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广东省广州市番禺区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在每小题给出的四个选择项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·番禺期末）下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，x≥4，A不符合题意；
B、x﹣4＞0，x＞4，B不符合题意；
C、x+4＞0，x＞﹣4，C不符合题意；
D、x+4≥0，x≥﹣4，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解。
3．（2024八下·番禺期末）下列各曲线中， 不是关于 的函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】A、是关于的函数，A不符合题意；
B、是关于的函数，B不符合题意；
C、不是关于的函数，C符合题意；
D、是关于的函数，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，进而对选项逐一判断即可求解。
4．（2024八下·番禺期末）下列四组条件中， 不能判定四边形 是平行四边形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，A不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形，B不符合题意；
C．∵，，
∴不能判定四边形是平行四边形，C符合题意；
D．∵，，
∴四边形是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的判定方法结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．（2024八下·番禺期末）组数据 的平均数是 1 ， 则 的值为 （　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x=1，
故答案为：D
【分析】根据平均数的定义结合数据即可列出一元一次方程，从而即可求解。
6．（2024八下·番禺期末）在平行四边形 ABCD 中 (如图)， 连接 ， 已知 ， 则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BADC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠ACD+∠BCA，，
∴40°+80°=120°，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到∠ACD＝∠BAC，进而根据“∠ACD+∠BCA”结合已知条件代入即可求解。
7．（2024八下·番禺期末）下列关于函数的结论正确的是（　　）
A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
A、当x=1时，，故函数图象不经过点，A不符合题意；
B、函数图象经过第一、三象限，B符合题意；
C、y随x的增大而增大，C不符合题意；
D、不论x为何值，可能有，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
8．（2024八下·番禺期末）如图， 在正方形 的外侧， 作等边三角形 ， 则 为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
9．（2024八下·番禺期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知四边形 是平行四边形， ， 直线 与 ， 分别交于 ， 且将 的面积分成相等的两部分， 则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵，，
∴，
∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线过点，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】连接，交于点，根据平行四边形的性质得到，即为中点，进而根据点A和点C的坐标结合中点坐标是得到点E的坐标，根据面积平分得点E在直线上，将点E代回一次函数即可求出k.
10．（2024八下·番禺期末）如图是一个长、宽、高分别是 的长方体无盖盒子， 已知一根木棒长为 7 cm ， 且 . 通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，
，
A、由勾股定理得当，，时，
，
A符合题意；
B、由勾股定理得当，，时，
，
B不符合题意；
C、由勾股定理得当，，时，
，
C不符合题意；
D、由勾股定理得当，，时，
，
D不符合题意；
故答案为：A
【分析】连接，由题意得，，则，根据勾股定理结合题意对选项逐一分析即可求解。
二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分.
11．（2024八下·番禺期末）计算： ＝　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．（2024八下·番禺期末）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
13．（2024八下·番禺期末）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是　 　．
【答案】9
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意；
若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意；
若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意，
故答案为：9．
【分析】利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可.
14．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， . 若 是 的中位线， 延长 交 的外角平分线于点 ， 则线段 的长为　 　
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠CFE=∠MCF，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠FCE=∠MCF，
∴∠CFE=∠FCE，
∴FE=CE=2.5，
∴DF=ED+FE=1.5+2.5=4，
故答案为：4
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据三角形中位线定理得到，，，从而根据平行线的性质得到∠CFE=∠MCF，再根据角平分线的定义得到∠FCE=∠MCF，等量代换得到∠CFE=∠FCE，根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可得到FE=CE=2.5，从而即可求解。
15．（2024八下·番禺期末）如图， 直线 与直线 相交于点 ， 则关于 的一元一次不等式 的解集是　 　.（结果用不等式表示）
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与直线 相交于点 ，
根据图象可以看出，时直线 的图象在 的图象下方，
关于x的一元一次不等式的解集是
故答案为：
【分析】根据两个一次函数的交点结合图象即可求解。
16．（2024八下·番禺期末）已知邻边长分别为 的平行四边形纸片， 如图 1 对折， 剪下一个边长等于 1 的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图 2 对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作)； 再把剩下的平行四边形如此反复操作下去. 若在第三次操作后， 剩下的平行四边形为菱形，则 的值是　 　.
【答案】或或或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴
∵四边形，，都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
∵四边形，都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
综上所述：的值为或或或，
故答案为：或或或
【分析】根据题意分类讨论：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，进而根据菱形的性质结合题意即可求解。
三、解答题: 本大题共 72 分, 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．（2024八下·番禺期末） 已知 分别是 的整数部分和小数部分.
（1）分别写出 的值；
（2） 求 的值.
【答案】（1）解：∵，
∴，则，
∴，
∴，；
（2）解：由（）得：，，
∴原式
，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据无理数大小的估值得到，进而即可得到，从而结合题意即可求解；
（2）由（）得：，，进而代入即可求解。
19．（2024八下·番禺期末） 如图， 每个小正方形的边长均为 是小正方形的顶点.
（1） 求线段 的长度；
（2） 试判断 的形状， 并说明理由.
【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，且AC=BC，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出AB；
（2）连接AC，根据勾股定理求出AC、BC和AB，从而根据勾股定理的逆定理即可求解。
20．（2024八下·番禺期末） 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中， 两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（1） 分别计算两组数据的平均数和方差；
（2）从计算的结果看， 在 10 天中， 你认为哪台机床生产零件质量更高 请说明理由. （至少从两个角度说明推断的合理性）
【答案】（1）解：甲的平均数是 ，
方差是；
乙的平均数是 ，
方差是．
（2）解：∵，
∴乙机床出次品的波动小，
则乙机床生产零件质量更高；
∵，
∴乙机床出次品的数量的平均数小，
则乙机床生产零件质量更高；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先根据题意求出其平均数，进而计算方差即可求解；
（2）根据方差的定义和平均数结合题意进行数据分析即可求解。
21．（2024八下·番禺期末）如图， 四边形 的对角线 交于点 ， 已知 是 的中点， .
（1） 求证： ；
（2） 当 时， 证明四边形 是矩形.
【答案】（1）证明：
，
在和中
；
（2）证明：
O是的中点
∴四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，进而根据三角形全等的判定AAS即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得到，进而根据中点得到，可得平行四边形，再等量代换得AC=BD，即可根据矩形的判定得到结论。
22．（2024八下·番禺期末）已知： 如图， 点 及在第一象限的动点 ， 且 . 设 的面积为 S .
（1） 求 S 关于 的函数解析式（直接写出 的取值范围)；
（2）当 时， 求 点坐标.
【答案】（1）解：过作于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过作于，根据点A的坐标得到OA，进而即可得到△OPA的面积，从而根据点与象限的关系结合题意即可得到不等式组，从而即可得到x的取值；
（2）根据题意代入S=12即可求解。
23．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， 分别是线段 和线段 上的点， 把 沿着直线 折叠， 若点 恰好与点 重合， 求此时线段 的长和 的面积.
【答案】解：由折叠的性质可得：，，
在中，，，，
设，则
在中，根据勾股定理得
，
即，
在中，根据勾股定理得
（负值已舍去）
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据折叠得到，，，进而根据勾股定理求出AB，从而得到AD，设，则，根据勾股定理求出x，即即，，再根据勾股定理求出DE，根据三角形的面积即可求解。
24．（2024八下·番禺期末）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校 的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车.图1中 ， 分别表示甲、乙离开学校的路程 与甲行走的时间 之间的函数图象.
（1）求线段 所在直线的函数表达式；
（2）设 表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为 .
【答案】（1）解：设AC表达式为y=kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得
解得k=100，b=-600，
所以AC所在直线的函数表达式y=100x-600；
（2）解：设甲出发x分钟后两人相遇，则
解得x=15，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时d=0，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500-60×21=240米，
因此图象如下：
（3）解：设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为210m．
①当乙没出发时，60x≥210，
解得x≥；
②当甲乙相遇前，即x≤15时
60x （100x 600）≥210
解得x≤，
即≤x≤时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
③当甲乙相遇后，即x＞15时
100x 600 60x≥210，
解得x≥20.25，
即20.25≤x≤21时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
④乙到达终点后，
1500 60x≥210，
解得x≤21.5；
综上当≤x≤或20.25≤x≤21.5分钟时甲、乙两人之间的路程至少为210m．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）设甲出发x分钟后相遇，根据速度×时间=路程及追及的时候甲与乙所行的路程相等列方程，计算相遇时的时间，可补全图象；
（3）分①当乙没出发时，②当甲乙相遇前，③当甲乙相遇后，④乙到达终点后四种可能列不等式求解.
25．（2024八下·番禺期末） 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
（1）概念理解： 如图②， 在四边形 ABCD 中， 如果 ， 那么四边形 ABCD 是垂美四边形吗 请说明理由.
（2）性质探究：如图①，垂美四边形 ABCD 两组对边 与 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并给出证明.
（3）问题解决：如图③，分别以 Rt 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE ，连结 . 若 ， 则①求证： ；
② .
【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）解：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）解：①连接CG、BE，如图3所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
∴∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，AB=AE.
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMC=∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，
∴BC=，CG=2，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，
∴GE=．
故答案为：
【分析】（1）先根据垂直平分线的判定得到点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，从而得到直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据垂直平分线的概念得到AC⊥BD，根据垂美四边形的定义即可求解；
（2）已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，进而根据垂直得到∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，根据勾股定理得到AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，从而即可求解；
（3）①连接CG、BE，根据正方形的性质得∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，AB=AE.根据垂直结合题意得到∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，再根据三角形全等的判定定理SAS即可证明△AGB≌△ACE；
②根据三角形全等的性质得到∠ABG=∠AEC，再根据垂美四边形的定义得到四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2，利用勾股定理得到BC=，CG=2，BE=5，代入GE2=CG2+BE2﹣CB2=37即可求解。
1 / 1广东省广州市番禺区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分. 在每小题给出的四个选择项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·番禺期末）下列实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·番禺期末）下列二次根式有意义的范围为 的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·番禺期末）下列各曲线中， 不是关于 的函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·番禺期末）下列四组条件中， 不能判定四边形 是平行四边形的是 (　　)
A． B．
C． D．
5．（2024八下·番禺期末）组数据 的平均数是 1 ， 则 的值为 （　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
6．（2024八下·番禺期末）在平行四边形 ABCD 中 (如图)， 连接 ， 已知 ， 则 ( )
A． B． C． D．
7．（2024八下·番禺期末）下列关于函数的结论正确的是（　　）
A．函数图象经过点 B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小 D．不论x为何值，总有
8．（2024八下·番禺期末）如图， 在正方形 的外侧， 作等边三角形 ， 则 为 ( )
A． B． C． D．
9．（2024八下·番禺期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知四边形 是平行四边形， ， 直线 与 ， 分别交于 ， 且将 的面积分成相等的两部分， 则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2024八下·番禺期末）如图是一个长、宽、高分别是 的长方体无盖盒子， 已知一根木棒长为 7 cm ， 且 . 通过计算发现，不能放入此木棒的无盖盒子的规格是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分.
11．（2024八下·番禺期末）计算： ＝　 　．
12．（2024八下·番禺期末）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　 　．
13．（2024八下·番禺期末）一组数据为11，7，9，若添加一个数据，使得4个数据的中位数和众数相等，则添加的数据是　 　．
14．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， . 若 是 的中位线， 延长 交 的外角平分线于点 ， 则线段 的长为　 　
15．（2024八下·番禺期末）如图， 直线 与直线 相交于点 ， 则关于 的一元一次不等式 的解集是　 　.（结果用不等式表示）
16．（2024八下·番禺期末）已知邻边长分别为 的平行四边形纸片， 如图 1 对折， 剪下一个边长等于 1 的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图 2 对折，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作)； 再把剩下的平行四边形如此反复操作下去. 若在第三次操作后， 剩下的平行四边形为菱形，则 的值是　 　.
三、解答题: 本大题共 72 分, 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.
17．（2024八下·番禺期末） 计算：
（1） ；
（2） .
18．（2024八下·番禺期末） 已知 分别是 的整数部分和小数部分.
（1）分别写出 的值；
（2） 求 的值.
19．（2024八下·番禺期末） 如图， 每个小正方形的边长均为 是小正方形的顶点.
（1） 求线段 的长度；
（2） 试判断 的形状， 并说明理由.
20．（2024八下·番禺期末） 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中， 两台机床每天出次品的数量如下表：
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（1） 分别计算两组数据的平均数和方差；
（2）从计算的结果看， 在 10 天中， 你认为哪台机床生产零件质量更高 请说明理由. （至少从两个角度说明推断的合理性）
21．（2024八下·番禺期末）如图， 四边形 的对角线 交于点 ， 已知 是 的中点， .
（1） 求证： ；
（2） 当 时， 证明四边形 是矩形.
22．（2024八下·番禺期末）已知： 如图， 点 及在第一象限的动点 ， 且 . 设 的面积为 S .
（1） 求 S 关于 的函数解析式（直接写出 的取值范围)；
（2）当 时， 求 点坐标.
23．（2024八下·番禺期末）如图， 在 中， 分别是线段 和线段 上的点， 把 沿着直线 折叠， 若点 恰好与点 重合， 求此时线段 的长和 的面积.
24．（2024八下·番禺期末）甲、乙两位同学从学校出发沿同一条绿道到相距学校 的图书馆去看书，甲步行，乙骑自行车.图1中 ， 分别表示甲、乙离开学校的路程 与甲行走的时间 之间的函数图象.
（1）求线段 所在直线的函数表达式；
（2）设 表示甲、乙两人之间的路程，在图2中补全d关于x的函数图象；（标注必要的数据）
（3）当x在什么范围时，甲、乙两人之间的路程至少为 .
25．（2024八下·番禺期末） 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
（1）概念理解： 如图②， 在四边形 ABCD 中， 如果 ， 那么四边形 ABCD 是垂美四边形吗 请说明理由.
（2）性质探究：如图①，垂美四边形 ABCD 两组对边 与 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并给出证明.
（3）问题解决：如图③，分别以 Rt 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE ，连结 . 若 ， 则①求证： ；
② .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无限不循环小数，是无理数，故本选项题意．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，x≥4，A不符合题意；
B、x﹣4＞0，x＞4，B不符合题意；
C、x+4＞0，x＞﹣4，C不符合题意；
D、x+4≥0，x≥﹣4，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解。
3．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】A、是关于的函数，A不符合题意；
B、是关于的函数，B不符合题意；
C、不是关于的函数，C符合题意；
D、是关于的函数，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，进而对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，A不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形，B不符合题意；
C．∵，，
∴不能判定四边形是平行四边形，C符合题意；
D．∵，，
∴四边形是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的判定方法结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x=1，
故答案为：D
【分析】根据平均数的定义结合数据即可列出一元一次方程，从而即可求解。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BADC，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠ACD+∠BCA，，
∴40°+80°=120°，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到∠ACD＝∠BAC，进而根据“∠ACD+∠BCA”结合已知条件代入即可求解。
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
A、当x=1时，，故函数图象不经过点，A不符合题意；
B、函数图象经过第一、三象限，B符合题意；
C、y随x的增大而增大，C不符合题意；
D、不论x为何值，可能有，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，即为中点，
∵，，
∴，
∵直线将的面积分成相等的两部分，
∴直线过点，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】连接，交于点，根据平行四边形的性质得到，即为中点，进而根据点A和点C的坐标结合中点坐标是得到点E的坐标，根据面积平分得点E在直线上，将点E代回一次函数即可求出k.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，
，
A、由勾股定理得当，，时，
，
A符合题意；
B、由勾股定理得当，，时，
，
B不符合题意；
C、由勾股定理得当，，时，
，
C不符合题意；
D、由勾股定理得当，，时，
，
D不符合题意；
故答案为：A
【分析】连接，由题意得，，则，根据勾股定理结合题意对选项逐一分析即可求解。
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角形的两个面积公式可解答。
13．【答案】9
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：若众数为11，则数据为11，7，9，11，此时中位数为10，不符合题意；
若众数为9，则数据为11，7，9，9，中位数为9，符合题意；
若众数为7，则数据为11，7，9，7，中位数为8，不符合题意，
故答案为：9．
【分析】利用众数和中位数的定义及计算方法分析求解即可.
14．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，
∵DE是△ABC的中位线，
∴，，，
∴∠CFE=∠MCF，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠FCE=∠MCF，
∴∠CFE=∠FCE，
∴FE=CE=2.5，
∴DF=ED+FE=1.5+2.5=4，
故答案为：4
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据三角形中位线定理得到，，，从而根据平行线的性质得到∠CFE=∠MCF，再根据角平分线的定义得到∠FCE=∠MCF，等量代换得到∠CFE=∠FCE，根据等腰三角形的判定（等角对等边）即可得到FE=CE=2.5，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵ 直线 与直线 相交于点 ，
根据图象可以看出，时直线 的图象在 的图象下方，
关于x的一元一次不等式的解集是
故答案为：
【分析】根据两个一次函数的交点结合图象即可求解。
16．【答案】或或或
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，即，
解得：；
如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，
∵四边形为菱形，
∴，
∴
∵四边形，，都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，为菱形，
∴，
∴，
∵四边形，都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，
∵四边形，，，都为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴
解得：，
综上所述：的值为或或或，
故答案为：或或或
【分析】根据题意分类讨论：如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，如图，经历三次折叠后，四边形为菱形，如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，如图，经历三次折叠后， 四边形为菱形，进而根据菱形的性质结合题意即可求解。
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：∵，
∴，则，
∴，
∴，；
（2）解：由（）得：，，
∴原式
，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先根据无理数大小的估值得到，进而即可得到，从而结合题意即可求解；
（2）由（）得：，，进而代入即可求解。
19．【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，且AC=BC，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出AB；
（2）连接AC，根据勾股定理求出AC、BC和AB，从而根据勾股定理的逆定理即可求解。
20．【答案】（1）解：甲的平均数是 ，
方差是；
乙的平均数是 ，
方差是．
（2）解：∵，
∴乙机床出次品的波动小，
则乙机床生产零件质量更高；
∵，
∴乙机床出次品的数量的平均数小，
则乙机床生产零件质量更高；
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【分析】（1）先根据题意求出其平均数，进而计算方差即可求解；
（2）根据方差的定义和平均数结合题意进行数据分析即可求解。
21．【答案】（1）证明：
，
在和中
；
（2）证明：
O是的中点
∴四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到，，进而根据三角形全等的判定AAS即可证明；
（2）先根据三角形全等的性质得到，进而根据中点得到，可得平行四边形，再等量代换得AC=BD，即可根据矩形的判定得到结论。
22．【答案】（1）解：过作于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∴．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过作于，根据点A的坐标得到OA，进而即可得到△OPA的面积，从而根据点与象限的关系结合题意即可得到不等式组，从而即可得到x的取值；
（2）根据题意代入S=12即可求解。
23．【答案】解：由折叠的性质可得：，，
在中，，，，
设，则
在中，根据勾股定理得
，
即，
在中，根据勾股定理得
（负值已舍去）
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】先根据折叠得到，，，进而根据勾股定理求出AB，从而得到AD，设，则，根据勾股定理求出x，即即，，再根据勾股定理求出DE，根据三角形的面积即可求解。
24．【答案】（1）解：设AC表达式为y=kx+b，把（6，0）、（21，25）代入得
解得k=100，b=-600，
所以AC所在直线的函数表达式y=100x-600；
（2）解：设甲出发x分钟后两人相遇，则
解得x=15，
即甲出发15分钟后两人相遇，此时d=0，
21分钟后乙到图书馆，甲距图书馆1500-60×21=240米，
因此图象如下：
（3）解：设甲出发x分钟甲、乙两人之间的路程至少为210m．
①当乙没出发时，60x≥210，
解得x≥；
②当甲乙相遇前，即x≤15时
60x （100x 600）≥210
解得x≤，
即≤x≤时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
③当甲乙相遇后，即x＞15时
100x 600 60x≥210，
解得x≥20.25，
即20.25≤x≤21时甲、乙两人之间的路程至少为210m；
④乙到达终点后，
1500 60x≥210，
解得x≤21.5；
综上当≤x≤或20.25≤x≤21.5分钟时甲、乙两人之间的路程至少为210m．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）设甲出发x分钟后相遇，根据速度×时间=路程及追及的时候甲与乙所行的路程相等列方程，计算相遇时的时间，可补全图象；
（3）分①当乙没出发时，②当甲乙相遇前，③当甲乙相遇后，④乙到达终点后四种可能列不等式求解.
25．【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）解：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．
∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）解：①连接CG、BE，如图3所示：
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
∴∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，AB=AE.
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，
∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（3）②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠BMC=∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=2，AB=5，
∴BC=，CG=2，BE=5，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，
∴GE=．
故答案为：
【分析】（1）先根据垂直平分线的判定得到点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，从而得到直线AC是线段BD的垂直平分线，再根据垂直平分线的概念得到AC⊥BD，根据垂美四边形的定义即可求解；
（2）已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，进而根据垂直得到∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，根据勾股定理得到AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，从而即可求解；
（3）①连接CG、BE，根据正方形的性质得∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，AB=AE.根据垂直结合题意得到∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，再根据三角形全等的判定定理SAS即可证明△AGB≌△ACE；
②根据三角形全等的性质得到∠ABG=∠AEC，再根据垂美四边形的定义得到四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2，利用勾股定理得到BC=，CG=2，BE=5，代入GE2=CG2+BE2﹣CB2=37即可求解。
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