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广东省肇庆市封开县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·封开期末）等于(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·封开期末）下列各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2024八下·封开期末）小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
4．（2024八下·封开期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·封开期末）点在一次函数的图象上，则(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·封开期末）在某次“汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学轮比赛成绩的平均分都是分，其中甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙的成绩一样稳定
B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
7．（2024八下·封开期末）在 中， 分别是 的中点，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·封开期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·封开期末）一次函数的图象不经过的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024八下·封开期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024八下·封开期末）计算： 　 　.
12．（2024八下·封开期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
13．（2024八下·封开期末）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是　 　米．
14．（2024八下·封开期末）若一次函数，随的增大而减小，则应满足的条件是　 　．
15．（2024八下·封开期末）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024八下·封开期末）计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
17．（2024八下·封开期末）如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
18．（2024八下·封开期末）已知是的正比例函数，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；、
（2）当时，求的最大值．
19．（2024八下·封开期末）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是　 　；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
20．（2024八下·封开期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
21．（2024八下·封开期末）清德铺位于清徐县徐沟镇正南5公里，该村种植红薯由来已久，据传从清光绪时就开始享誉龙城，2018年获国家农产品地理标志登记保护.红薯丰收时节，某农户启动线上销售，每千克红薯的定价为3元，当销售量不超过10千克时，每笔订单均收取6元的快递费；当销售量超过10千克时，免快递费.设每笔线上红薯订单的销售量为千克，每笔订单的总收款额为元.
（1）当时，与之间的函数关系式为　 　；
当时，与之间的函数关系式为　 　；
（2）一笔10千克的线上红薯订单，总收款额为多少元？
（3）若一笔订单的总收款额为108元，求这笔订单的销售量.
22．（2024八下·封开期末）如图，在中，，点是的中点，的平分线交于点，作，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
23．（2024八下·封开期末）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在轴，轴的正半轴上，连接，且，．
（1）求所在直线的解析式；
（2）将纸片折叠，使点与点重合折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积；
（3）若过一定点的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则定的坐标为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=2，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、∵被开方数是分数，∴不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、∵被开方数0.2是小数，∴不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意.
故答案为：D.

【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故答案为：符合题意；
C、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
D、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意，
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，
∵∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AB∥CD，BC=AD，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点（2，4）在一次函数y=kx+2的图象上，
∴4=2k+2，
∴k=1.
故答案为：B.
【分析】把点（2，4）代入一次函数y=kx+2的解析式，求出k的值，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 甲的成绩方差是11，乙的成绩方差是7，
∴，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故答案为：C.
【分析】根据方差越大越不稳定，即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知： 分别是 的中点
∴DE BC
∴ ，C选项符合题意；
，B选项不符合题意，
不能得出CE=BC及 故A，D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中位线定理，继而由平行线的性质，求出答案即可。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得到：，进而代值计算即可.
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=5＞0，b=2＞0，
∴一次函数y=5x+2的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象的性质得出一次函数y=5x+2的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，∴A不符合题意；
B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，∴B不符合题意；
C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，∴C符合题意；
D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】直接根据二次根式的除法法则：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除，进行计算即可.
12．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，
如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．
故答案为：6．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4米，再利用线段的和差求出树的高度即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（k+1）x+10，y随x的增大而减小，
∴k+1＜0，
∴k＜-1，
故答案为：k＜-1.
【分析】根据一次函数的性质得出k+1＜0，即可得出k＜-1.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，
∴∠AEM=90°，
∵菱形ABCD中∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，AB=AD，AC⊥BD，BM=DM，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAM=30°，
∴AM=2ME，
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2(ME+DM)，
∵ME+MD≥DE，
根据垂线段最短，DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，
∵△ABD是等边三角形，
∴DE的最小值为，
∴2DE=，即MA+MB+MD最小值为.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，由菱形的性质及有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=2ME，由菱形的轴对称性推出MA+MB+MD=2(ME+DM)，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，进而利用勾股定理算出DE的长，此题得解.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据乘方法则、绝对值的性质、算术平方根的定义进行化简，再进行计算，即可得出答案；
（2）把x和y的代入原式，再进行计算，即可得出答案.
17．【答案】证明见解析
【知识点】菱形的性质
18．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为
（2）解：，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值，
的最大值为．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设正比例函数的解析式为y=kx，把x和y的值代入，求出k的值，即可得出答案；
（2）根据正比例函数的性质得出y随x的增大而减小，得出当x=-1时y趣最大值，求出y的值，即可得出答案.
19．【答案】（1）3
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为40人，中位数则应该是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3，
∴本次调查数据的中位数是3
【分析】（1）根据中位数的定义：处于一组数据最中间的数据（若中间有两个数则为它们两个数的平均数）为这组数据的中位数，据此即可求解；
（2）根据平均数的计算公式，计算即可；
（3）用2000×课外阅读时间不少于3小时的人数的比例即可.
20．【答案】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可得AC的值，结合勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠CAD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
21．【答案】（1）；
（2）解：当时，，
答：此笔订单的总收款额是36元
（3）解：因为，所以
所以把代入，得，
解，得.
答：此笔订单的销售量是36千克
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：①当时，；②当时，；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式即可；
（2）将x=10代入求出y的值即可；
（3）将代入，得， 再求出x的值即可.
22．【答案】（1）证明：，
，，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△AEF≌△CED，得出AF=CD，再根据平行四边形的判定定理即可得出 四边形是平行四边形；
（2）先证出AD=CD，再根据菱形的判定定理即可得出四边形是菱形.
23．【答案】（1）解：设，则，
在中，，
，解得，
，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得．
所在直线解析式为；
（2）解：设，
纸片折叠，使点与点重合折痕为，
，，
，
在中，，
，解得，
即，
∵BC∥OA，
，
，
，
，
即折叠后重叠部分的面积为；
（3）(4，2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）经过矩形OABC的重心的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，而矩形OABC的重心为对角线的交点，即线段AC的中点，
∵A (8，0)，C (0，4) ，
∴线段AC的中点坐标为(4，2)，即定点M的坐标为(4，2).
故答案为：(4，2).
【分析】（1）设，，利用勾股定理建立方程，得出，从而得出点A、C的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出AC所在直线的解析式；
（2）设，得出，利用勾股定理建立方程，解得，从而得出，再利用等腰三角形的判定定理得出，再利用三角形的面积公式即可得出折叠后重叠部分的面积；
（3）根据矩形的性质可得经过矩形OABC的重心的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，而矩形OABC的重心为对角线的交点，即线段AC的中点，进而根据中点坐标公式可求解.
1 / 1广东省肇庆市封开县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·封开期末）等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：=2，
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案.
2．（2024八下·封开期末）下列各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、∵被开方数是分数，∴不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、∵被开方数0.2是小数，∴不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意.
故答案为：D.

【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2024八下·封开期末）小华想用老师提供的三条线段首尾相连围成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是（　　）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故答案为：符合题意；
C、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意；
D、，构不成直角三角形，故答案为：不符合题意，
故答案为：B.
【分析】若一个三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，据此判断.
4．（2024八下·封开期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，
∵∠A=∠C，∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AB∥CD，BC=AD，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
5．（2024八下·封开期末）点在一次函数的图象上，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：∵点（2，4）在一次函数y=kx+2的图象上，
∴4=2k+2，
∴k=1.
故答案为：B.
【分析】把点（2，4）代入一次函数y=kx+2的解析式，求出k的值，即可得出答案.
6．（2024八下·封开期末）在某次“汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学轮比赛成绩的平均分都是分，其中甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙的成绩一样稳定
B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩稳定
D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ 甲的成绩方差是11，乙的成绩方差是7，
∴，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定，
故答案为：C.
【分析】根据方差越大越不稳定，即可得出答案.
7．（2024八下·封开期末）在 中， 分别是 的中点，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知： 分别是 的中点
∴DE BC
∴ ，C选项符合题意；
，B选项不符合题意，
不能得出CE=BC及 故A，D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中位线定理，继而由平行线的性质，求出答案即可。
8．（2024八下·封开期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得到：，进而代值计算即可.
9．（2024八下·封开期末）一次函数的图象不经过的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵k=5＞0，b=2＞0，
∴一次函数y=5x+2的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的图象的性质得出一次函数y=5x+2的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，即可得出答案.
10．（2024八下·封开期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解： A、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，矛盾，∴A不符合题意；
B、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，∴B不符合题意；
C、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，∴C符合题意；
D、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2024八下·封开期末）计算： 　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】直接根据二次根式的除法法则：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除，进行计算即可.
12．（2024八下·封开期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意得：x-1≥0，
解得：x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x-1≥0，解不等式可求x的范围.
13．（2024八下·封开期末）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是　 　米．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；风吹树折模型
【解析】【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，
如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4米，
∴折断前高度为2+4＝6（米）．
故答案为：6．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4米，再利用线段的和差求出树的高度即可.
14．（2024八下·封开期末）若一次函数，随的增大而减小，则应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（k+1）x+10，y随x的增大而减小，
∴k+1＜0，
∴k＜-1，
故答案为：k＜-1.
【分析】根据一次函数的性质得出k+1＜0，即可得出k＜-1.
15．（2024八下·封开期末）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，
∴∠AEM=90°，
∵菱形ABCD中∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，AB=AD，AC⊥BD，BM=DM，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAM=30°，
∴AM=2ME，
∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2(ME+DM)，
∵ME+MD≥DE，
根据垂线段最短，DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，
∵△ABD是等边三角形，
∴DE的最小值为，
∴2DE=，即MA+MB+MD最小值为.
故答案为：.
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，连接DM、BD，由菱形的性质及有一角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的三线合一及含30°角直角三角形的性质得AM=2ME，由菱形的轴对称性推出MA+MB+MD=2(ME+DM)，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得DH⊥AB时，DE最短，MA+MB+MD最小，进而利用勾股定理算出DE的长，此题得解.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（2024八下·封开期末）计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据乘方法则、绝对值的性质、算术平方根的定义进行化简，再进行计算，即可得出答案；
（2）把x和y的代入原式，再进行计算，即可得出答案.
17．（2024八下·封开期末）如图，菱形中，过点分别作边上的高，求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】菱形的性质
18．（2024八下·封开期末）已知是的正比例函数，且当时，．
（1）求与之间的函数关系式；、
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为
（2）解：，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值，
的最大值为．
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【分析】（1）设正比例函数的解析式为y=kx，把x和y的值代入，求出k的值，即可得出答案；
（2）根据正比例函数的性质得出y随x的增大而减小，得出当x=-1时y趣最大值，求出y的值，即可得出答案.
19．（2024八下·封开期末）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是　 　；
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少
（3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．
【答案】（1）3
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为40人，中位数则应该是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3，
∴本次调查数据的中位数是3
【分析】（1）根据中位数的定义：处于一组数据最中间的数据（若中间有两个数则为它们两个数的平均数）为这组数据的中位数，据此即可求解；
（2）根据平均数的计算公式，计算即可；
（3）用2000×课外阅读时间不少于3小时的人数的比例即可.
20．（2024八下·封开期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】利用勾股定理可得AC的值，结合勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠CAD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
21．（2024八下·封开期末）清德铺位于清徐县徐沟镇正南5公里，该村种植红薯由来已久，据传从清光绪时就开始享誉龙城，2018年获国家农产品地理标志登记保护.红薯丰收时节，某农户启动线上销售，每千克红薯的定价为3元，当销售量不超过10千克时，每笔订单均收取6元的快递费；当销售量超过10千克时，免快递费.设每笔线上红薯订单的销售量为千克，每笔订单的总收款额为元.
（1）当时，与之间的函数关系式为　 　；
当时，与之间的函数关系式为　 　；
（2）一笔10千克的线上红薯订单，总收款额为多少元？
（3）若一笔订单的总收款额为108元，求这笔订单的销售量.
【答案】（1）；
（2）解：当时，，
答：此笔订单的总收款额是36元
（3）解：因为，所以
所以把代入，得，
解，得.
答：此笔订单的销售量是36千克
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：①当时，；②当时，；
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式即可；
（2）将x=10代入求出y的值即可；
（3）将代入，得， 再求出x的值即可.
22．（2024八下·封开期末）如图，在中，，点是的中点，的平分线交于点，作，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△AEF≌△CED，得出AF=CD，再根据平行四边形的判定定理即可得出 四边形是平行四边形；
（2）先证出AD=CD，再根据菱形的判定定理即可得出四边形是菱形.
23．（2024八下·封开期末）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在轴，轴的正半轴上，连接，且，．
（1）求所在直线的解析式；
（2）将纸片折叠，使点与点重合折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积；
（3）若过一定点的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则定的坐标为　 　．
【答案】（1）解：设，则，
在中，，
，解得，
，，
，，
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得．
所在直线解析式为；
（2）解：设，
纸片折叠，使点与点重合折痕为，
，，
，
在中，，
，解得，
即，
∵BC∥OA，
，
，
，
，
即折叠后重叠部分的面积为；
（3）(4，2)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）经过矩形OABC的重心的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，而矩形OABC的重心为对角线的交点，即线段AC的中点，
∵A (8，0)，C (0，4) ，
∴线段AC的中点坐标为(4，2)，即定点M的坐标为(4，2).
故答案为：(4，2).
【分析】（1）设，，利用勾股定理建立方程，得出，从而得出点A、C的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出AC所在直线的解析式；
（2）设，得出，利用勾股定理建立方程，解得，从而得出，再利用等腰三角形的判定定理得出，再利用三角形的面积公式即可得出折叠后重叠部分的面积；
（3）根据矩形的性质可得经过矩形OABC的重心的直线总能够把矩形OABC的面积平均分为两部分，而矩形OABC的重心为对角线的交点，即线段AC的中点，进而根据中点坐标公式可求解.
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