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广东省广州市天河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共 8 个小题, 每小题 3 分, 满分 24 分; 每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的. )
1．（2024八下·天河期末）下列各数中， 能使二次根式 在实数范围内有意义的是（　　）
A．6 B．3 C．0 D．-5
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵能使二次根式 在实数范围内有意义，
∴x-5≥0，
∴x≥5，
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x-5≥0，进而对比选项即可求解。
2．（2024八下·天河期末）在校园歌手大奖赛中， 评委会给某参赛选手打分 ( 分)， 成绩是： ，则该选手成绩的众数是（　　）
A．98 B．97 C．96 D．95
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得97出现的次数最多，
∴众数为97，
故答案为：B
【分析】根据众数的定义（出现次数最多的数）结合题意即可求解。
3．（2024八下·天河期末）下列算式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的有理化，二次根式的化简结合题意对选项逐一运算即可求解。
4．（2024八下·天河期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
5．（2024八下·天河期末）"儿童放学归来早， 忙趁东风放纸岢"， 如图， 曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度 随飞行时间 的变化情况，则下列说法错误的是（　　）
A．风筝最初的高度为 30 m
B．1 min 时高度和 5 min 时高度相同
C．3 min 时风箏达到最高高度为 60 m
D．2 min 到 4 min 之间，风筝飞行高度 持续上升
【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、风筝最初的高度为，A不符合题意；
B、时高度和时高度相同，均为，B不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，C不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数的图象结合题意对选项逐一判断即可求解。
6．（2024八下·天河期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图知：直线y1和y2相交于点（-1，1），
∴kx＜ax+4的解集就是直线y1低于直线y2的x的取值范围，
即不等式的解集为：x＜-1.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线的交点可求解.
7．（2024八下·天河期末）下列说法正确的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是 的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，A不符合题意；
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，B不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，C符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、菱形的的判定、平行四边形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．（2024八下·天河期末）如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 (　　)
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故答案为：D
【分析】连接，先根据矩形的性质得到，进而根据中点得到AE=6，从而运用勾股定理即可得到BE，再根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
二、多项选择题（本题有 2 个小题，每小题 4 分，共 8 分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2024八下·天河期末） 如图， 在正方形 中， ， 点 在对角线 上， 且不与 重合， 过点 作 于点 于点 ， 连接 ， 下列结论不正确的是 (　　)
A． B．若 ， 则
C． D． 的最小值为
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、四边形是正方形，
，，
，
A不符合题意；
B、连接交于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
B符合题意；
C、连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
， ，
，
四边形是矩形，
，
在和中
，
（），
，
，
C不符合题意；
D、当时，的值最小，
此时，
四边形是正方形，
，
，
，
的最小值为；
D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而根据勾股定理求出AC即可判断选项A；连接交于，根据正方形的性质得到，，进而得到OE，再根据勾股定理求出DE即可判断选项B；连接，先根据正方形的性质得到，，，进而根据矩形的判定与性质得到，根据三角形全等的判定与性质证明（）得到，等量代换即可判断选项C；先根据题意得到当时，的值最小，此时，再根据正方形的性质得到，从而结合题意等量代换即可判断选项D.
10．（2024八下·天河期末）关于函数 ( 为常数)， 下列说法不正确的是 (　　)
A．当 时， 该函数是一次函数
B．若点 在该函数图象上， 且 ， 则
C．若该函数图象不经过第四象限， 则
D．该函数图象恒过点
【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.由一次函数的定义得，A不符合题意；
B.，，
，
，
解得：，B不符合题意；
C.当时，
，
，此时不经过第四象限；
当时，
函数图象不经过第四象限，
，解得；
，C符合题意；
D.，
当时，，，
函数图象恒过点，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据一次函数的定义结合题意即可判定选项A；进而根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意将点代入，从而即可求k的取值，即可判定选项B；根据一次函数的图象与系数的关系结合题意分两种情况计算，从而即可判断选项C；根据题意得到，从而得到定点即可判断选项D.
三、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.）
11．（2024八下·天河期末）计算： 　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的除法法则计算求解即可。
12．（2024八下·天河期末） 已知正比例函数 的图象经过点 ， 则 的值为　 　.
【答案】2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当y=6时，6=3x，
解得x=2，
∴m=2，
故答案为：2
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征结合题意即可求解。
13．（2024八下·天河期末） 已知菱形 的对角长 ， 则菱形 的面积为　 　.
【答案】36
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：36
【分析】根据菱形的性质（面积为对角线乘积的一半）结合题意进行计算即可求解。
14．（2024八下·天河期末）某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 　 　分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，该职员的年终考评为（分，
故答案为：．
【分析】利用加权平均数的定义及计算方法（每个数值与它的权数相乘，然后将这些乘积加总，最后除以所有权数的总和）分析求解即可.
15．（2024八下·天河期末）某市出租车白天的收费起步价为 12 元， 即路程不超过 3 公里时收费 12 元， 超过部分每公里收费 2.6 元. 如果乘客白天乘坐出租车的路程 公里 ， 乘车费为 元， 那么 与 之间的关系式为 　 　。
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得；
故答案为：
【分析】根据“某市出租车白天的收费起步价为 12 元， 即路程不超过 3 公里时收费 12 元， 超过部分每公里收费 2.6 元”结合题意即可列出y与x的一次函数关系式。
16．（2024八下·天河期末）如图， 在 Rt 中， ，点 是斜边 上的一个动点， 把 沿直线 翻折，使点 落在点 处， 当 平行于 Rt 的一条直角边时， 的长为　 　.
【答案】或
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
，，
①当时，
由折叠得，
，
，
由折叠得，
，
，，
，，
；
②当时，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
故答案为：或
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到，，进而分类讨论：①当时，②当时，进而根据折叠的性质结合勾股定理即可求解。
四、解答题（共 9 小题，共 70 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（2024八下·天河期末） 计算： .
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质进行化简，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．（2024八下·天河期末） 如图， 在平行四边形 中， 于点 于点 ， 求证 .
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再根据垂直得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到
19．（2024八下·天河期末）如图， 在正方形网格中， 每个小正方形的边长都是 1.
（1） 填空： 　 　， 　 　；
（2）在图中画出一条线段 ，使得 ；判断以 三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：，
如图所示：即为所求，
、、三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长；
理由：，即，
、、三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）线段的长是：，线段的长是：；
故答案为：，
【分析】（1）根据勾股定理结合网格进行计算即可求解；
（2）根据勾股定理求出EF，进而结合勾股定理的逆定理即可求解。
20．（2024八下·天河期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛， 对他们的跳水技能进行考核。在 6 月 1 日至 10 日在相同条件下进行测试， 成绩（单位：分）如图：
（1） 填空： ①　 　 填写 " "， " "或 ）
②乙运动员成绩的中位数为　 　.
（2）假如你是教练， 会选哪位运动员去参加比赛， 请说明选派理由.
【答案】（1）＜；84
（2）解：，甲的成绩更加稳定，
∴选甲参加比赛更合适
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：①甲的平均数（分），
，
乙的平均数（分）；
=
，
，
，
故答案为：；
②将乙的成绩从小到大排列为，第5、6个分别是83、85，
中位数为（分），
故答案为：84
【分析】（1）①先根据题意求出甲和乙的平均数，进而根据方差的公式即可求解；
②根据中位数的定义结合题意将数据从小到大排列，进而即可求解；
（2）根据方差的定义结合题意即可求解。
21．（2024八下·天河期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 . 求这个直角三角形的斜边长和面积.
【答案】解：由题意得斜边为，
面积为；
∴这个直角三角形的斜边长为，面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出这个直角三角形的斜边长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
22．（2024八下·天河期末）如图， 在 Rt 中， 为边 的中点， .
（1） 求证： 四边形 是菱形；
（2） 若 ， 求四边形 的周长.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，为边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在中，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵为边的中点，
∴，
则四边形的周长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可求出BC，x，从而即可得到AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BD，再根据四边形的周长即可求解。
23．（2024八下·天河期末）用充电器给某手机充电时， 其屏幕画面显示目前电量为 （如图 1）， 经测试， 在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时， 其电量 (单位： %) 与充电时间 （单位： h）的函数图象分别为图 2 中的线段 . 根据以上信息， 回答下列问题：
（1） 填空： 用普通充电器充电， 3 小时后该手机电量为　 　
（2）先用普通充电器充电 后，再改为快速充电器充满电，一共用时 3 h ，请在图2中画出电量 (单位：%)与充电时间 （单位： h）的函数图象， 并标注出 所对应的值.
【答案】（1）60
（2）解：如图，折线即为所求作的图形，其中；
设线段的函数表达式为，
将，代入，解得，
∴线段的函数表达式为：，
∵，
∴设线段的函数表达式为，将代入，得：，解得，
∴线段的函数表达式为：，
联立，解得，即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；平行线的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设线段的函数表达式为，
将，代入，
得，解得：，
∴线段的函数表达式为，
当时，．
故答案为：60
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的函数表达式，进而将x=3代入即可求解；
（2）折线即为所求作的图形，其中，进而运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而根据平行线的性质结合1题意即可得到线段DE的函数表达式，再根据两个一次函数的交点即可求解。
24．（2024八下·天河期末）在平面直角坐标系中， 已知三个点的坐标分别为 .
（1） 求直线 的解析式；
（2） 以 为边在 轴上方作矩形 ，且 ，若过点 的直线 平分该矩形的面积，求直线 与矩形的边的交点坐标；
（3）以 为边作 ，且四边形的一个内角为 ，一条边长为 ，若过点 的直线 与 有两个交点时， 请直接写出 的取值范围.
【答案】（1）解：设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图，连接与交于，直线l与矩形的边的分别交点为、，
、，
，，
，
直线平分矩形的面积，
直线经过点，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
设直线的解析式为，则有
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
直线l与矩形的边的交点坐标为，；
（3）或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）①当平行四边形在轴上方，时，如图，过作轴，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
．
，
由待定系数法同理可求：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
过点A的直线与有两个交点，
或；
②当平行四边形在轴上方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
③当平行四边形在轴下方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
④当平行四边形在轴下方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
综上所述：或
【分析】（1）运用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；
（2）连接与交于，直线l与矩形的边的分别交点为、，根据点B和点C的坐标得到，，进而即可得到BC，再根据垂直平分线的性质结合矩形的性质得到，，从而即可得到点G的坐标，再运用待定系数法求出直线AG的函数表达式，根据一次函数图象上的点的坐标特征即可得到点H和点M的坐标，从而即可求解；
（3）根据题意分类讨论：①当平行四边形在轴上方，时，②当平行四边形在轴上方，时，③当平行四边形在轴下方，时，④当平行四边形在轴下方，时，进而根据平行四边形的性质、勾股定理、待定系数法求出一次函数的解析式即可求解。
25．（2024八下·天河期末）如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 .
（1） 连接 ， 求证 ；
（2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 .
①求证 ；
②若 ， 求 和 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明：①尺规作图如下：
由（1）已证：，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
②设，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
如图，延长，交于点，
∵，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，点是的中点，
则在中，，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解；
（2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解；
②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
1 / 1广东省广州市天河区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共 8 个小题, 每小题 3 分, 满分 24 分; 每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的. )
1．（2024八下·天河期末）下列各数中， 能使二次根式 在实数范围内有意义的是（　　）
A．6 B．3 C．0 D．-5
2．（2024八下·天河期末）在校园歌手大奖赛中， 评委会给某参赛选手打分 ( 分)， 成绩是： ，则该选手成绩的众数是（　　）
A．98 B．97 C．96 D．95
3．（2024八下·天河期末）下列算式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·天河期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
5．（2024八下·天河期末）"儿童放学归来早， 忙趁东风放纸岢"， 如图， 曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度 随飞行时间 的变化情况，则下列说法错误的是（　　）
A．风筝最初的高度为 30 m
B．1 min 时高度和 5 min 时高度相同
C．3 min 时风箏达到最高高度为 60 m
D．2 min 到 4 min 之间，风筝飞行高度 持续上升
6．（2024八下·天河期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·天河期末）下列说法正确的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是 的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（2024八下·天河期末）如图， 矩形 中， 为 的中点， 为 边上任意一点， 分别为 ， 的中点， 则 的长是 (　　)
A．6 B．5.5 C．6.5 D．5
二、多项选择题（本题有 2 个小题，每小题 4 分，共 8 分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2024八下·天河期末） 如图， 在正方形 中， ， 点 在对角线 上， 且不与 重合， 过点 作 于点 于点 ， 连接 ， 下列结论不正确的是 (　　)
A． B．若 ， 则
C． D． 的最小值为
10．（2024八下·天河期末）关于函数 ( 为常数)， 下列说法不正确的是 (　　)
A．当 时， 该函数是一次函数
B．若点 在该函数图象上， 且 ， 则
C．若该函数图象不经过第四象限， 则
D．该函数图象恒过点
三、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.）
11．（2024八下·天河期末）计算： 　 　．
12．（2024八下·天河期末） 已知正比例函数 的图象经过点 ， 则 的值为　 　.
13．（2024八下·天河期末） 已知菱形 的对角长 ， 则菱形 的面积为　 　.
14．（2024八下·天河期末）某公司从德、能、勤、绩、廉等五方面按对员工进行年终考评．公司某职员在2023年度五个方面得分如图所示，则该职员的年终考评为 　 　分．
15．（2024八下·天河期末）某市出租车白天的收费起步价为 12 元， 即路程不超过 3 公里时收费 12 元， 超过部分每公里收费 2.6 元. 如果乘客白天乘坐出租车的路程 公里 ， 乘车费为 元， 那么 与 之间的关系式为 　 　。
16．（2024八下·天河期末）如图， 在 Rt 中， ，点 是斜边 上的一个动点， 把 沿直线 翻折，使点 落在点 处， 当 平行于 Rt 的一条直角边时， 的长为　 　.
四、解答题（共 9 小题，共 70 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（2024八下·天河期末） 计算： .
18．（2024八下·天河期末） 如图， 在平行四边形 中， 于点 于点 ， 求证 .
19．（2024八下·天河期末）如图， 在正方形网格中， 每个小正方形的边长都是 1.
（1） 填空： 　 　， 　 　；
（2）在图中画出一条线段 ，使得 ；判断以 三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由.
20．（2024八下·天河期末）为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全区跳水比赛， 对他们的跳水技能进行考核。在 6 月 1 日至 10 日在相同条件下进行测试， 成绩（单位：分）如图：
（1） 填空： ①　 　 填写 " "， " "或 ）
②乙运动员成绩的中位数为　 　.
（2）假如你是教练， 会选哪位运动员去参加比赛， 请说明选派理由.
21．（2024八下·天河期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 和 . 求这个直角三角形的斜边长和面积.
22．（2024八下·天河期末）如图， 在 Rt 中， 为边 的中点， .
（1） 求证： 四边形 是菱形；
（2） 若 ， 求四边形 的周长.
23．（2024八下·天河期末）用充电器给某手机充电时， 其屏幕画面显示目前电量为 （如图 1）， 经测试， 在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时， 其电量 (单位： %) 与充电时间 （单位： h）的函数图象分别为图 2 中的线段 . 根据以上信息， 回答下列问题：
（1） 填空： 用普通充电器充电， 3 小时后该手机电量为　 　
（2）先用普通充电器充电 后，再改为快速充电器充满电，一共用时 3 h ，请在图2中画出电量 (单位：%)与充电时间 （单位： h）的函数图象， 并标注出 所对应的值.
24．（2024八下·天河期末）在平面直角坐标系中， 已知三个点的坐标分别为 .
（1） 求直线 的解析式；
（2） 以 为边在 轴上方作矩形 ，且 ，若过点 的直线 平分该矩形的面积，求直线 与矩形的边的交点坐标；
（3）以 为边作 ，且四边形的一个内角为 ，一条边长为 ，若过点 的直线 与 有两个交点时， 请直接写出 的取值范围.
25．（2024八下·天河期末）如图是以 为对角线的矩形 和矩形 ， 且 平分 .
（1） 连接 ， 求证 ；
（2） 尺规作图：作 的平分线 交 于点 ， 连接 .
①求证 ；
②若 ， 求 和 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵能使二次根式 在实数范围内有意义，
∴x-5≥0，
∴x≥5，
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x-5≥0，进而对比选项即可求解。
2．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意得97出现的次数最多，
∴众数为97，
故答案为：B
【分析】根据众数的定义（出现次数最多的数）结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的有理化，二次根式的化简结合题意对选项逐一运算即可求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴ （米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故答案为：C．
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、风筝最初的高度为，A不符合题意；
B、时高度和时高度相同，均为，B不符合题意；
C、时风筝达到最高高度为，C不符合题意；
D、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数的图象结合题意对选项逐一判断即可求解。
6．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由图知：直线y1和y2相交于点（-1，1），
∴kx＜ax+4的解集就是直线y1低于直线y2的x的取值范围，
即不等式的解集为：x＜-1.
故答案为：B.
【分析】根据两条直线的交点可求解.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，A不符合题意；
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形，B不符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，C符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、菱形的的判定、平行四边形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，E为中点，
，
，
，
∵G，H分别为，中点，
是的中位线，
．
故答案为：D
【分析】连接，先根据矩形的性质得到，进而根据中点得到AE=6，从而运用勾股定理即可得到BE，再根据三角形中位线定理结合题意即可求解。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：A、四边形是正方形，
，，
，
A不符合题意；
B、连接交于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
B符合题意；
C、连接，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
， ，
，
四边形是矩形，
，
在和中
，
（），
，
，
C不符合题意；
D、当时，的值最小，
此时，
四边形是正方形，
，
，
，
的最小值为；
D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据正方形的性质得到，，进而根据勾股定理求出AC即可判断选项A；连接交于，根据正方形的性质得到，，进而得到OE，再根据勾股定理求出DE即可判断选项B；连接，先根据正方形的性质得到，，，进而根据矩形的判定与性质得到，根据三角形全等的判定与性质证明（）得到，等量代换即可判断选项C；先根据题意得到当时，的值最小，此时，再根据正方形的性质得到，从而结合题意等量代换即可判断选项D.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A.由一次函数的定义得，A不符合题意；
B.，，
，
，
解得：，B不符合题意；
C.当时，
，
，此时不经过第四象限；
当时，
函数图象不经过第四象限，
，解得；
，C符合题意；
D.，
当时，，，
函数图象恒过点，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据一次函数的定义结合题意即可判定选项A；进而根据一次函数图象上的点的坐标特征结合题意将点代入，从而即可求k的取值，即可判定选项B；根据一次函数的图象与系数的关系结合题意分两种情况计算，从而即可判断选项C；根据题意得到，从而得到定点即可判断选项D.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的除法法则计算求解即可。
12．【答案】2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当y=6时，6=3x，
解得x=2，
∴m=2，
故答案为：2
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征结合题意即可求解。
13．【答案】36
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：36
【分析】根据菱形的性质（面积为对角线乘积的一半）结合题意进行计算即可求解。
14．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得，该职员的年终考评为（分，
故答案为：．
【分析】利用加权平均数的定义及计算方法（每个数值与它的权数相乘，然后将这些乘积加总，最后除以所有权数的总和）分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得；
故答案为：
【分析】根据“某市出租车白天的收费起步价为 12 元， 即路程不超过 3 公里时收费 12 元， 超过部分每公里收费 2.6 元”结合题意即可列出y与x的一次函数关系式。
16．【答案】或
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
，，
①当时，
由折叠得，
，
，
由折叠得，
，
，，
，，
；
②当时，
，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
故答案为：或
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质得到，，进而分类讨论：①当时，②当时，进而根据折叠的性质结合勾股定理即可求解。
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质进行化简，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中
，
，
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再根据垂直得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到
19．【答案】（1）；
（2）解：，
如图所示：即为所求，
、、三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长；
理由：，即，
、、三条线段的长不能成为一个直角三角形三边的长．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）线段的长是：，线段的长是：；
故答案为：，
【分析】（1）根据勾股定理结合网格进行计算即可求解；
（2）根据勾股定理求出EF，进而结合勾股定理的逆定理即可求解。
20．【答案】（1）＜；84
（2）解：，甲的成绩更加稳定，
∴选甲参加比赛更合适
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：①甲的平均数（分），
，
乙的平均数（分）；
=
，
，
，
故答案为：；
②将乙的成绩从小到大排列为，第5、6个分别是83、85，
中位数为（分），
故答案为：84
【分析】（1）①先根据题意求出甲和乙的平均数，进而根据方差的公式即可求解；
②根据中位数的定义结合题意将数据从小到大排列，进而即可求解；
（2）根据方差的定义结合题意即可求解。
21．【答案】解：由题意得斜边为，
面积为；
∴这个直角三角形的斜边长为，面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出这个直角三角形的斜边长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，为边的中点，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在中，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∵为边的中点，
∴，
则四边形的周长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可求出BC，x，从而即可得到AB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BD，再根据四边形的周长即可求解。
23．【答案】（1）60
（2）解：如图，折线即为所求作的图形，其中；
设线段的函数表达式为，
将，代入，解得，
∴线段的函数表达式为：，
∵，
∴设线段的函数表达式为，将代入，得：，解得，
∴线段的函数表达式为：，
联立，解得，即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；平行线的性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设线段的函数表达式为，
将，代入，
得，解得：，
∴线段的函数表达式为，
当时，．
故答案为：60
【分析】（1）先根据待定系数法求出直线AC的函数表达式，进而将x=3代入即可求解；
（2）折线即为所求作的图形，其中，进而运用待定系数法求出直线AB的函数解析式，从而根据平行线的性质结合1题意即可得到线段DE的函数表达式，再根据两个一次函数的交点即可求解。
24．【答案】（1）解：设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图，连接与交于，直线l与矩形的边的分别交点为、，
、，
，，
，
直线平分矩形的面积，
直线经过点，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
设直线的解析式为，则有
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
直线l与矩形的边的交点坐标为，；
（3）或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）①当平行四边形在轴上方，时，如图，过作轴，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
．
，
由待定系数法同理可求：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
过点A的直线与有两个交点，
或；
②当平行四边形在轴上方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
③当平行四边形在轴下方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
④当平行四边形在轴下方，时，
同理可求：，直线的解析式为，
或；
综上所述：或
【分析】（1）运用待定系数法即可求出直线AC的函数解析式；
（2）连接与交于，直线l与矩形的边的分别交点为、，根据点B和点C的坐标得到，，进而即可得到BC，再根据垂直平分线的性质结合矩形的性质得到，，从而即可得到点G的坐标，再运用待定系数法求出直线AG的函数表达式，根据一次函数图象上的点的坐标特征即可得到点H和点M的坐标，从而即可求解；
（3）根据题意分类讨论：①当平行四边形在轴上方，时，②当平行四边形在轴上方，时，③当平行四边形在轴下方，时，④当平行四边形在轴下方，时，进而根据平行四边形的性质、勾股定理、待定系数法求出一次函数的解析式即可求解。
25．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明：①尺规作图如下：
由（1）已证：，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
②设，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
如图，延长，交于点，
∵，，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，点是的中点，
则在中，，
∵，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，，再进行角的运算得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到即可求解；
（2）①由（1）已证：，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，再根据矩形的性质得到，结合题意等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可求解；
②设，运用勾股定理即可其表示AG，从而结合题意即可得到CF，延长，交于点，根据等腰三角形的判定与性质（等角对等边）即可得到，从而根据垂直结合题意即可得到，点是的中点，再根据三角形的面积结合题意即可求解。
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