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广东省珠海市2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·珠海期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、根号内含有小数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故答案为：D.
【分析】根据被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式逐项分析即可求解.
2．（2024八下·珠海期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，A不符合题意；
B．∵，
∴以，3，5为边不能组成直角三角形，B不符合题意；
C．∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，C符合题意；
D．∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形逐项分析即可求解.
3．（2024八下·珠海期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．÷＝2 B．＝±5 C．5 ＝5 D． ＝
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不能计算，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次根式的除法法则进行计算，可对A作出判断；利用二次根式的性质，可对B作出判断利用同类二次根式的定义和合并同类二次根式的法则，可对D，C作出判断.
4．（2024八下·珠海期末）某校计划从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位成绩最稳定的同学代表学校参加年湾区青少年诵读大赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，，，，则应该派谁参加(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四个学生数学成绩的平均数相同，s甲2=1.7，s乙2=2.4，s丙2=0.5，s丁2=1.5，
∴丙的方差最小，
∴这四名学生的数学成绩最稳定的是丙，
∴应该派丙参加.
故答案为：C.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可求解.
5．（2024八下·珠海期末）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴点到点的距离是，
故答案为：D．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再结合，求出，从而得解.
6．（2024八下·珠海期末）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，一次函数y=kx+b的值随x的增大而增大，即k＞0，
又∵b＜0，
∴这个函数的图象经过第一三四象限，
∴不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据题意，一次函数y=kx+b的值随x的增大而增大，即k＞0，又因为b＜0所以，这个函数的图象经过第一三四象限，不经过第二象限.
7．（2024八下·珠海期末）珠海市举办了第届“青少年艺术花会”比赛已知某节目的礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为分和分，若依次按照，的百分比确定成绩，则该节目的成绩是(　　)
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：90×30%+80×70%=83（分），
故答案为：C.
【分析】根据将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数叫做加权平均数求出加权平均数，即可求解.
8．（2024八下·珠海期末）某快递员从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司假设来回行驶速度不变，在两个驿站卸包裹的时间一样快递员离公司的路程与时间的关系部分数据如图所示则快递员在每个驿站卸包裹的时间为(　　)
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可知，快递车行驶2n米所需时间为（40-30）分钟，
所以快递车行驶的总时间为3×（40-30）=30（分钟），
所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（40-30）÷2=5（分钟），
故答案为：B.
【分析】由图象可知，快递车行驶2n米所需时间为（40-30）分钟，据此求出快递车行驶的总时间为3×（40-30）=30（分钟），即可求解.
9．（2024八下·珠海期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵G，H分别是BE，BF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长.
10．（2024八下·珠海期末）一次函数、为常数，且中的与的部分对应值如表：
下列四个结论：
方程的解在和之间；
若点、在直线上，则；
；
不等式的解集为时，．
其中正确的结论有(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件，画出符合条件的图象，
由图象可知，直线与x轴的交点在0和1之间，故①正确；
由图象可知，y随x的增大而增大，故②正确；
当x=0时，y=-2，即b=-2，
当x=1时，m=k+b，即m=k-2，
整理得：k=m+2，
∵m＞0，
∴k＞2，故③正确；
一次函数的解析式为y=（m+2）x-2，
根据题意可得（m+2）x-2＞-m，
∵m＞0，
故可整理为，
∵不等式kx+b＞-m的解集为，
∴，
解得：m=1，
经检验，m=1是原分式方程的解，
∴m=1，k=m+1=3，故④错误.
故答案为：A.
【分析】先根据已知条件，画出符合条件的图象，结合图象即可判断①②，根据题意求出k=m+2，再根据m的范围，即可判断③，先求出不等式的解集，结合题意列出分式方程，解方程即可判断④.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·珠海期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2024八下·珠海期末）如图，在 中，，平分且交于点，则的度数为　 　度
【答案】140
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB//CD
∴∠C+∠ABC=180°，∠EBC+∠BED=180°，
∵∠C=100°，
∴∠ABC=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=40°，
∴∠BED=180°-40°=140°.
故答案为：140.
【分析】根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠C+∠ABC=180°，∠EBC+∠BED=180°，求出∠ABC的度数，根据角的平分线的概念可得∠EBC=40°，即可求解.
13．（2024八下·珠海期末）函数与的图象如图所示，则关于的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，
∴关于x的方程kx=6-x的解为x=2.
故答案为：x=2.
【分析】根据一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，即可求解.
14．（2024八下·珠海期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且若正方形边长为，，菱形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AC=BD，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴BD=AC=8，
∴在正方形ABCD中，， ，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=AO-AE=4-2=2，
∴在Rt△BOE中，，
∵菱形BEDF的周长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于O，根据正方形的四条边都相等，对角线相等，四个角都是直角可得，AC=BD，∠ABC=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BD=AC=8，根据正方形的对角线垂直且互相平分可得AO=BO=4，AC⊥BD，求得OE=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，结合菱形的四条边都相等即可求解.
15．（2024八下·珠海期末）观察以下式子并寻找规律：，，，请按此规律写出第个式子　 　．
【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第①个等式中，，
第②个等式中，，
第③个等式中，，
第⑥个等式为：.
故答案为：.
【分析】根据规律写出第⑥个等式即可.
16．（2024八下·珠海期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形连接，相交于点，与相交于点若，则正方形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=∠FEG=45°，∠FGH=90°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=90°-∠OPG=90°-67.5°=22.5°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠GBC=∠DBC-∠PBG=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
∵∠BGP=∠BGC=90°，BG=BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG=CG，
故OG=PG=CG=1.
同理可得：EO=AE，
∵△AED≌△CGB，
∴AE=CG，
∴EO=AE=CG=1，
∴EG=2，
在Rt△EFG中，EF2+FG2=2FG2=EG2=4，
求得：，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF=CG=1，
∴，
∴，
∴正方形ABCD的面积.
故答案为：.
【分析】根据正方形的对角线平分对角，四个角都是直角可得∠EGH=∠FEG=45°，∠FGH=90°，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠GOP=∠OPG=67.5°，根据直角三角形两个锐角互余可求得∠PBG=22.5°，根据正方形的对角线平分对角可得∠DBC=45°，推得∠PBG=∠GBC，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得PG=CG，从而有OG=PG=CG=1，同理可得：EO=AE=CG=1，求得EG=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BG的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC2的值，根据正方形的面积公式即可求解.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·珠海期末）数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程．
【答案】解：小红的解答是错误的，正确解答如下：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
18．（2024八下·珠海期末）如图，每个小正方形的边长都为．
（1）利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）求证：．
【答案】（1）；；；
（2）证明：如图，连接BD，
∵，，，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】 （1）解：根据勾股定理得，，，，，
故答案为：；；； .
【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（2）利用勾股定理求出BD、BC、CD的值，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明.
19．（2024八下·珠海期末）如图，在四边形中，，、是对角线上两点，且，，，垂足分别是、．
（1）求证：≌；
（2）若与交于点，求证：．
【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可证明.
20．（2024八下·珠海期末）年月日是全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩满分分，分及分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的测试成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的，的值；
（2）该校七、八年级共名学生参加了此次测试活动，请你估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少；
（3）应用你所学的统计知识，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握国家安全知识较好？请说明理由．
【答案】（1）解：a=7，b=7.5.
（2）解：根据题意得：（人），
故参加此次测试活动成绩合格的学生人数大概是人.
（3）解：八年级掌握国家安全知识知识较好，理由如下：
∵七、八年级的平均数都是7.5，但是八年级的中位数7.5比七年级的中位数7大；八年级的众数8比七年级的众数7的大，
故八年级掌握国家安全知识知识较好（答案不唯一）.
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩中7次数出现最多，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=（7+8）÷2=7.5，
故答案为：a=7，b=7.5.
【分析】（1）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可以得到a的值，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）可以得到b的值；
（2）用总人数乘以抽取的人数中合格的所占的百分比即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可.
21．（2024八下·珠海期末）如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
【答案】（1）解：CF=CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°=∠DCG，
∴∠CDG+∠G=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∵AE∥DG，
∴∠G=∠AEB，
∴∠FBC=∠CDG，
在△BCF和△DCG中，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，结论得证.
（2）解：连接EH，如图：
在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG，
又∵AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AE=DG，AD=EG，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，
∴BE=BC-EC=AD-EC=EG-EC=CG，
∵在矩形FCGH中，FH=CG，
∴FH=BE，
∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE，
∴四边形BEHF是平行四边形，
∴BF=EH，
由（1）得△BCF≌△DCG，
∴BF=DG，
∴AE=EH，
∴∠EAH=∠EHA，
∵在平行四边形BEHF中，EH∥BF，
又BF⊥AE，
∴EH⊥AE，
∴∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠EHA=45°，
∵AE∥DG，
∴∠AMD=∠EAH=45°.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得BC=DC，∠BCD=∠DCG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDG+∠G=90°，∠FBC+∠AEB=90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠AEB，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠CDG，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）连接EH，根据正方形的对边平行可得AD∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=DG，AD=EG，根据正方形的四条边都相等和矩形的对边相等可推得BE=EH，结合正方形的对边平行和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEHF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BF=EH，根据全等三角形的对应边相等可得BF=DG，推得AE=EH，根据等边对等角可得∠EAH=∠EHA，根据平行四边形的对边平行和两直线平行，同位角相等可得∠AEH=90°，根据三角形内角和是180°可得∠EAH=∠EHA=45°，根据两直线平行，内错角相等即可求解.
22．（2024八下·珠海期末）长隆宇宙飞船的门票销售分两类：一类为散客门票，价格元张，另一类为团体研学门票一次性购买门票张及以上，每张门票价格在散客价格基础上打折某年级组织同学要去宇宙飞船进行研学活动，设参加研学有人，购买门票需要元．
（1）如果初一年级名学生购买散客门票入园，则总共需花费　 　元；
（2）如果买团体研学门票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）初一年级共名学生，请通过计算说明如何买票更省钱．
【答案】（1）18000
（2）根据题意得：，
（3）解：由可知，购买张门票需要费用：元，
，
初一年级名学生购买张门票更省钱.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：80×225=18000（元），
故答案为：18000.
【分析】（1）80名学生购买散客门票乘225计算出结果即可；
（2）根据题意列出函数关系式并写出自变量取值范围即可；
（3）将x=100代入函数解析式求出需要的费用，再和18000比较即可得到更省钱的购票方案.
23．（2024八下·珠海期末）【综合与实践】
问题背景：在矩形纸片中，点为边上的动点，连接，将矩形纸片沿对折，使点落在点处，连接．
（1）如图，若点在线段上，求证：；
（2）如图，若点在对角线上，点是对角线的中点，且，求的度数；
（3）如图，若，，，求点到的距离．
【答案】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，点F在线段AE上，
∴∠DEC=∠DEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=ADE，
∴AD=AE.
（2）解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，
∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD，
∴∠FMD=∠FDM，
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD，
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD，
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°，
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180，
∴x=18，
∴∠FAD=18°，
∴∠BAF=90°-18°=72°.
（3）解：过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图：
则四边形MDCN是矩形，
∴DM=CN，CD=MN=5，
∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，
∴CE=EF=1，CD=DF=5，
设NE=x，FN=y，则MD=CN=x+1，MF=（5-y），
∵NE2+FN2=EF2，MF2+MD2=DF2，
∴x2+y2=1，（x+1）2+（5-y）2=25，
解得：，，
，，
，，
点到的距离为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等可得∠DEC=∠DEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=ADE，根据等角对等边即可证明；
（2）连接DM，根据矩形的四个角都是直角可得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上的先等于斜边的一半可得DM=AM=CM，根据等边对等角可得∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等可得DF=DC，根据等边对等角可得∠DFC=∠DCF，等量代换可得MF=FD，根据等边对等角可得∠FMD=∠FDM，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，根据三角形内角和是180°列出方程，求出x的值，即可求解；
（3）根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得DM=CN，CD=MN=5，根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等可得CE=EF=1，CD=DF=5，设NE=x，FN=y，则MD=CN=x+1，MF=（5-y），根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出x和y的值，即可求解.
24．（2024八下·珠海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求的面积；
（2）记点到轴的距离为，到轴的距离为，当时，求点的坐标；
（3）如图，连接，过点作交轴于点，当点在点上方，且满足时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：在中，令得，令得，
，，
，，
；
的面积为；
（2）解：点是直线上的一个动点，
，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
，，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或；
（3）解： 当C与B重合时，过P作PG⊥x轴于G，如图：
∵ OA=3，，
∴，
∵BP⊥OP，
∴2S△AOB=OA OB=AC OP，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时；
当时，过作轴于，如图：
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，此时；
；
当在轴右侧时，
当时，过P作PE⊥x轴于E，如图：
，，
，
，
∴∠BOP=∠BPO，
∵ BO∥PE，
∴∠BOP=∠OPE，∠ABO=∠APE=60°，
∴∠OPE=∠BPO=30°，
∴OA=OP=3，
∴，
即，
故，
当点在点上方，且满足时，的取值范围是或.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 （1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据一次函数上点的坐标特征可得点P的坐标，结合平面直角坐标系中点到坐标轴的距离得出PM和PN的值，根据题意列出方程，解方程求出m的值即可求解；
（3）当C与B重合时，过P作PG⊥x轴于G，根据勾股定理求出AB的值，结合三角形的面积公式求出OP的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AP的值，结合三角形的面积公式求出PG的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OG的值，即可得出当C与B重合时，m的值，当时，过作轴于，根据直角三角形的性质可推得∠BAO=30°，∠ABO=60°，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得PB=OB，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得OP=PB，∠BOP=60°，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半可求出PH的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出OH的值，即可得出当时，m的值，当在轴右侧时，当时，过P作PE⊥x轴于E，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得PB=OB，根据等边对等角和两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠OPE=∠BPO=30°，根据等角对等边可得OA=OP=3，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半可求出OE的值，即可得出当时，m的值，结合图象即可求解.
1 / 1广东省珠海市2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·珠海期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·珠海期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（2024八下·珠海期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．÷＝2 B．＝±5 C．5 ＝5 D． ＝
4．（2024八下·珠海期末）某校计划从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位成绩最稳定的同学代表学校参加年湾区青少年诵读大赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，，，，则应该派谁参加(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2024八下·珠海期末）如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边的中点处，已知，则点到点的距离是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·珠海期末）一次函数y=kx+b中，y随x的增大而增大，b＜0，则这个函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024八下·珠海期末）珠海市举办了第届“青少年艺术花会”比赛已知某节目的礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为分和分，若依次按照，的百分比确定成绩，则该节目的成绩是(　　)
A．分 B．分 C．分 D．分
8．（2024八下·珠海期末）某快递员从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司假设来回行驶速度不变，在两个驿站卸包裹的时间一样快递员离公司的路程与时间的关系部分数据如图所示则快递员在每个驿站卸包裹的时间为(　　)
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
9．（2024八下·珠海期末）如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为(　　)
A． B． C． D．
10．（2024八下·珠海期末）一次函数、为常数，且中的与的部分对应值如表：
下列四个结论：
方程的解在和之间；
若点、在直线上，则；
；
不等式的解集为时，．
其中正确的结论有(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·珠海期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·珠海期末）如图，在 中，，平分且交于点，则的度数为　 　度
13．（2024八下·珠海期末）函数与的图象如图所示，则关于的方程的解为　 　．
14．（2024八下·珠海期末）如图，，是正方形的对角线上的两点，且若正方形边长为，，菱形的周长为　 　．
15．（2024八下·珠海期末）观察以下式子并寻找规律：，，，请按此规律写出第个式子　 　．
16．（2024八下·珠海期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形连接，相交于点，与相交于点若，则正方形的面积是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·珠海期末）数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下：
解：原式
请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程．
18．（2024八下·珠海期末）如图，每个小正方形的边长都为．
（1）利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）求证：．
19．（2024八下·珠海期末）如图，在四边形中，，、是对角线上两点，且，，，垂足分别是、．
（1）求证：≌；
（2）若与交于点，求证：．
20．（2024八下·珠海期末）年月日是全民国家安全教育日，为普及国家安全知识，某校开展了“树立防范意识，维护国家安全”的国安知识学习活动现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩满分分，分及分以上为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的测试成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的，的值；
（2）该校七、八年级共名学生参加了此次测试活动，请你估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少；
（3）应用你所学的统计知识，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握国家安全知识较好？请说明理由．
21．（2024八下·珠海期末）如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点．
（1）请问和有何数量关系，并说明理由；
（2）如图所示，在的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数．
22．（2024八下·珠海期末）长隆宇宙飞船的门票销售分两类：一类为散客门票，价格元张，另一类为团体研学门票一次性购买门票张及以上，每张门票价格在散客价格基础上打折某年级组织同学要去宇宙飞船进行研学活动，设参加研学有人，购买门票需要元．
（1）如果初一年级名学生购买散客门票入园，则总共需花费　 　元；
（2）如果买团体研学门票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）初一年级共名学生，请通过计算说明如何买票更省钱．
23．（2024八下·珠海期末）【综合与实践】
问题背景：在矩形纸片中，点为边上的动点，连接，将矩形纸片沿对折，使点落在点处，连接．
（1）如图，若点在线段上，求证：；
（2）如图，若点在对角线上，点是对角线的中点，且，求的度数；
（3）如图，若，，，求点到的距离．
24．（2024八下·珠海期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求的面积；
（2）记点到轴的距离为，到轴的距离为，当时，求点的坐标；
（3）如图，连接，过点作交轴于点，当点在点上方，且满足时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式；
B、，不是最简二次根式；
C、根号内含有小数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故答案为：D.
【分析】根据被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式逐项分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，A不符合题意；
B．∵，
∴以，3，5为边不能组成直角三角形，B不符合题意；
C．∵32+42=52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，C符合题意；
D．∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形逐项分析即可求解.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不能计算，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用二次根式的除法法则进行计算，可对A作出判断；利用二次根式的性质，可对B作出判断利用同类二次根式的定义和合并同类二次根式的法则，可对D，C作出判断.
4．【答案】C
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四个学生数学成绩的平均数相同，s甲2=1.7，s乙2=2.4，s丙2=0.5，s丁2=1.5，
∴丙的方差最小，
∴这四名学生的数学成绩最稳定的是丙，
∴应该派丙参加.
故答案为：C.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，进行判断即可求解.
5．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是直角三角形，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴点到点的距离是，
故答案为：D．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再结合，求出，从而得解.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据题意，一次函数y=kx+b的值随x的增大而增大，即k＞0，
又∵b＜0，
∴这个函数的图象经过第一三四象限，
∴不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据题意，一次函数y=kx+b的值随x的增大而增大，即k＞0，又因为b＜0所以，这个函数的图象经过第一三四象限，不经过第二象限.
7．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：90×30%+80×70%=83（分），
故答案为：C.
【分析】根据将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数叫做加权平均数求出加权平均数，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可知，快递车行驶2n米所需时间为（40-30）分钟，
所以快递车行驶的总时间为3×（40-30）=30（分钟），
所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（40-30）÷2=5（分钟），
故答案为：B.
【分析】由图象可知，快递车行驶2n米所需时间为（40-30）分钟，据此求出快递车行驶的总时间为3×（40-30）=30（分钟），即可求解.
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=20，
∵E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
∵G，H分别是BE，BF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】连接AC、EF，由矩形的对角线相等得出AC的长，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得求出EF的长，同理可求出GH的长.
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件，画出符合条件的图象，
由图象可知，直线与x轴的交点在0和1之间，故①正确；
由图象可知，y随x的增大而增大，故②正确；
当x=0时，y=-2，即b=-2，
当x=1时，m=k+b，即m=k-2，
整理得：k=m+2，
∵m＞0，
∴k＞2，故③正确；
一次函数的解析式为y=（m+2）x-2，
根据题意可得（m+2）x-2＞-m，
∵m＞0，
故可整理为，
∵不等式kx+b＞-m的解集为，
∴，
解得：m=1，
经检验，m=1是原分式方程的解，
∴m=1，k=m+1=3，故④错误.
故答案为：A.
【分析】先根据已知条件，画出符合条件的图象，结合图象即可判断①②，根据题意求出k=m+2，再根据m的范围，即可判断③，先求出不等式的解集，结合题意列出分式方程，解方程即可判断④.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】140
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB//CD
∴∠C+∠ABC=180°，∠EBC+∠BED=180°，
∵∠C=100°，
∴∠ABC=80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=40°，
∴∠BED=180°-40°=140°.
故答案为：140.
【分析】根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠C+∠ABC=180°，∠EBC+∠BED=180°，求出∠ABC的度数，根据角的平分线的概念可得∠EBC=40°，即可求解.
13．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，
∴关于x的方程kx=6-x的解为x=2.
故答案为：x=2.
【分析】根据一次函数y=6-x与y=kx图象的交点横坐标为2，即可求解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，AC=BD，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴BD=AC=8，
∴在正方形ABCD中，， ，AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=AO-AE=4-2=2，
∴在Rt△BOE中，，
∵菱形BEDF的周长为.
故答案为：.
【分析】连接BD，交AC于O，根据正方形的四条边都相等，对角线相等，四个角都是直角可得，AC=BD，∠ABC=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BD=AC=8，根据正方形的对角线垂直且互相平分可得AO=BO=4，AC⊥BD，求得OE=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得BE的值，结合菱形的四条边都相等即可求解.
15．【答案】
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第①个等式中，，
第②个等式中，，
第③个等式中，，
第⑥个等式为：.
故答案为：.
【分析】根据规律写出第⑥个等式即可.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=∠FEG=45°，∠FGH=90°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=90°-∠OPG=90°-67.5°=22.5°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠GBC=∠DBC-∠PBG=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
∵∠BGP=∠BGC=90°，BG=BG，
∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG=CG，
故OG=PG=CG=1.
同理可得：EO=AE，
∵△AED≌△CGB，
∴AE=CG，
∴EO=AE=CG=1，
∴EG=2，
在Rt△EFG中，EF2+FG2=2FG2=EG2=4，
求得：，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF=CG=1，
∴，
∴，
∴正方形ABCD的面积.
故答案为：.
【分析】根据正方形的对角线平分对角，四个角都是直角可得∠EGH=∠FEG=45°，∠FGH=90°，根据等边对等角和三角形内角和是180°可得∠GOP=∠OPG=67.5°，根据直角三角形两个锐角互余可求得∠PBG=22.5°，根据正方形的对角线平分对角可得∠DBC=45°，推得∠PBG=∠GBC，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得PG=CG，从而有OG=PG=CG=1，同理可得：EO=AE=CG=1，求得EG=2，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BG的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BC2的值，根据正方形的面积公式即可求解.
17．【答案】解：小红的解答是错误的，正确解答如下：
.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
18．【答案】（1）；；；
（2）证明：如图，连接BD，
∵，，，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】 （1）解：根据勾股定理得，，，，，
故答案为：；；； .
【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（2）利用勾股定理求出BD、BC、CD的值，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角即可证明.
19．【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）.
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可证明.
20．【答案】（1）解：a=7，b=7.5.
（2）解：根据题意得：（人），
故参加此次测试活动成绩合格的学生人数大概是人.
（3）解：八年级掌握国家安全知识知识较好，理由如下：
∵七、八年级的平均数都是7.5，但是八年级的中位数7.5比七年级的中位数7大；八年级的众数8比七年级的众数7的大，
故八年级掌握国家安全知识知识较好（答案不唯一）.
【知识点】中位数；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级20名学生的测试成绩中7次数出现最多，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=（7+8）÷2=7.5，
故答案为：a=7，b=7.5.
【分析】（1）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可以得到a的值，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）可以得到b的值；
（2）用总人数乘以抽取的人数中合格的所占的百分比即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可.
21．【答案】（1）解：CF=CG，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°=∠DCG，
∴∠CDG+∠G=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∵AE∥DG，
∴∠G=∠AEB，
∴∠FBC=∠CDG，
在△BCF和△DCG中，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，结论得证.
（2）解：连接EH，如图：
在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG，
又∵AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴AE=DG，AD=EG，
∵在正方形ABCD中，AD=BC，
∴BE=BC-EC=AD-EC=EG-EC=CG，
∵在矩形FCGH中，FH=CG，
∴FH=BE，
∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE，
∴四边形BEHF是平行四边形，
∴BF=EH，
由（1）得△BCF≌△DCG，
∴BF=DG，
∴AE=EH，
∴∠EAH=∠EHA，
∵在平行四边形BEHF中，EH∥BF，
又BF⊥AE，
∴EH⊥AE，
∴∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠EHA=90°，
∴∠EAH=∠EHA=45°，
∵AE∥DG，
∴∠AMD=∠EAH=45°.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得BC=DC，∠BCD=∠DCG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDG+∠G=90°，∠FBC+∠AEB=90°，根据两直线平行，同位角相等可得∠G=∠AEB，根据等角的余角相等可得∠FBC=∠CDG，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）连接EH，根据正方形的对边平行可得AD∥EG，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=DG，AD=EG，根据正方形的四条边都相等和矩形的对边相等可推得BE=EH，结合正方形的对边平行和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEHF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BF=EH，根据全等三角形的对应边相等可得BF=DG，推得AE=EH，根据等边对等角可得∠EAH=∠EHA，根据平行四边形的对边平行和两直线平行，同位角相等可得∠AEH=90°，根据三角形内角和是180°可得∠EAH=∠EHA=45°，根据两直线平行，内错角相等即可求解.
22．【答案】（1）18000
（2）根据题意得：，
（3）解：由可知，购买张门票需要费用：元，
，
初一年级名学生购买张门票更省钱.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：80×225=18000（元），
故答案为：18000.
【分析】（1）80名学生购买散客门票乘225计算出结果即可；
（2）根据题意列出函数关系式并写出自变量取值范围即可；
（3）将x=100代入函数解析式求出需要的费用，再和18000比较即可得到更省钱的购票方案.
23．【答案】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，点F在线段AE上，
∴∠DEC=∠DEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=ADE，
∴AD=AE.
（2）解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，
∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF，
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD，
∴∠FMD=∠FDM，
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD，
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD，
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°，
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180，
∴x=18，
∴∠FAD=18°，
∴∠BAF=90°-18°=72°.
（3）解：过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图：
则四边形MDCN是矩形，
∴DM=CN，CD=MN=5，
∵将矩形纸片ABCD沿DE对折，使点C落在点F处，
∴CE=EF=1，CD=DF=5，
设NE=x，FN=y，则MD=CN=x+1，MF=（5-y），
∵NE2+FN2=EF2，MF2+MD2=DF2，
∴x2+y2=1，（x+1）2+（5-y）2=25，
解得：，，
，，
，，
点到的距离为.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等可得∠DEC=∠DEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=ADE，根据等角对等边即可证明；
（2）连接DM，根据矩形的四个角都是直角可得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上的先等于斜边的一半可得DM=AM=CM，根据等边对等角可得∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等可得DF=DC，根据等边对等角可得∠DFC=∠DCF，等量代换可得MF=FD，根据等边对等角可得∠FMD=∠FDM，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，根据三角形内角和是180°列出方程，求出x的值，即可求解；
（3）根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得DM=CN，CD=MN=5，根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应边相等可得CE=EF=1，CD=DF=5，设NE=x，FN=y，则MD=CN=x+1，MF=（5-y），根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出x和y的值，即可求解.
24．【答案】（1）解：在中，令得，令得，
，，
，，
；
的面积为；
（2）解：点是直线上的一个动点，
，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
，，
，
，
或，
解得或，
的坐标为或；
（3）解： 当C与B重合时，过P作PG⊥x轴于G，如图：
∵ OA=3，，
∴，
∵BP⊥OP，
∴2S△AOB=OA OB=AC OP，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时；
当时，过作轴于，如图：
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，此时；
；
当在轴右侧时，
当时，过P作PE⊥x轴于E，如图：
，，
，
，
∴∠BOP=∠BPO，
∵ BO∥PE，
∴∠BOP=∠OPE，∠ABO=∠APE=60°，
∴∠OPE=∠BPO=30°，
∴OA=OP=3，
∴，
即，
故，
当点在点上方，且满足时，的取值范围是或.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 （1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据一次函数上点的坐标特征可得点P的坐标，结合平面直角坐标系中点到坐标轴的距离得出PM和PN的值，根据题意列出方程，解方程求出m的值即可求解；
（3）当C与B重合时，过P作PG⊥x轴于G，根据勾股定理求出AB的值，结合三角形的面积公式求出OP的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AP的值，结合三角形的面积公式求出PG的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出OG的值，即可得出当C与B重合时，m的值，当时，过作轴于，根据直角三角形的性质可推得∠BAO=30°，∠ABO=60°，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得PB=OB，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得OP=PB，∠BOP=60°，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半可求出PH的值，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出OH的值，即可得出当时，m的值，当在轴右侧时，当时，过P作PE⊥x轴于E，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得PB=OB，根据等边对等角和两直线平行，内错角相等，同位角相等可得∠OPE=∠BPO=30°，根据等角对等边可得OA=OP=3，根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半可求出OE的值，即可得出当时，m的值，结合图象即可求解.
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