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广东省广州市增城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1．（2024八下·增城期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·增城期末）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
3．（2024八下·增城期末）甲、乙两位学生5次数学训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙发挥更稳定，应选择乙，
故答案为：B．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
4．（2024八下·增城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故A选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加、减、乘、除的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024八下·增城期末）如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×10＝5，
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的性质分析求出DE的长即可.
6．（2024八下·增城期末）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
7．（2024八下·增城期末）一次函数的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
故一次函数y=x+2图象经过（0，2）（-2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故答案为：A．
【分析】先求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，再作出图象即可.
8．（2024八下·增城期末）已知一次函数 与 相交于点 ， 则方程组 的解是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
9．（2024八下·增城期末）若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入中，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】先将点（2，1）代入解析式求出b的值可得函数解析式，再将x=0代入解析式求出y的值，可得答案.
10．（2024八下·增城期末）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上， 顶点 在第一象限， 已知 ， 将矩形 绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ， 则第 2025 次旋转结束时， 点 的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点C作轴于点E，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
过点作轴于点，如图所示：
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故答案为：B
【分析】过点C作轴于点E，连接，先根据等腰直角三角形的性质结合题意等量代换得到，进而根据勾股定理即可得到CE=BE=2，从而即可得到OE，再结合题意即可得到点C的坐标，再根据旋转的性质结合题意即可发现每循环4次与原图形重合，从而即可得到第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，过点作轴于点，则，，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而即可得到点C的坐标。
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（2024八下·增城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．（2024八下·增城期末）若一组数据1、3、8、5、8的众数是　 　．
【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵8出现的次数最多，
∴众数是8．
故答案为：8.
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
13．（2024八下·增城期末）下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是　 　．
y 50 80 100 150
x 25 40 50 75
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设函数关系式为，
则，
解得，
所以，y与x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．（2024八下·增城期末）在 Rt 中， ， 斜边 ， 则斜边上的中线 　 　.
【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在 Rt 中， ， 斜边 ，
∴，
故答案为：4
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质（中线的长度为斜边的一半）结合题意即可求解。
15．（2024八下·增城期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可知，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．（2024八下·增城期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是　 　填上你认为正确结论的序号）．
【答案】②③
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
两车的速度和为：，
相遇后快车停留了，故①结论错误；
慢车的速度为：，
则快车的速度为：，
所以快车的速度比慢车多，故②结论正确；
，所以图中，故③结论正确；
快车到达终点的时间为：，
慢车到达终点的时间为：，
因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误，
故答案为：②③．
【分析】根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系逐项分析判断即可.
三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（2024八下·增城期末）解方程
【答案】解： ，
∴ 或 ，
∴ ；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．（2024八下·增城期末）已知： 中， 是对角线 上两点， 连接 ， 若 . 求证： .
【答案】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，进而根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，再根据三角形全等的判定（ASA）结合题意证明△ABE≌△CDF即可得到AE＝CF．
19．（2024八下·增城期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：由，得：
当时，，
当时，，
∴，．
（2）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图知时，．
故答案为：.
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点A、B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．（2024八下·增城期末）如图， 在 Rt 中， ， 点 是 Rt 外一点， 连接 ， ， 且 .
（1） 求证： ；
（2） 求四边形 面积.
【答案】（1）证明：在中，，，，
，
（2）解：，，
，
由（1）知，即，
，
是直角三角形，且，
；
由（1）知在中，，，，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而即可得到，由（1）知在中，，，，再求出，根据即可求解。
21．（2024八下·增城期末）为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
【答案】（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为，根据“年投入资金万元”列出方程，再求解即可；
（2）根据（1）中的百分比，再列出算式求解即可.
22．（2024八下·增城期末）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？
【答案】（1）解：如图所示，为所求直线；
（2）解：四边形为菱形，理由为：
证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得BE=BF，再利用等量代换可得，从而可证出四边形为菱形．
23．（2024八下·增城期末）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）分别求出当与时，与之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？
（3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
【答案】（1）解：当时，
设与之间的函数关系式为，
把点代入得：，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
当时，
设与之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴当时，设与之间的函数关系式为.
（2）解：当时，，
即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米.
（3）解：当时，，
解得：，
，
即继续生长大约18天，开始开花结果．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象上的数据并利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=30代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=80代入解析式求出x的值，再列出算式求出答案即可.
24．（2024八下·增城期末）如图， 已知直线 经过 两点.
（1） 求直线 的解析式；
（2） 若 C 是线段 OA 上一点， 将线段 CB 绕点 C 顺时针旋转 得到 CD ， 此时点 D 恰好落在直线 AB 上
①求点 C 和点 D 的坐标；
②若点 P 在 y 轴上， Q 在直线 AB 上， 是否存在以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标， 否则说明理由.
【答案】（1）解：将，代入得：
解得
直线AB得表达式为．
（2）解：①过点D作于点E，
，，
．又，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法求出直线AB的函数解析式即可求解；
（2）①过点D作于点E，根据直角结合题意得到，，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，设，则点D得坐标为，根据一次函数图象上的点的坐标特征即可得到m，从而即可得到点C和点D的坐标；
②设点Q的坐标为（n，- n+3），进而分类讨论：当CD为边时，当CD为对角线时，根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
25．（2024八下·增城期末）如图 1， 在正方形 和正方形 中， 点 在同一条直线上， 是线段 的中点， 连接 .
（1） 直接写出 与 的位置和数量关系.
（2） 如图 2， 将原问题中的正方形 和正方形 换成菱形 和菱形 ， 且 . 探究 与 的位置和数量关系， 写出你的猜想并加以证明；
（3） 如图 3， 将图 2 中的菱形 绕点 顺时针旋转， 使菱形 的边 恰好与菱形 的边 在同一条直线上， 问题（2）中的其他条件不变. 你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
【答案】（1），PG=PC
（2）解：猜想：；，证明如下：
如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．证明如下：
如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）延长交于点H，如图所示：
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，PG=PC；
【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得到，进而根据平行公理及其推论得到，再根据平行线的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可得到，再根据等腰直角三角形判定与性质结合题意即可求解；
（2）延长交于点H，根据菱形的性质得到，进而根据题意等量代换得到，再证明得到，从而结合题意等量代换得到， 再结合题意即可得到，，从而得到∠PGC的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质得到CG=2CP，从而根据勾股定理即可得到；
（3）延长到H，使，连接，根据中点得到DP=PF，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意即可得到，进而根据菱形的性质得到，证明得到，等量代换得到，再结合题意求出∠PGC的度数，根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而根据勾股定理即可得到．
1 / 1广东省广州市增城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1．（2024八下·增城期末）下列各式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·增城期末）平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线垂直
3．（2024八下·增城期末）甲、乙两位学生5次数学训练成绩的平均数均为90，方差分别为，，若要从中选择一名发挥稳定的学生参加数学竞赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不确定
4．（2024八下·增城期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·增城期末）如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
6．（2024八下·增城期末）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
7．（2024八下·增城期末）一次函数的图象大致是(　　).
A． B．
C． D．
8．（2024八下·增城期末）已知一次函数 与 相交于点 ， 则方程组 的解是 (　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·增城期末）若直线过点，则直线与轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·增城期末）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形 的顶点 分别在 轴正半轴、 轴正半轴上， 顶点 在第一象限， 已知 ， 将矩形 绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ， 则第 2025 次旋转结束时， 点 的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（2024八下·增城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·增城期末）若一组数据1、3、8、5、8的众数是　 　．
13．（2024八下·增城期末）下面的表格列出了一个实验的部分统计数据，表示将皮球从高处落下时，下降高度 与弹跳高度 的关系，能表示这种关系的式子是　 　．
y 50 80 100 150
x 25 40 50 75
14．（2024八下·增城期末）在 Rt 中， ， 斜边 ， 则斜边上的中线 　 　.
15．（2024八下·增城期末）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在 边上的点F处，若，，则　 　．
16．（2024八下·增城期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留；②快车速度比慢车速度快；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是　 　填上你认为正确结论的序号）．
三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.）
17．（2024八下·增城期末）解方程
18．（2024八下·增城期末）已知： 中， 是对角线 上两点， 连接 ， 若 . 求证： .
19．（2024八下·增城期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
20．（2024八下·增城期末）如图， 在 Rt 中， ， 点 是 Rt 外一点， 连接 ， ， 且 .
（1） 求证： ；
（2） 求四边形 面积.
21．（2024八下·增城期末）为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
22．（2024八下·增城期末）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）连接BE、DF，四边形BEDF是什么特殊四边形？
23．（2024八下·增城期末）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．
（1）分别求出当与时，与之间的函数关系式；
（2）当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？
（3）当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
24．（2024八下·增城期末）如图， 已知直线 经过 两点.
（1） 求直线 的解析式；
（2） 若 C 是线段 OA 上一点， 将线段 CB 绕点 C 顺时针旋转 得到 CD ， 此时点 D 恰好落在直线 AB 上
①求点 C 和点 D 的坐标；
②若点 P 在 y 轴上， Q 在直线 AB 上， 是否存在以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标， 否则说明理由.
25．（2024八下·增城期末）如图 1， 在正方形 和正方形 中， 点 在同一条直线上， 是线段 的中点， 连接 .
（1） 直接写出 与 的位置和数量关系.
（2） 如图 2， 将原问题中的正方形 和正方形 换成菱形 和菱形 ， 且 . 探究 与 的位置和数量关系， 写出你的猜想并加以证明；
（3） 如图 3， 将图 2 中的菱形 绕点 顺时针旋转， 使菱形 的边 恰好与菱形 的边 在同一条直线上， 问题（2）中的其他条件不变. 你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对边平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质（①对边平行且相等；②邻角互补、对角相等；③对角线互相平分）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙发挥更稳定，应选择乙，
故答案为：B．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故A选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能进行相加减，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加、减、乘、除的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝×10＝5，
故答案为：D．
【分析】利用三角形中位线的性质分析求出DE的长即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，
故一次函数y=x+2图象经过（0，2）（-2，0）；
故根据排除法可知A选项正确．
故答案为：A．
【分析】先求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，再作出图象即可.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把点代入中，
得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线与轴的交点坐标为．
故答案为：C．
【分析】先将点（2，1）代入解析式求出b的值可得函数解析式，再将x=0代入解析式求出y的值，可得答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过点C作轴于点E，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
过点作轴于点，如图所示：
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故答案为：B
【分析】过点C作轴于点E，连接，先根据等腰直角三角形的性质结合题意等量代换得到，进而根据勾股定理即可得到CE=BE=2，从而即可得到OE，再结合题意即可得到点C的坐标，再根据旋转的性质结合题意即可发现每循环4次与原图形重合，从而即可得到第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，过点作轴于点，则，，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而即可得到点C的坐标。
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】要使二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式，求解即可。
12．【答案】8
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵8出现的次数最多，
∴众数是8．
故答案为：8.
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，设函数关系式为，
则，
解得，
所以，y与x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可.
14．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在 Rt 中， ， 斜边 ，
∴，
故答案为：4
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质（中线的长度为斜边的一半）结合题意即可求解。
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可知，，，
∴在中，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
故答案为：3．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．【答案】②③
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意得，
两车的速度和为：，
相遇后快车停留了，故①结论错误；
慢车的速度为：，
则快车的速度为：，
所以快车的速度比慢车多，故②结论正确；
，所以图中，故③结论正确；
快车到达终点的时间为：，
慢车到达终点的时间为：，
因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误，
故答案为：②③．
【分析】根据函数图象中的数据并利用“速度、时间和路程”的关系逐项分析判断即可.
17．【答案】解： ，
∴ 或 ，
∴ ；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求出原方程的解.
18．【答案】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，进而根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，再根据三角形全等的判定（ASA）结合题意证明△ABE≌△CDF即可得到AE＝CF．
19．【答案】（1）解：由，得：
当时，，
当时，，
∴，．
（2）
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（2）解：由图知时，．
故答案为：.
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入解析式求出点A、B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．【答案】（1）证明：在中，，，，
，
（2）解：，，
，
由（1）知，即，
，
是直角三角形，且，
；
由（1）知在中，，，，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出BC即可求解；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而即可得到，由（1）知在中，，，，再求出，根据即可求解。
21．【答案】（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为，根据“年投入资金万元”列出方程，再求解即可；
（2）根据（1）中的百分比，再列出算式求解即可.
22．【答案】（1）解：如图所示，为所求直线；
（2）解：四边形为菱形，理由为：
证明：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以、为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）先利用垂直平分线的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得BE=BF，再利用等量代换可得，从而可证出四边形为菱形．
23．【答案】（1）解：当时，
设与之间的函数关系式为，
把点代入得：，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
当时，
设与之间的函数关系式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴当时，设与之间的函数关系式为.
（2）解：当时，，
即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米.
（3）解：当时，，
解得：，
，
即继续生长大约18天，开始开花结果．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象上的数据并利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将x=30代入解析式求出y的值即可；
（3）将y=80代入解析式求出x的值，再列出算式求出答案即可.
24．【答案】（1）解：将，代入得：
解得
直线AB得表达式为．
（2）解：①过点D作于点E，
，，
．又，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2所示：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）
【知识点】平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法求出直线AB的函数解析式即可求解；
（2）①过点D作于点E，根据直角结合题意得到，，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，设，则点D得坐标为，根据一次函数图象上的点的坐标特征即可得到m，从而即可得到点C和点D的坐标；
②设点Q的坐标为（n，- n+3），进而分类讨论：当CD为边时，当CD为对角线时，根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
25．【答案】（1），PG=PC
（2）解：猜想：；，证明如下：
如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．证明如下：
如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）延长交于点H，如图所示：
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，PG=PC；
【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得到，进而根据平行公理及其推论得到，再根据平行线的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而即可得到，再根据等腰直角三角形判定与性质结合题意即可求解；
（2）延长交于点H，根据菱形的性质得到，进而根据题意等量代换得到，再证明得到，从而结合题意等量代换得到， 再结合题意即可得到，，从而得到∠PGC的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质得到CG=2CP，从而根据勾股定理即可得到；
（3）延长到H，使，连接，根据中点得到DP=PF，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意即可得到，进而根据菱形的性质得到，证明得到，等量代换得到，再结合题意求出∠PGC的度数，根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而根据勾股定理即可得到．
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