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广东省深圳市深圳大学附属中学2023-2024学年八年级下学期数学期末考试
一、单选题（本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分
1．（2024八下·深圳期末）下列图形中， 是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
2．（2024八下·深圳期末）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
3．（2024八下·深圳期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）边形
A．六 B．五 C．四 D．三
4．（2024八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
5．（2024八下·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．（2024八下·深圳期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·深圳期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．（2024八下·深圳期末）如图， 正方形 中， 是 延长线上一点， 在 上取一点 ， 使点 关于直线 的对称点 落在 上， 连接 交 于点 ， 连接 交 于点 ， 连接 . 则下列结论， 其中正确的是 ( )
① ：
②；
③；
④若 ， 则 .
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分）
9．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
10．（2024八下·深圳期末） 如图， 已知一次函数 和 的图象交于点 ， 则关于 的一元一次不等式 的解集是　 　。
11．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， 是对角线 的中点， 点 分别是 的中点， ， 则 的度数是　 　.
12．（2024八下·深圳期末） 如图， 在 中， 小平行四边形沿对角线 平移两次就到了图中的位置 (阴影部分)，若小平行四边形的面积是 2 ， 则 面积是　 　.
13．（2024八下·深圳期末）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为　 　度.
三、解答题（本题共 7 小题, 共 61 分）
14．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
15．（2024八下·深圳期末）化简： ， 并从 1， 2， 3 中选择一个合适的数代入求值.
16．（2024八下·深圳期末） 如图， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 .
（1）将 通过平移得到 使得 的对应点为 ， 请画出
（2） 是由 绕某一点 旋转得到， 请通过画图找到旋转中心 .
17．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， ， 对角线 交于点 平分 .
（1）求证： 四边形 是菱形；
（2）若四边形 的面积为 ， 求 的长.
18．（2024八下·深圳期末）某商场计划销售 两种型号的商品， 经调查， 用 1500 元采购 型商品的件数是用 600 元采购 型商品的件数的 2 倍， 一件 型商品的进价比一件 型商品的进价多 30 元。
（1） 求一件 型商品的进价分别为多少元
（2）若该商场购进 型商品共 100 件进行试销， 其中 型商品的件数不大于 型的件数， 已知 型商品的售价为 200 元/件， 型商品的售价为 180 元/件， 且全部能售出， 求该商品能获得的利润最小是多少
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上， 老师提出了下面的问题：
， 试比较 与 的大小.
小华： 整式的大小比较可采用"作差法".
老师： 比较 与 的大小.
小华：
老师： 分式的大小比较能用"作差法"吗
（1） 【问题解决】
请用"作差法"完成老师提出的问题.
（2）【问题应用】
数学来源于生活， 生活中处处有数学， 我们用平时喝的糖水做"糖水实验"也能验证一些数学结论. 现有 克榶水， 其中含有 克糖 )， 则榶水的浓度（即榶与榶水的质量比）为 。
实验 1： 加入 克水， 则糖水的浓度为 生活经验告诉我们， 糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式： ， 我们趣称为"榶水不等式".
实验 2：将"实验 1 "中的"加入 克水"改为"加入 克糖"， 则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验， 请你写出一个新的"榶水不等式"： ▲ ，并验证你写的不等式的正确性.
（3） 设 为 三边的长， 根据上述实验 2 的结论，
求证： .
20．（2024八下·深圳期末）【课本再现】
（1） 如图 1， 正方形 的对角线相交于点 ， 点 又是正方形 的一个顶点， 而且这两个正方形的边长都为 1 ， 四边形 为两个正方形重叠部分， 正方形 可绕点 转动， 则下列结论正确的是　 　(填序号即可).
①
②
③四边形 的面积总等于 ；
④连接 ， 总有 .
（2）【类比迁移】
如图 2， 矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 与边 相交于点 ， 连接 ， 矩形 可绕着点 旋转， 猜想 之间的数量关系， 并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图 3， 在 Rt 中， ， 直角 的顶点 在边 的中点处， 它的两条边 和 分别与直线 相交于点 可绕着点 旋转，当 时， 求线段 的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形），轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）结合题意对选项逐一分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得：，
即这个多边形是四边形．
故答案为：C．
【分析】设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程，再求解即可.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，
∴ 该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点上.
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，过点作于，
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③正确，
，，
，，，
，故④正确，
故答案为：A
【分析】过点作于，先根据对称得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再根据正方形的性质得到，，，从而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再证明得到，即可判断①；过点作于，于，于，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到MP=MR，再根据等腰三角形的性质得到，从而判断②；过点作于，交于，根据对称得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而结合题意证明得到，再结合，，即可判断③；根据勾股定理结合题意即可判断④.
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：.
【分析】根据两个一次函数的交点结合函数的图象即可求解.
11．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而结合题意得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解.
12．【答案】18
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过作，过作，如图所示：
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，，
小平行四边形的面积是2，
，
，
故答案为：18.
【分析】过作，过作，先根据平移得到，，进而根据平行四边形的面积得到，从而代入即可求解.
13．【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．【答案】解：原式
，
，2，4，，
或3，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先通分，再根据分式的混合运算进行化简，再择值代入即可求解.
16．【答案】（1）解：如图所示，△即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先根据点的坐标结合平移-坐标的变化得到△是由左移6个单位，上移1个单位得到，进而根据作图-平移即可求解；
（2）根据作图-线段连接任意两组对应点得到两条线段，如、，进而根据作图-垂直平分线作出两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心.
17．【答案】（1）证明：，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
的长是
【知识点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的判定与性质结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，再根据平行线的性质得到，从而等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，即，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，，进而得到AC，再根据菱形的面积即可求解.
18．【答案】（1）解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：一件型商品的进价为120元，则一件型商品的进价为150元．
（2）解：因为客商购进型商品件，销售利润为元．
，，
由题意：，
，
时，有最小值（元
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，根据“ 用 1500 元采购 型商品的件数是用 600 元采购 型商品的件数的 2 倍， 一件 型商品的进价比一件 型商品的进价多 30 元”即可列出分式方程，进而解方程即可求解；
（2）先根据题意求出m的取值范围，再根据利润=单价商品的利润×商品件数即可得到w与m的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入克糖后，糖水浓度为，
，
，
，
又
，
（3）证明：、、为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；整式的大小比较；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的加减运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到加入克糖后，糖水浓度为，进而根据分式作差的结果即可求解；
（3）先根据三角形三边关系得出，，，进而根据分式的性质、分式的加减法结合题意证明即可求解。
20．【答案】（1）①②③④
（2）解：猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，
点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
（3）解：设．
①当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
解得．
．
②当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，故①正确，
，故②正确，
，故③正确，
，
，
，，
，
，故④正确，
故答案为：①②③④
【分析】（1）连接，先根据正方形的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可判断①，再根据三角形全等的性质得到，即可判断②，从而结合题意即可判断③，再根据勾股定理结合题意即可判断④；
（2）猜想：，连接，根据题意证明，进而运用勾股定理即可求解.
（3）设．进而分类讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，再根据勾股定理结合题意即可求解.
1 / 1广东省深圳市深圳大学附属中学2023-2024学年八年级下学期数学期末考试
一、单选题（本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分
1．（2024八下·深圳期末）下列图形中， 是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形），轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）结合题意对选项逐一分析即可求解.
2．（2024八下·深圳期末）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．（2024八下·深圳期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）边形
A．六 B．五 C．四 D．三
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得：，
即这个多边形是四边形．
故答案为：C．
【分析】设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程，再求解即可.
4．（2024八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，
∴ 该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点上.
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案.
5．（2024八下·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．（2024八下·深圳期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．（2024八下·深圳期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．（2024八下·深圳期末）如图， 正方形 中， 是 延长线上一点， 在 上取一点 ， 使点 关于直线 的对称点 落在 上， 连接 交 于点 ， 连接 交 于点 ， 连接 . 则下列结论， 其中正确的是 ( )
① ：
②；
③；
④若 ， 则 .
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，过点作于，
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③正确，
，，
，，，
，故④正确，
故答案为：A
【分析】过点作于，先根据对称得到，进而根据等腰三角形的性质得到，再根据正方形的性质得到，，，从而根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再证明得到，即可判断①；过点作于，于，于，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到MP=MR，再根据等腰三角形的性质得到，从而判断②；过点作于，交于，根据对称得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而结合题意证明得到，再结合，，即可判断③；根据勾股定理结合题意即可判断④.
二、填空题（本大题共 5 小题, 每小题 3 分, 共 15 分）
9．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．（2024八下·深圳期末） 如图， 已知一次函数 和 的图象交于点 ， 则关于 的一元一次不等式 的解集是　 　。
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：.
【分析】根据两个一次函数的交点结合函数的图象即可求解.
11．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， 是对角线 的中点， 点 分别是 的中点， ， 则 的度数是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据三角形中位线定理得到，，进而结合题意得到，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解.
12．（2024八下·深圳期末） 如图， 在 中， 小平行四边形沿对角线 平移两次就到了图中的位置 (阴影部分)，若小平行四边形的面积是 2 ， 则 面积是　 　.
【答案】18
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过作，过作，如图所示：
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，，
小平行四边形的面积是2，
，
，
故答案为：18.
【分析】过作，过作，先根据平移得到，，进而根据平行四边形的面积得到，从而代入即可求解.
13．（2024八下·深圳期末）如图， 中， ， ，点 为 中点，且 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，将 沿 （ 在 上， 在 上）折叠，点 与点 恰好重合，则 为　 　度.
【答案】108
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= （180°-∠BAC）= ×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108.
【分析】连接OB、OC，由角平分线的定义得∠BAO=∠BAC可求得∠BAO的度数，由等边对等角和三角形内角和定理得∠ABC=（180°-∠BAC）可求得∠ABC的度数，结合已知用边角边可证△AOB≌△AOC，由全等三角形的性质得OB=OC，由线段的垂直平分线的判定可得点O在BC的垂直平分线上，结合已知可得点O是△ABC的外心，则∠OCB=∠OBC，由折叠的性质可得OE=CE，由等边对等角可得∠COE=∠OCB，在△OCE中，用三角形内角和定理可求解.
三、解答题（本题共 7 小题, 共 61 分）
14．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．（2024八下·深圳期末）化简： ， 并从 1， 2， 3 中选择一个合适的数代入求值.
【答案】解：原式
，
，2，4，，
或3，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先通分，再根据分式的混合运算进行化简，再择值代入即可求解.
16．（2024八下·深圳期末） 如图， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 .
（1）将 通过平移得到 使得 的对应点为 ， 请画出
（2） 是由 绕某一点 旋转得到， 请通过画图找到旋转中心 .
【答案】（1）解：如图所示，△即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先根据点的坐标结合平移-坐标的变化得到△是由左移6个单位，上移1个单位得到，进而根据作图-平移即可求解；
（2）根据作图-线段连接任意两组对应点得到两条线段，如、，进而根据作图-垂直平分线作出两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心.
17．（2024八下·深圳期末） 如图， 在四边形 中， ， 对角线 交于点 平分 .
（1）求证： 四边形 是菱形；
（2）若四边形 的面积为 ， 求 的长.
【答案】（1）证明：，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
的长是
【知识点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先根据垂直平分线的判定与性质结合等腰三角形的性质（三线合一）得到，再根据平行线的性质得到，从而等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，即，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，，进而得到AC，再根据菱形的面积即可求解.
18．（2024八下·深圳期末）某商场计划销售 两种型号的商品， 经调查， 用 1500 元采购 型商品的件数是用 600 元采购 型商品的件数的 2 倍， 一件 型商品的进价比一件 型商品的进价多 30 元。
（1） 求一件 型商品的进价分别为多少元
（2）若该商场购进 型商品共 100 件进行试销， 其中 型商品的件数不大于 型的件数， 已知 型商品的售价为 200 元/件， 型商品的售价为 180 元/件， 且全部能售出， 求该商品能获得的利润最小是多少
【答案】（1）解：设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元．
由题意：，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：一件型商品的进价为120元，则一件型商品的进价为150元．
（2）解：因为客商购进型商品件，销售利润为元．
，，
由题意：，
，
时，有最小值（元
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一件型商品的进价为元，则一件型商品的进价为元，根据“ 用 1500 元采购 型商品的件数是用 600 元采购 型商品的件数的 2 倍， 一件 型商品的进价比一件 型商品的进价多 30 元”即可列出分式方程，进而解方程即可求解；
（2）先根据题意求出m的取值范围，再根据利润=单价商品的利润×商品件数即可得到w与m的一次函数关系式，从而根据一次函数的性质即可求解.
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上， 老师提出了下面的问题：
， 试比较 与 的大小.
小华： 整式的大小比较可采用"作差法".
老师： 比较 与 的大小.
小华：
老师： 分式的大小比较能用"作差法"吗
（1） 【问题解决】
请用"作差法"完成老师提出的问题.
（2）【问题应用】
数学来源于生活， 生活中处处有数学， 我们用平时喝的糖水做"糖水实验"也能验证一些数学结论. 现有 克榶水， 其中含有 克糖 )， 则榶水的浓度（即榶与榶水的质量比）为 。
实验 1： 加入 克水， 则糖水的浓度为 生活经验告诉我们， 糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式： ， 我们趣称为"榶水不等式".
实验 2：将"实验 1 "中的"加入 克水"改为"加入 克糖"， 则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验， 请你写出一个新的"榶水不等式"： ▲ ，并验证你写的不等式的正确性.
（3） 设 为 三边的长， 根据上述实验 2 的结论，
求证： .
【答案】（1）解：
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入克糖后，糖水浓度为，
，
，
，
又
，
（3）证明：、、为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；整式的大小比较；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的加减运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到加入克糖后，糖水浓度为，进而根据分式作差的结果即可求解；
（3）先根据三角形三边关系得出，，，进而根据分式的性质、分式的加减法结合题意证明即可求解。
20．（2024八下·深圳期末）【课本再现】
（1） 如图 1， 正方形 的对角线相交于点 ， 点 又是正方形 的一个顶点， 而且这两个正方形的边长都为 1 ， 四边形 为两个正方形重叠部分， 正方形 可绕点 转动， 则下列结论正确的是　 　(填序号即可).
①
②
③四边形 的面积总等于 ；
④连接 ， 总有 .
（2）【类比迁移】
如图 2， 矩形 的中心 是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点 与边 相交于点 ， 连接 ， 矩形 可绕着点 旋转， 猜想 之间的数量关系， 并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图 3， 在 Rt 中， ， 直角 的顶点 在边 的中点处， 它的两条边 和 分别与直线 相交于点 可绕着点 旋转，当 时， 求线段 的长度.
【答案】（1）①②③④
（2）解：猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，
点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
（3）解：设．
①当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
解得．
．
②当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故的长度为或．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，故①正确，
，故②正确，
，故③正确，
，
，
，，
，
，故④正确，
故答案为：①②③④
【分析】（1）连接，先根据正方形的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可判断①，再根据三角形全等的性质得到，即可判断②，从而结合题意即可判断③，再根据勾股定理结合题意即可判断④；
（2）猜想：，连接，根据题意证明，进而运用勾股定理即可求解.
（3）设．进而分类讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，再根据勾股定理结合题意即可求解.
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