 频数 频率
A类（80～100） ▲ 0.5
B类（60～79） ▲ 0.25
C类（40～59） 8 ▲
D类（0～39） 4 ▲
请根据图表中的数据，把频数分布表补充完整，并估计全年级A，B类学生一共有多少名．
（3）该校为了解其他学校的教学情况，将同层次的第一中学和第二中学的抽样数据进行对比，如下表：
学校 平均分/分 极差/分 方差 A，B类的频率和
第一中学 71 52 432 0.75
第二中学 71 80 497 0.82
（注：极差是指一组测量值中最大值与最小值之差，即极差＝最大值－最小值）
你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请给出一个理由来支持你的观点．
20．（2024八下·江门期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中的传播速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据．
温度x/℃ … 0 5 10 15 20 …
声音在空气中的传播速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 …
（1）如图，在给出的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点．
（2）根据描点发现，这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 ▲ （填“一次函数”或“正比例函数”），并求出该函数的解析式．
（3）某地冬季的室外温度是，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计）
21．（2024八下·江门期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，OB的长为半径作弧（使得），则弧与数轴的交点C表示的数是　 　．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推3m至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索AC的长．
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
22．（2024八下·江门期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容．
如图，D，E分别是的边AB与AC的中点．根据画出的图形， 可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【结论应用】
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断的形状，并说明理由．
（2）【应用拓展】
如图2，在四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM，延长BC，NM交于点E．若，求的度数．
23．（2024八下·江门期末）（1）已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图，在□ABCD中，AC为对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于点E．
①求证：．
②若，求证：四边形ACED是菱形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值不可以是；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，A符合题意；
B、，不能组成直角三角形，B不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，C不符合题意；
D、，不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A=60°，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质（对角相等）结合题意即可求解.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线，
A.直线经过一、三、四象限，A不符合题意；
B.直线与轴交于，B不符合题意；
C.直线与轴交于，C不符合题意；
D.直线中，故随的增大而增大，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象及其几何变换得到平移后的函数解析式，进而根据一次函数的图象与性质对选项逐一判断即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故答案为：B．
【分析】先利用平均数的定义及计算方法求出x的值，再利用众数的定义分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的平方是5，2的平方是4，4比5小，因此，为正数，A不符合题意；
B、，
，
，故与互为倒数，B符合题意；
C、将平方得是无理数，C不符合题意；
D.8的立方根是2，题中，不是8的立方根，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据负数的定义结合题意估算无理数的大小即可判断A，根据题意有理数结合倒数的定义即可判断B，根据有理数的定义结合完全平方公式即可判断C，根据立方根结合题意即可判断D.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据四边形是正方形，得到，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故答案为：A.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求出解集，再在数轴上表示出来即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形ABCD的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据题意得到正方形的边长，进而运用勾股定理求出DF，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
11．【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：10
【分析】根据二次根式的乘法结合题意进行运算，进而即可求解.
12．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，
∴，
可取，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
14．【答案】39
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；无理方程
【解析】【解答】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】参照题干中的定义及计算方法可得，即，再求出x的值即可.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
由轴对称得，，，，
∴．
∴．
∴，
设，则．
∵，
∴．
由勾股定理得．
∵的面积是，
∴，即，
解得或（舍去）
∴．
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合平行线的性质得到，进而根据轴对称的性质得到，，，，进而等量代换得到，从而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，设，则，结合题意运用勾股定理表示A'D，进而根据三角形的面积结合何题意即可求出x，从而即可求解。
16．【答案】（1）0.5；0；6；
（2）解：当时，；当时，，
综合可得．
规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：；
（3）；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：，，，；
故答案为：，0，6，；
（3）解：①当时，，
；
故答案为：；
②；
故答案为：．
【分析】（1）根据题意化简二次根式即可求解；
（2）根据题意得到规律一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：；
（3）根据（2）中的规律结合题意即可求解.
17．【答案】（1）解：原式．
（2）解：．
∵，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据例子进行分母有理化的操作，进而即可化简；
（2）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而将a化简，从而代入即可求解.
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点M（，9），N（2，3），
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为
（2）解：∵点P（，3m）在直线MN上，
∴，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）运用待定系数法结合题意求出一次函数的解析式即可求解；
（2）根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解.
19．【答案】（1）解：②③
（2）解：表格补充如下：
成绩/分 频数 频率
A类（80～100） 24 0.5
B类（60～79） 12 0.25
C类（40～59） 8
D类（0～39） 4
A，B类所占的比为，
∴A，B类所占的人数为
（3）解：可以从如下两个方面说明：
方面一：第一中学成绩较好，其极差、方差均小于第二中学，说明第一中学学生两极分化较小，学生之间的差距较第二中学小；
方面二：第二中学成绩较好，其A，B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学好．
【知识点】全面调查与抽样调查；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，则比较合理，
故答案为：
（）类的频数为：（人），类的频数为：（人），
类的频率为：，的频率为：，
故答案为：24；12；；.
【分析】（1）根据随机抽样和随机分层抽样结合题意即可求解；
（2）根据扇形统计图结合题意求出A类和B类的频数，进而求出C类和D类的评率，再根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据题意进行数据分析，进而即可求解.
20．【答案】（1）解：描点如图所示．
（2）一次函数．
解：设这个函数的解析式为．
将点（0，331），（5，334）代入，得解得
∴这个函数的解析式为
（3）解：在中，当时，．
∵小明同学看到烟花3秒后才听到声响，
∴小明与燃放烟花地的距离为（米）
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据描点即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（3）根据题意求出3秒时，烟花的速度，进而根据距离=速度×时间即可求解。
21．【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索AB的长为xm．
由题意，可得．
∵四边形DCFE为矩形，，，，
∴，，．
在中，，
即，
解得．
答：秋千绳索AC的长为5m
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）在中，，，
又∵O为圆心，点C表示的数大于零，
∴点C表示的数是．
故答案为：；
【分析】（1）先根据勾股定理求出OB，进而根据题意结合无理数在数轴上的表示即可求解；
（2）设秋千绳索AB的长为xm，则，进而根据矩形的性质得到，，，从而运用勾股定理即可求解.
22．【答案】（1）解：是等腰三角形．
理由：∵P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN．
∵M是DC的中点，N是AB的中点，，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中点得到，，进而根据已知条件即可得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形中位线定理结合题意得到，，，进而根据等腰三角形的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可得到∠A+∠ABC的度数，从而根据平行线的性质得到，，再根据三角形内角和定理结合题意进行角的运算即可得到∠E的度数.
23．【答案】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
②证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形ACED为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形ACED是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作一条线段，然后作线段的垂直平分线，交于点O，在的垂直平分线上截取，进而连接、、、即可求解；
（2）①根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
②根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行公理及其推论得到，从而根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解.
1 / 1广东省江门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（2024八下·江门期末）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴的值不可以是；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
2．（2024八下·江门期末）下列几组线段中，能组成直角三角形的是
A．1，，2 B．4，5，6 C．，， D．1，2，3
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，A符合题意；
B、，不能组成直角三角形，B不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，C不符合题意；
D、，不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意对选项逐一判断，进而即可求解。
3．（2024八下·江门期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．27 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
4．（2024八下·江门期末）在□ABCD中，如果，那么的度数是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A=60°，
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质（对角相等）结合题意即可求解.
5．（2024八下·江门期末）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法，正确的是
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（，0）
C．与y轴交于（0，6） D．y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线，
A.直线经过一、三、四象限，A不符合题意；
B.直线与轴交于，B不符合题意；
C.直线与轴交于，C不符合题意；
D.直线中，故随的增大而增大，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象及其几何变换得到平移后的函数解析式，进而根据一次函数的图象与性质对选项逐一判断即可求解.
6．（2024八下·江门期末）已知一组数据：1，3，5，x，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意，得：，解得，
∴这组数据为1，3，5，5，6，其中数据5出现次数最多，
∴众数为5；
故答案为：B．
【分析】先利用平均数的定义及计算方法求出x的值，再利用众数的定义分析求解即可.
7．（2024八下·江门期末）已知，下列结论正确的是
A．x是负数 B．x与互为倒数
C．是有理数 D．是8的立方根
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、的平方是5，2的平方是4，4比5小，因此，为正数，A不符合题意；
B、，
，
，故与互为倒数，B符合题意；
C、将平方得是无理数，C不符合题意；
D.8的立方根是2，题中，不是8的立方根，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据负数的定义结合题意估算无理数的大小即可判断A，根据题意有理数结合倒数的定义即可判断B，根据有理数的定义结合完全平方公式即可判断C，根据立方根结合题意即可判断D.
8．（2024八下·江门期末）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据四边形是正方形，得到，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
9．（2024八下·江门期末）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与 (m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
在数轴上表示的解集，只有选项A符合，
故答案为：A.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求出解集，再在数轴上表示出来即可.
10．（2024八下·江门期末）2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M，N是DF的中点，若，，则MN的长为
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴正方形ABCD的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是DF的中点，即MN为的斜边DF上的中线，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据题意得到正方形的边长，进而运用勾股定理求出DF，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上．
11．（2024八下·江门期末）计算：　 　．
【答案】10
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：10
【分析】根据二次根式的乘法结合题意进行运算，进而即可求解.
12．（2024八下·江门期末）某市气象局统计了A，B两个地区某周的每日最高气温的平均值都是23℃，方差分别为，，则A，B两个地区这周每日最高气温更为稳定的是　 　．（填“A”或“B”）
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
13．（2024八下·江门期末）若一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，则b的值可以是　 　（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数（b为常数）的图象不经过第一象限，
∴，
可取，
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
14．（2024八下·江门期末）小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则　 　．
【答案】39
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；无理方程
【解析】【解答】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】参照题干中的定义及计算方法可得，即，再求出x的值即可.
15．（2024八下·江门期末）如图，四边形ABCD是矩形，E是边AB上一动点，将沿直线DE折叠，点A落在点处，连接并延长，交边CD于点F，，的面积是，则AD的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
由轴对称得，，，，
∴．
∴．
∴，
设，则．
∵，
∴．
由勾股定理得．
∵的面积是，
∴，即，
解得或（舍去）
∴．
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合平行线的性质得到，进而根据轴对称的性质得到，，，，进而等量代换得到，从而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，设，则，结合题意运用勾股定理表示A'D，进而根据三角形的面积结合何题意即可求出x，从而即可求解。
三、解答题（一）（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
16．（2024八下·江门期末）计算：
（1），　 　，　 　，　 　，　 　．
（2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若，则　 　；②　 　．
【答案】（1）0.5；0；6；
（2）解：当时，；当时，，
综合可得．
规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：；
（3）；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）解：，，，；
故答案为：，0，6，；
（3）解：①当时，，
；
故答案为：；
②；
故答案为：．
【分析】（1）根据题意化简二次根式即可求解；
（2）根据题意得到规律一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：；
（3）根据（2）中的规律结合题意即可求解.
17．（2024八下·江门期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
解：∵，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题，
（1）化简：．
（2）若，求的值，
【答案】（1）解：原式．
（2）解：．
∵，
∴原式．
【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据例子进行分母有理化的操作，进而即可化简；
（2）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而将a化简，从而代入即可求解.
18．（2024八下·江门期末）已知一次函数的图象经过点M（，9），N（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）若点P（，3m）在直线MN上，求m的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点M（，9），N（2，3），
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为
（2）解：∵点P（，3m）在直线MN上，
∴，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）运用待定系数法结合题意求出一次函数的解析式即可求解；
（2）根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解.
四、解答题（二）（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
19．（2024八下·江门期末）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩的情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析．已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题．
（1）【收集数据】若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有　 　．（填写序号即可）
①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生．
（2）【整理数据】将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制成绩分布扇形统计图和频数分布表（不完整）如下．
成绩/分 频数 频率
A类（80～100） ▲ 0.5
B类（60～79） ▲ 0.25
C类（40～59） 8 ▲
D类（0～39） 4 ▲
请根据图表中的数据，把频数分布表补充完整，并估计全年级A，B类学生一共有多少名．
（3）该校为了解其他学校的教学情况，将同层次的第一中学和第二中学的抽样数据进行对比，如下表：
学校 平均分/分 极差/分 方差 A，B类的频率和
第一中学 71 52 432 0.75
第二中学 71 80 497 0.82
（注：极差是指一组测量值中最大值与最小值之差，即极差＝最大值－最小值）
你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请给出一个理由来支持你的观点．
【答案】（1）解：②③
（2）解：表格补充如下：
成绩/分 频数 频率
A类（80～100） 24 0.5
B类（60～79） 12 0.25
C类（40～59） 8
D类（0～39） 4
A，B类所占的比为，
∴A，B类所占的人数为
（3）解：可以从如下两个方面说明：
方面一：第一中学成绩较好，其极差、方差均小于第二中学，说明第一中学学生两极分化较小，学生之间的差距较第二中学小；
方面二：第二中学成绩较好，其A，B类的频率和大于第一中学，说明第二中学学生及格率较第一中学好．
【知识点】全面调查与抽样调查；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，则比较合理，
故答案为：
（）类的频数为：（人），类的频数为：（人），
类的频率为：，的频率为：，
故答案为：24；12；；.
【分析】（1）根据随机抽样和随机分层抽样结合题意即可求解；
（2）根据扇形统计图结合题意求出A类和B类的频数，进而求出C类和D类的评率，再根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）根据题意进行数据分析，进而即可求解.
20．（2024八下·江门期末）科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而变化，且满足某种函数关系．某兴趣小组为探究空气的温度x（℃）与声音在空气中的传播速度y（米/秒）之间的关系，在标准实验室里进行了多次实验．下表为实验时记录的一些数据．
温度x/℃ … 0 5 10 15 20 …
声音在空气中的传播速度y/（米/秒） … 331 334 337 340 343 …
（1）如图，在给出的平面直角坐标系中，描出上面数据所对应的点．
（2）根据描点发现，这些点大致位于同一个函数的图象上，则这个函数的类型最有可能是 ▲ （填“一次函数”或“正比例函数”），并求出该函数的解析式．
（3）某地冬季的室外温度是，小明同学看到烟花3秒后才听到声响，利用第（2）问的函数，求小明与燃放烟花地的距离．（光的传播时间忽略不计）
【答案】（1）解：描点如图所示．
（2）一次函数．
解：设这个函数的解析式为．
将点（0，331），（5，334）代入，得解得
∴这个函数的解析式为
（3）解：在中，当时，．
∵小明同学看到烟花3秒后才听到声响，
∴小明与燃放烟花地的距离为（米）
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据描点即可求解；
（2）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（3）根据题意求出3秒时，烟花的速度，进而根据距离=速度×时间即可求解。
21．（2024八下·江门期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不仅因为证明方法层出不穷吸引着人们，还因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，OB的长为半径作弧（使得），则弧与数轴的交点C表示的数是　 　．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推3m至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索AC的长．
【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索AB的长为xm．
由题意，可得．
∵四边形DCFE为矩形，，，，
∴，，．
在中，，
即，
解得．
答：秋千绳索AC的长为5m
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）在中，，，
又∵O为圆心，点C表示的数大于零，
∴点C表示的数是．
故答案为：；
【分析】（1）先根据勾股定理求出OB，进而根据题意结合无理数在数轴上的表示即可求解；
（2）设秋千绳索AB的长为xm，则，进而根据矩形的性质得到，，，从而运用勾股定理即可求解.
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
22．（2024八下·江门期末）【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容．
如图，D，E分别是的边AB与AC的中点．根据画出的图形， 可以猜想：且． 对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1）【结论应用】
如图1，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断的形状，并说明理由．
（2）【应用拓展】
如图2，在四边形ABCD中，，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM，延长BC，NM交于点E．若，求的度数．
【答案】（1）解：是等腰三角形．
理由：∵P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN．
∵M是DC的中点，N是AB的中点，，
∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据中点得到，，进而根据已知条件即可得到，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN，根据三角形中位线定理结合题意得到，，，进而根据等腰三角形的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可得到∠A+∠ABC的度数，从而根据平行线的性质得到，，再根据三角形内角和定理结合题意进行角的运算即可得到∠E的度数.
23．（2024八下·江门期末）（1）已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图，在□ABCD中，AC为对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于点E．
①求证：．
②若，求证：四边形ACED是菱形．
【答案】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴．
②证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，
∴四边形ACED为平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形ACED是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先作一条线段，然后作线段的垂直平分线，交于点O，在的垂直平分线上截取，进而连接、、、即可求解；
（2）①根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
②根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行公理及其推论得到，从而根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解.
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