资源简介

广东省深圳中学初中部2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·深圳期末）如果不等式的解集为，那么的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·深圳期末）下列各式中，不含因式的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，则图中的平行四边形共有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2024八下·深圳期末）若是关于的方程的一个根，则的值为(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·深圳期末）如图，中，于点，于点，交于点，若，则等于(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·深圳期末）已知分式为常数满足下列表格中的信息：
的取值
分式的取值 无意义
以下结论中错误的是(　　)
A． B． C． D．
7．（2024八下·深圳期末）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024八下·深圳期末）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·深圳期末）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：请根据上述定义解决问题：若不等式有个整数解，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
10．（2024八下·深圳期末）已知一元二次方程的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
12．（2024八下·深圳期末）在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有　 　个
13．（2024八下·深圳期末）将分式化为最简分式，所得结果是　 　．
14．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连结，，为的中点，为的中点，连结，则长的最小值为　 　．
15．（2024八下·深圳期末）如图，动点在正方形内，射线与边有交点，连接，过点作的垂线交射线于点若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；；其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024八下·深圳期末）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
17．（2024八下·深圳期末）（1）分解因式：；
（2）先化简，再求值，，其中．
18．（2024八下·深圳期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
19．（2024八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，和的顶点的坐标都是整数，已知点，．
（1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，请在图中画出；
（2）将绕点逆时针旋转，得到，其中点，分别与点，对应，请在图中画出；
（3）与关于平面内某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．
20．（2024八下·深圳期末）如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？并给出证明。
21．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
22．（2024八下·深圳期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点与点、不重合，连结、．
（1）求证：≌；
（2）将线段绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处与点不重合，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
（3）在的条件下，当　 　时，射线是的三等分线．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：（a+1）x＜a+1，
当a+1＜0时，x＞1，
所以a+1＜0，解得a＜-1，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可。不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解决本题的关键。
2．【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），A正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，B正确；
C、a2-1=（a+1）（a-1），C正确；
D、a2+a+=（a+）2，D错误．
故答案为：D．
【分析】本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB∥CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故答案为：C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出AB∥CD，AD∥BC，结合已知条件可得出EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形。
4．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵x=-1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，
∴（-1）2+a×（-1）=0，即1-a=0，
解得a=1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入方程中得到关于a的方程并求解即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FDB和△CAD中，
，
∴△FDB≌△CDA，
∴DA=DB，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90°，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可。
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵x的取值-1，分式的取值无意义，
∴x+a=0，即-1+a=0，解得a=1，则A正确，不符合题意；
∵x的取值1，分式的取值0，
∴=0，即2×1-b=0，解得b=2，则B正确，不符合题意；
∵x的取值2，分式的取值c，
∴c==，则C错误，符合题意；
∵x的取值d，分式的取值1，
∴=1，解得d=3，则D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式方程无意义x的取值即可求得a，然后结合x的取值和分式的值逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形
通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项分析即可。在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
8．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、C选项路线都关于对角线对称，因而函数图象应具有对称性，故、错误，
对于选项B点从到过程中的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误．
综上所得，D正确，
故答案为：D．
【分析】利用点P运动到各端点时OP的长，再分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题意，得4※x=4x-4-x+3=3x-1．
∴a＜3x-1＜8，
解得＜x＜3．
∵解集中有2个整数解，
∴0≤＜1，
解得-1≤a＜2．
故答案为：B．
【分析】根据m※n=mn-m-n+3，用4替换m，x替换n，再利用不等式组的整数解为1，2，故0≤＜1．解不等式组即可。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的两个根记作an，bn，
∴an+bn=n+2，an bn=-2n2，
∴（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴++ +
=-×[（-）+（-）+ +（-）]
=-×（1-）
=-．
故答案为：C．
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，则an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），然后代入即可求解。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2-2x-3=（x-3）（x+1）．
故答案为：（x-3）（x+1）．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可。
12．【答案】3
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：圆、正六边形、正八边形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
所以属于中心对称图形的有3个．
故答案为：3．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点。
13．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式的性质，进行约分化简即可．
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，
∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
∵AG≤AC，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=AG，求出AG的最最小值即可解决问题。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥AE于F，如图，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵过点A作AP的垂线交射线DP于点E，
∴∠PAE=90°，
∵∠DAP+∠PAB=∠PAB+∠BAE，
∴∠DAP=∠BAE，
∵AE=AP，
∴△AEB≌△APD（SAS），则①正确；
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠APD=135°，
则∠BEP=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，则②正确；
在Rt△AEP中，PE==，
在Rt△BEP中，BE==2，
∵∠BEF=180°-∠AEB=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF==，可判断③正确；
∵S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP
=AE AP+EP BE
=+，
S△AEB=AE FB=×1×=，
∴S△APB=S四边形AEBP-S△AEB=+-=，则④不正确；
∵Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，得AB2=（1+）2+（）2=5+2，
∴S正方形ABCD=5+2，则⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【分析】过B作BF⊥AE于F，根据题意可证得△AEB≌△APD（SAS），则①正确；即可得∠AEB=∠APD，则∠BEP=∠AEB-∠AEP=90°，则②正确；利用勾股定理求得PE=，BE=，继而判定△BEF是等腰直角三角形，求得BF=BF==，可判断③正确；结合S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP，S△AEB=AE FB，则S△APB=S四边形AEBP-S△AEB，则④不正确；AB2=AF2+BF2，得AB2=（1+）2+（）2=5+2，则S正方形ABCD=5+2，则⑤正确．
16．【答案】（1）解：
，，，
，
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集是：．
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
，
当时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可；
（2）先计算分式乘法，然后去括号合并同类项，最后代入数值计算即可.
18．【答案】（1）解：是的角平分线，，，
，
；
（2）解：在和中
，
≌，
，
而，
垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE=DF，则根据等腰三角形的性质得∠DEF=∠DFE；
（2）先利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）∵△A1B1C1与△DE1F1关于平面内一点M成中心对称，A1（-1，3），D（3，-3），
∴M（，），即M（1，0）．
故答案为：M（1，0）．
【分析】（1）根据所给平移方式结合“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后描出A1、B1、C1，最后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据所给平移方式结合网格的特点找到E、F对应点E1、F1的位置，再顺次连接D、E1、F1即可；
（3）根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心进行求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵M，E分别为PD，CD的中点，∴ME∥PC，
同理可证：ME∥PD，
∴四边形PMEN为平行四边形
（2）解：当PA＝5时，四边形PMEN为菱形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AP＝5，AB＝CD＝10，∴AP＝BP，在△APD和△BPC中，AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，∴△APD≌△BPC(SAS)，∴PD＝PC，∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴EN＝PM＝ PD，PN＝EM＝ PC，∴PM＝EM＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ME∥PC，NE∥PD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形PMEN为平行四边形；
（2）由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，用边角边易证△APD≌△BPC，可得PD＝PC，结合三角形的中位线定理易证PM＝EM＝EN＝PN，根据有四条边相等的四边形是菱形可得四边形PMEN是菱形。
21．【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
22．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
（2）解：解：的大小不发生变化，；
过点作，，垂足分别为点、，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
，
即；
（3）或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：∵射线DP是∠ADC的三等分线，
∴∠CDP=60°或30°，
当∠CDP=60°时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图2，
则∠DEP=∠PFQ=90°，四边形DEFA为矩形，
∴∠DPE+∠PDE=90°，DE=AF，AD=EF，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPE+∠QPF=90°，
∴∠QPF=∠PDE，
∵DP=QP，
∴△QPF≌△PDE（AAS），
∴EP=QF，
设DE=x，
∵∠CDP=60°，
∴DP=2x，EP=x，
∴AQ=QF-AF=x-x，QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ=x+x+x-x=2x，
则==；
当∠CDP=30°，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图3，
设DE=x，同理可得AQ=QF-AF=x-x，QB=AB-QA=AD-AQ=EP+PF-AQ=x+x-（x-x）=2x，
则=．
故当=或时，射线DP是∠ADC的三等分线，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意得AD=AB，∠DAC=∠BAC=45°，即可证明△PAD≌△PAB；
（2）过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，即可证得四边形AMPN是正方形，继而得到Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），有∠DPN=∠QPM，即可判定∠QPN+∠DPN=90°，则∠DPQ=90°；
（3）根据题意得∠CDP=60°或30°，当∠CDP=60°时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，则∠DEP=∠PFQ=90°，四边形DEFA为矩形，证明△QPF≌△PDE（AAS），有EP=QF，设DE=x，则DP=2x，EP=x，求得AQ=QF-AF和QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ，即可得到；当∠CDP=30°，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，设DE=x，同理可得AQ=QF-AFQB=AB-QA=AD-AQ，即可求得。
1 / 1广东省深圳中学初中部2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·深圳期末）如果不等式的解集为，那么的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：（a+1）x＜a+1，
当a+1＜0时，x＞1，
所以a+1＜0，解得a＜-1，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可。不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解决本题的关键。
2．（2024八下·深圳期末）下列各式中，不含因式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：A、∵2a2+2a=2a（a+1），A正确；
B、a2+2a+1=（a+1）2，B正确；
C、a2-1=（a+1）（a-1），C正确；
D、a2+a+=（a+）2，D错误．
故答案为：D．
【分析】本题需先对每个式子进行因式分解，即可得出不含因式a+1的式子。
3．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，分别在边，上，，则图中的平行四边形共有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，四边形AEFD为平行四边形，
由∵EB∥CF，
∴四边形EBCF为平行四边形，
∴图中有平行四边形ABCD，平行四边形AEFD，平行四边形EBCF一共三个，
故答案为：C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得出AB∥CD，AD∥BC，结合已知条件可得出EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形AEFD和四边形EBCF是平行四边形。
4．（2024八下·深圳期末）若是关于的方程的一个根，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵x=-1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，
∴（-1）2+a×（-1）=0，即1-a=0，
解得a=1，
故答案为：A．
【分析】将x=-1代入方程中得到关于a的方程并求解即可。
5．（2024八下·深圳期末）如图，中，于点，于点，交于点，若，则等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FDB和△CAD中，
，
∴△FDB≌△CDA，
∴DA=DB，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
故答案为：A．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADB=∠BEC=90°，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可。
6．（2024八下·深圳期末）已知分式为常数满足下列表格中的信息：
的取值
分式的取值 无意义
以下结论中错误的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵x的取值-1，分式的取值无意义，
∴x+a=0，即-1+a=0，解得a=1，则A正确，不符合题意；
∵x的取值1，分式的取值0，
∴=0，即2×1-b=0，解得b=2，则B正确，不符合题意；
∵x的取值2，分式的取值c，
∴c==，则C错误，符合题意；
∵x的取值d，分式的取值1，
∴=1，解得d=3，则D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据分式方程无意义x的取值即可求得a，然后结合x的取值和分式的值逐项判断即可。
7．（2024八下·深圳期末）下列四个图案中，可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、B、D三个选项中的图形不是平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形
通过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据平移的定义逐项分析即可。在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
8．（2024八下·深圳期末）已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该四边形可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、C选项路线都关于对角线对称，因而函数图象应具有对称性，故、错误，
对于选项B点从到过程中的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误．
综上所得，D正确，
故答案为：D．
【分析】利用点P运动到各端点时OP的长，再分析求解即可.
9．（2024八下·深圳期末）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：请根据上述定义解决问题：若不等式有个整数解，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题意，得4※x=4x-4-x+3=3x-1．
∴a＜3x-1＜8，
解得＜x＜3．
∵解集中有2个整数解，
∴0≤＜1，
解得-1≤a＜2．
故答案为：B．
【分析】根据m※n=mn-m-n+3，用4替换m，x替换n，再利用不等式组的整数解为1，2，故0≤＜1．解不等式组即可。
10．（2024八下·深圳期末）已知一元二次方程的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的两个根记作an，bn，
∴an+bn=n+2，an bn=-2n2，
∴（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
∴=-（-），
∴++ +
=-×[（-）+（-）+ +（-）]
=-×（1-）
=-．
故答案为：C．
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，则an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），然后代入即可求解。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：x2-2x-3=（x-3）（x+1）．
故答案为：（x-3）（x+1）．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可。
12．（2024八下·深圳期末）在圆、正六边形、正八边形中，属于中心对称图形的有　 　个
【答案】3
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：圆、正六边形、正八边形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
所以属于中心对称图形的有3个．
故答案为：3．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点。
13．（2024八下·深圳期末）将分式化为最简分式，所得结果是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分式的性质，进行约分化简即可．
14．（2024八下·深圳期末）如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连结，，为的中点，为的中点，连结，则长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=DM=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，
∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
∵AG≤AC，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD=90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=AG，求出AG的最最小值即可解决问题。
15．（2024八下·深圳期末）如图，动点在正方形内，射线与边有交点，连接，过点作的垂线交射线于点若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；；其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过B作BF⊥AE于F，如图，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∵过点A作AP的垂线交射线DP于点E，
∴∠PAE=90°，
∵∠DAP+∠PAB=∠PAB+∠BAE，
∴∠DAP=∠BAE，
∵AE=AP，
∴△AEB≌△APD（SAS），则①正确；
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠APD=135°，
则∠BEP=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，则②正确；
在Rt△AEP中，PE==，
在Rt△BEP中，BE==2，
∵∠BEF=180°-∠AEB=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=EF==，可判断③正确；
∵S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP
=AE AP+EP BE
=+，
S△AEB=AE FB=×1×=，
∴S△APB=S四边形AEBP-S△AEB=+-=，则④不正确；
∵Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2，得AB2=（1+）2+（）2=5+2，
∴S正方形ABCD=5+2，则⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【分析】过B作BF⊥AE于F，根据题意可证得△AEB≌△APD（SAS），则①正确；即可得∠AEB=∠APD，则∠BEP=∠AEB-∠AEP=90°，则②正确；利用勾股定理求得PE=，BE=，继而判定△BEF是等腰直角三角形，求得BF=BF==，可判断③正确；结合S四边形AEBP=S△AEP+S△BEP，S△AEB=AE FB，则S△APB=S四边形AEBP-S△AEB，则④不正确；AB2=AF2+BF2，得AB2=（1+）2+（）2=5+2，则S正方形ABCD=5+2，则⑤正确．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024八下·深圳期末）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1）解：
，，，
，
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集是：．
【知识点】公式法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
17．（2024八下·深圳期末）（1）分解因式：；
（2）先化简，再求值，，其中．
【答案】（1）解：
（2）解：
，
当时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）综合运用提公因式法以及公式法分解因式即可；
（2）先计算分式乘法，然后去括号合并同类项，最后代入数值计算即可.
18．（2024八下·深圳期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）解：是的角平分线，，，
，
；
（2）解：在和中
，
≌，
，
而，
垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE=DF，则根据等腰三角形的性质得∠DEF=∠DFE；
（2）先利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论.
19．（2024八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，和的顶点的坐标都是整数，已知点，．
（1）将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别与点，，对应，请在图中画出；
（2）将绕点逆时针旋转，得到，其中点，分别与点，对应，请在图中画出；
（3）与关于平面内某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）∵△A1B1C1与△DE1F1关于平面内一点M成中心对称，A1（-1，3），D（3，-3），
∴M（，），即M（1，0）．
故答案为：M（1，0）．
【分析】（1）根据所给平移方式结合“上加下减，左减右加”的平移规律得到A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后描出A1、B1、C1，最后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据所给平移方式结合网格的特点找到E、F对应点E1、F1的位置，再顺次连接D、E1、F1即可；
（3）根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心进行求解即可。
20．（2024八下·深圳期末）如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）当AP为何值时，四边形PMEN是菱形？并给出证明。
【答案】（1）证明：∵M，E分别为PD，CD的中点，∴ME∥PC，
同理可证：ME∥PD，
∴四边形PMEN为平行四边形
（2）解：当PA＝5时，四边形PMEN为菱形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∵AP＝5，AB＝CD＝10，∴AP＝BP，在△APD和△BPC中，AP＝BP，∠A＝∠B，AD＝BC，∴△APD≌△BPC(SAS)，∴PD＝PC，∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴EN＝PM＝ PD，PN＝EM＝ PC，∴PM＝EM＝EN＝PN，
∴四边形PMEN是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ME∥PC，NE∥PD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形PMEN为平行四边形；
（2）由矩形的性质可得∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，用边角边易证△APD≌△BPC，可得PD＝PC，结合三角形的中位线定理易证PM＝EM＝EN＝PN，根据有四条边相等的四边形是菱形可得四边形PMEN是菱形。
21．（2024八下·深圳期末）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
22．（2024八下·深圳期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点与点、不重合，连结、．
（1）求证：≌；
（2）将线段绕点逆时针旋转，使得点落在直线上的点处与点不重合，当点在线段上运动时，的大小是否发生变化？请说明理由；
（3）在的条件下，当　 　时，射线是的三等分线．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
（2）解：解：的大小不发生变化，；
过点作，，垂足分别为点、，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
，
即；
（3）或．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：∵射线DP是∠ADC的三等分线，
∴∠CDP=60°或30°，
当∠CDP=60°时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图2，
则∠DEP=∠PFQ=90°，四边形DEFA为矩形，
∴∠DPE+∠PDE=90°，DE=AF，AD=EF，
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPE+∠QPF=90°，
∴∠QPF=∠PDE，
∵DP=QP，
∴△QPF≌△PDE（AAS），
∴EP=QF，
设DE=x，
∵∠CDP=60°，
∴DP=2x，EP=x，
∴AQ=QF-AF=x-x，QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ=x+x+x-x=2x，
则==；
当∠CDP=30°，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，如图3，
设DE=x，同理可得AQ=QF-AF=x-x，QB=AB-QA=AD-AQ=EP+PF-AQ=x+x-（x-x）=2x，
则=．
故当=或时，射线DP是∠ADC的三等分线，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意得AD=AB，∠DAC=∠BAC=45°，即可证明△PAD≌△PAB；
（2）过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，即可证得四边形AMPN是正方形，继而得到Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），有∠DPN=∠QPM，即可判定∠QPN+∠DPN=90°，则∠DPQ=90°；
（3）根据题意得∠CDP=60°或30°，当∠CDP=60°时，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，则∠DEP=∠PFQ=90°，四边形DEFA为矩形，证明△QPF≌△PDE（AAS），有EP=QF，设DE=x，则DP=2x，EP=x，求得AQ=QF-AF和QB=AB+QA=AD+AQ=EP+PF+AQ，即可得到；当∠CDP=30°，过P作PE⊥CD交DC于点E，交AB于点F，设DE=x，同理可得AQ=QF-AFQB=AB-QA=AD-AQ，即可求得。
1 / 1

展开更多......

收起↑