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广东省惠州市博罗县2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
1．（2024八下·博罗期末）下列式子中，是二次根式的是(　　)
A． B．52 C．5 D．
2．（2024八下·博罗期末）一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
3．（2024八下·博罗期末）下列图象中，y不是x的函数的是(　　)
A． B．
C． D．
4．（2024八下·博罗期末）下面各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
5．（2024八下·博罗期末）如图，在△ABC中，∠A=600，∠B=400，点D、E分别是边AB、AC的中点，则∠AED的度数是(　　)
A．500 B．600 C．700 D．800
6．（2024八下·博罗期末）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的(　　)
A． B． C． D．
7．（2024八下·博罗期末）已知函数y=3x|m-2|是关于x的正比例函数，则常数m的值为(　　)
A．3或1 B．3 C．±1 D．1
8．（2024八下·博罗期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
9．（2024八下·博罗期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为(　　)
A． B． C．3 D．5
10．（2024八下·博罗期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　)
A．2 B． C．2 D．5
11．（2024八下·博罗期末）化简：　 　.
12．（2024八下·博罗期末）在 ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠A的度数为　 　度.
13．（2024八下·博罗期末）将直线y=2x 1沿y轴正方向平移2个单位长度，得到的直线的解析式为　 　.
14．（2024八下·博罗期末）一个直角三角形的两条边长分别为4和5，则第三边长为　 　.
15．（2024八下·博罗期末）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为　 　.
16．（2024八下·博罗期末）（1）当函数y=x+1与y= x 5的函数值相等时，求其自变量x的值。
（2）
17．（2024八下·博罗期末）如图，在 ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．
18．（2024八下·博罗期末）如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画出线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
19．（2024八下·博罗期末）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别 使用寿命 组中值 频数
A 800 5
B 10
C 1600
D 2000 17
E 2400 6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
20．（2024八下·博罗期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
21．（2024八下·博罗期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（2024八下·博罗期末）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价：超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y甲（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
（1）甲网店该款水果的试吃价为　 　元/千克，原价为　 　元/千克；
（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？
（3）若乙店对该款水果推出降价促销活动，每千克降价a元（a＜8），当a满足什么条件时，在乙店购买始终比在甲店购买省钱？
23．（2024八下·博罗期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：根据题意得， 是二次根式，故A项符合题意；
52不是二次根式，故B项不符合题意；
5不是二次根式，故C项不符合题意；
不是二次根式，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得.
2．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大排序：2、2、3、4、5，
∵中位数为一组数据中处于中间位置的数，
∴这组数据的中位数为：3
故答案为：C.
【分析】根据中位数的定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的概念
4．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C.，∴不是勾股数，不符合题意；
D.，∴是勾股数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，∠B=40°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE∥BC，
∴ ∠AED=∠C=80°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠C，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，根据平行线的性质得∠AED=∠C，即可求得.
6．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可知，h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，
A h应为匀速上升，故A不符合题意；
B h先均匀上升，后以更快的速度匀速上升，故B不符合题意；
C 先以越来越快的速度上升，后以越来越慢的速度上升，故C不符合题意；
D h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象获取信息后再逐一分析各容器，即可求得.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴ m-2=±1，
∴ m=3或1.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A 菱形的对角线互相垂直，而矩形不一定，故A不符合题意；
B 矩形的对角线相等，而菱形不一定，故B不符合题意；
C 菱形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意；
D 菱形和矩形的对角都相等，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形和矩形的性质即可求得.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由图可知，①和②为等腰直角三角形，可知直角边为1，
∴ 长方形的长为2，宽为1，
由勾股定理可得对角线长为.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得①和②为等腰直角三角形，进而得到长方形的长和宽，再根据勾股定理即可求得对角线的长.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，CF，过点A作AM垂直于FG的延长线于点M，如图，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠GCF=45°，
同理∠ACD=45°，
∴ ∠ACF=90°，
∵ BC=1，CE=3，
∴ AC=，CF=，
∴ AF=，
∵ H是AF的中点，
∴ CH=.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可推出∠ACF，根据正方形的性质和勾股定理可得AC和CF，进而得到AF，根据直角三角形斜边的中线为斜边的一半，即可求得CH=.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的除法的计算方法及步骤分析求解即可.
12．【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=80°，
∴ ∠A=∠C=40°.
故答案为：40.
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得.
13．【答案】y=2x+1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：y=2x-1沿y轴正方向平移2个单位长度，可得y=2x-1+2，即y=2x+1.
故答案为：y=2x+1.
【分析】根据一次函数的平移规律可得：y=kx+b向上平移a个单位，得到y=kx+b+a.
14．【答案】或3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为3或4时，则斜边为第三边，第三边=；
当斜边为5，则第三边=；
故第三边为或3.
故答案为：或3.
【分析】第三边为斜边或直角边，根据勾股定理分别求值即可.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设A到BC的距离为h，P到BC的距离H，
∵ S△PBC=， S菱形ABCD=BC·h， S△PBC=S菱形ABCD，
∴，即2H=h，
过点P作BC的平行线l，过C作l的垂线交AB于点C'，连接BC'交l于点P'，如图，
∴ C'与C关于直线l对称，
∴ P'B+P'C即为PB+PC的最小值BC'，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC=4，
∵ ∠ABC=30°，
∴ CC'=，
∴ BC'=.
故答案为：.
【分析】根据菱形和三角形的面积公式和关系可得2H=h，根据轴对称-最短距离问题可得BC'的长，根据菱形的性质和30°的直角三角形的性质可得BC和CC'，再根据勾股定理即可求得BC'.
16．【答案】（1）解∵函数y=x+1与y=-x-5的函数值相等，
∴x+1=-x-5，
解得x=-4，
∴自变量x的值为-4
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；函数值；两一次函数图象相交或平行问题
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠CBF，
，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠DAE＝∠BCF，再利用“ASA”证出△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得∠AED＝∠CFB，最证出AE∥CF即可．
18．【答案】（1）解：AB==；
CD==2；
（2）解：能构成直角三角形，理由：
如图，
EF==，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=）2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理可画出EF，根据勾股定理的逆定理即可说明理由.
19．【答案】（1）1200；12
（2）解：根据题意得：
C组所占的百分比为，
∴这批灯泡的平均使用寿命是h；
（3）解：只，
答：这批总数为3万只的灯泡里面有13800只灯泡属于“超出照明灯泡.”
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）；
n=50-5-10-17-6=12.
故答案为：（1）200；12.
【分析】（1）根据组中值为上下限的中点数值计算求得m；用样本容量50减去A，B，D，E组的频数即可求得C组的频数n；
（2）根据各组的组中值乘以各组所占百分比，再求和即可求得平均使用寿命；
（3）利用样本估计总体，用总体容量×D和E组所占的百分比，即可求得.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DE＝BF，
∴EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵CD∥AB，∴∠ECA=∠FAC.
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA＝FC.
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）解：设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，
在Rt△BCF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴菱形的边长AF＝8－3＝5.
∴菱形AFCE的面积为5×4＝20.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，推出EC=AF，根据平行四边形的判定可得四边形AFCE为平行四边形，再根据平行线的性质和等角对等边可得FA=FC，即可判定；
（2）设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，根据勾股定理可得AF的长，再求菱形AFCE的面积即可.
21．【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，
∵CD2＝22＝4，AC2＝22＝4，
∴AC2＋CD2＝4＋4＝8.
∵AD2＝(2)2＝8，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×1×＋×2×2＝＋2.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质可得AC=2BC，根据勾股定理可得AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据三角形的面积公式求得S△ABC和S△ACD，再求两个三角形面积的和即可.
22．【答案】（1）2；10
（2）解：设购买该款水果x千克，在甲店购买比在乙店购买省钱，
①当x≤5时，20+2x＜8x，
解得x＞，
∴＜x≤5；
②当x＞5时，
30+10（x-5）＜8x，
解得x＜10，
∴5＜x＜10，
答：当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
（3）解：①当x≤5时，20+2x＞（8-a）x，
即（6-a）x＜20的解集总满足x≤5，
∴6-a＜4，
∴a＞2；
②当x＞5时，30+10（x-5）＞（8-a）x，
即（a+2）x＞20的解集总满足x＞5，
∴a+2≥4，
∴a≥2，
综上所述，a需满足a＞2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
(1)(30-20)÷5=2(元/千克)；
(60-30)÷(8-5)=10(元/千克)。
故答案为：2，10 。
【分析】
(1)观察图像得出x从0到5时，y值的增量，用除法可计算出每千克水果的试吃价。
观察图像得出x从5到8时，y值的增量，用除法可计算出每千克水果的原价。
(2) 求甲店购买比在乙店购买省钱 时的x值范围，要分x≤5 和x>5两种情形来考查，列不等式进行求解即可。
23．【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t，
又∵AE＝t，
∴AE＝DF.
（2）解：能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴AB＝AC.
由勾股定理，得AB2+
解得AB＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∴AD＝AC－DC＝10－2t.
若使 AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10－2t，解得t＝.
即当t＝时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形。理由如下：
①当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝2.5；；
②当∠DEF＝90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF‖AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝90°－∠C＝60°，
∴∠AED=30°，
∴AD＝AE，即10－2t＝t，解得t＝4；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形可得DF=CD，根据路程=速度×时间可得CD=2t，AE=t，即证明；
（2）根据一组对边平行且相等为平行四边形可判定四边形AEFD为平行四边形，根据30°的直角三角形和勾股定理求得AB和AC的长，再根据菱形的判定需AE=AD求得t的值；
（3）①当∠EDF＝90°时，根据矩形的判定与性质可得AD＝2AE，求出t的值；②当∠DEF＝90°时，平行四边形的性质可得EF∥AD推出∠AED=30°，根据30°的直角三角形的性质可得AD＝AE，求出t的值；③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
1 / 1广东省惠州市博罗县2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
1．（2024八下·博罗期末）下列式子中，是二次根式的是(　　)
A． B．52 C．5 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：根据题意得， 是二次根式，故A项符合题意；
52不是二次根式，故B项不符合题意；
5不是二次根式，故C项不符合题意；
不是二次根式，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得.
2．（2024八下·博罗期末）一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．3.5 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大排序：2、2、3、4、5，
∵中位数为一组数据中处于中间位置的数，
∴这组数据的中位数为：3
故答案为：C.
【分析】根据中位数的定义判断即可.
3．（2024八下·博罗期末）下列图象中，y不是x的函数的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的概念
4．（2024八下·博罗期末）下面各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，3，2 D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A.，∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C.，∴不是勾股数，不符合题意；
D.，∴是勾股数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
5．（2024八下·博罗期末）如图，在△ABC中，∠A=600，∠B=400，点D、E分别是边AB、AC的中点，则∠AED的度数是(　　)
A．500 B．600 C．700 D．800
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ∠A=60°，∠B=40°，
∴ ∠C=180°-∠A-∠B=80°，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE∥BC，
∴ ∠AED=∠C=80°.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠C，根据三角形的中位线定理可得DE∥BC，根据平行线的性质得∠AED=∠C，即可求得.
6．（2024八下·博罗期末）均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可知，h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，
A h应为匀速上升，故A不符合题意；
B h先均匀上升，后以更快的速度匀速上升，故B不符合题意；
C 先以越来越快的速度上升，后以越来越慢的速度上升，故C不符合题意；
D h先均匀上升，后以更慢的速度匀速上升，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象获取信息后再逐一分析各容器，即可求得.
7．（2024八下·博罗期末）已知函数y=3x|m-2|是关于x的正比例函数，则常数m的值为(　　)
A．3或1 B．3 C．±1 D．1
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴ m-2=±1，
∴ m=3或1.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义可得，即可求得.
8．（2024八下·博罗期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A 菱形的对角线互相垂直，而矩形不一定，故A不符合题意；
B 矩形的对角线相等，而菱形不一定，故B不符合题意；
C 菱形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意；
D 菱形和矩形的对角都相等，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形和矩形的性质即可求得.
9．（2024八下·博罗期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的对角线长为(　　)
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由图可知，①和②为等腰直角三角形，可知直角边为1，
∴ 长方形的长为2，宽为1，
由勾股定理可得对角线长为.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可得①和②为等腰直角三角形，进而得到长方形的长和宽，再根据勾股定理即可求得对角线的长.
10．（2024八下·博罗期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　)
A．2 B． C．2 D．5
【答案】B
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，CF，过点A作AM垂直于FG的延长线于点M，如图，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠GCF=45°，
同理∠ACD=45°，
∴ ∠ACF=90°，
∵ BC=1，CE=3，
∴ AC=，CF=，
∴ AF=，
∵ H是AF的中点，
∴ CH=.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可推出∠ACF，根据正方形的性质和勾股定理可得AC和CF，进而得到AF，根据直角三角形斜边的中线为斜边的一半，即可求得CH=.
11．（2024八下·博罗期末）化简：　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的除法的计算方法及步骤分析求解即可.
12．（2024八下·博罗期末）在 ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠A的度数为　 　度.
【答案】40
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠A+∠C=80°，
∴ ∠A=∠C=40°.
故答案为：40.
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得.
13．（2024八下·博罗期末）将直线y=2x 1沿y轴正方向平移2个单位长度，得到的直线的解析式为　 　.
【答案】y=2x+1
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：y=2x-1沿y轴正方向平移2个单位长度，可得y=2x-1+2，即y=2x+1.
故答案为：y=2x+1.
【分析】根据一次函数的平移规律可得：y=kx+b向上平移a个单位，得到y=kx+b+a.
14．（2024八下·博罗期末）一个直角三角形的两条边长分别为4和5，则第三边长为　 　.
【答案】或3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当直角边为3或4时，则斜边为第三边，第三边=；
当斜边为5，则第三边=；
故第三边为或3.
故答案为：或3.
【分析】第三边为斜边或直角边，根据勾股定理分别求值即可.
15．（2024八下·博罗期末）如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：设A到BC的距离为h，P到BC的距离H，
∵ S△PBC=， S菱形ABCD=BC·h， S△PBC=S菱形ABCD，
∴，即2H=h，
过点P作BC的平行线l，过C作l的垂线交AB于点C'，连接BC'交l于点P'，如图，
∴ C'与C关于直线l对称，
∴ P'B+P'C即为PB+PC的最小值BC'，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ BC=4，
∵ ∠ABC=30°，
∴ CC'=，
∴ BC'=.
故答案为：.
【分析】根据菱形和三角形的面积公式和关系可得2H=h，根据轴对称-最短距离问题可得BC'的长，根据菱形的性质和30°的直角三角形的性质可得BC和CC'，再根据勾股定理即可求得BC'.
16．（2024八下·博罗期末）（1）当函数y=x+1与y= x 5的函数值相等时，求其自变量x的值。
（2）
【答案】（1）解∵函数y=x+1与y=-x-5的函数值相等，
∴x+1=-x-5，
解得x=-4，
∴自变量x的值为-4
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；函数值；两一次函数图象相交或平行问题
17．（2024八下·博罗期末）如图，在 ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠CBF，
，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠DAE＝∠BCF，再利用“ASA”证出△ADE≌△CBF，利用全等三角形的性质可得∠AED＝∠CFB，最证出AE∥CF即可．
18．（2024八下·博罗期末）如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）分别求出线段AB、CD的长度；
（2）在图中画出线段EF、使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）解：AB==；
CD==2；
（2）解：能构成直角三角形，理由：
如图，
EF==，
∵CD2+EF2=8+5=13，AB2=）2=13，
∴CD2+EF2=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线可以组成直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理可画出EF，根据勾股定理的逆定理即可说明理由.
19．（2024八下·博罗期末）某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
组别 使用寿命 组中值 频数
A 800 5
B 10
C 1600
D 2000 17
E 2400 6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于1800h则为“超长照明灯泡”，则这批总数为3万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
【答案】（1）1200；12
（2）解：根据题意得：
C组所占的百分比为，
∴这批灯泡的平均使用寿命是h；
（3）解：只，
答：这批总数为3万只的灯泡里面有13800只灯泡属于“超出照明灯泡.”
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）；
n=50-5-10-17-6=12.
故答案为：（1）200；12.
【分析】（1）根据组中值为上下限的中点数值计算求得m；用样本容量50减去A，B，D，E组的频数即可求得C组的频数n；
（2）根据各组的组中值乘以各组所占百分比，再求和即可求得平均使用寿命；
（3）利用样本估计总体，用总体容量×D和E组所占的百分比，即可求得.
20．（2024八下·博罗期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF，∠ECA=∠FCA.
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝8，BC＝4，求菱形AFCE的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DE＝BF，
∴EC＝AF.
又∵EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵CD∥AB，∴∠ECA=∠FAC.
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA＝FC.
∴平行四边形AFCE是菱形.
（2）解：设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，
在Rt△BCF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴菱形的边长AF＝8－3＝5.
∴菱形AFCE的面积为5×4＝20.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，CD＝AB，推出EC=AF，根据平行四边形的判定可得四边形AFCE为平行四边形，再根据平行线的性质和等角对等边可得FA=FC，即可判定；
（2）设FB＝x，则AF＝CF＝8－x，根据勾股定理可得AF的长，再求菱形AFCE的面积即可.
21．（2024八下·博罗期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，CD＝2，AD＝2.
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，∠BAC＝30°，
∵CD2＝22＝4，AC2＝22＝4，
∴AC2＋CD2＝4＋4＝8.
∵AD2＝(2)2＝8，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×1×＋×2×2＝＋2.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形的性质可得AC=2BC，根据勾股定理可得AB的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据三角形的面积公式求得S△ABC和S△ACD，再求两个三角形面积的和即可.
22．（2024八下·博罗期末）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价：超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y甲（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
（1）甲网店该款水果的试吃价为　 　元/千克，原价为　 　元/千克；
（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？
（3）若乙店对该款水果推出降价促销活动，每千克降价a元（a＜8），当a满足什么条件时，在乙店购买始终比在甲店购买省钱？
【答案】（1）2；10
（2）解：设购买该款水果x千克，在甲店购买比在乙店购买省钱，
①当x≤5时，20+2x＜8x，
解得x＞，
∴＜x≤5；
②当x＞5时，
30+10（x-5）＜8x，
解得x＜10，
∴5＜x＜10，
答：当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
（3）解：①当x≤5时，20+2x＞（8-a）x，
即（6-a）x＜20的解集总满足x≤5，
∴6-a＜4，
∴a＞2；
②当x＞5时，30+10（x-5）＞（8-a）x，
即（a+2）x＞20的解集总满足x＞5，
∴a+2≥4，
∴a≥2，
综上所述，a需满足a＞2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
(1)(30-20)÷5=2(元/千克)；
(60-30)÷(8-5)=10(元/千克)。
故答案为：2，10 。
【分析】
(1)观察图像得出x从0到5时，y值的增量，用除法可计算出每千克水果的试吃价。
观察图像得出x从5到8时，y值的增量，用除法可计算出每千克水果的原价。
(2) 求甲店购买比在乙店购买省钱 时的x值范围，要分x≤5 和x>5两种情形来考查，列不等式进行求解即可。
23．（2024八下·博罗期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t，
又∵AE＝t，
∴AE＝DF.
（2）解：能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴AB＝AC.
由勾股定理，得AB2+
解得AB＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∴AD＝AC－DC＝10－2t.
若使 AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10－2t，解得t＝.
即当t＝时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形。理由如下：
①当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝2.5；；
②当∠DEF＝90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF‖AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝90°－∠C＝60°，
∴∠AED=30°，
∴AD＝AE，即10－2t＝t，解得t＝4；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形可得DF=CD，根据路程=速度×时间可得CD=2t，AE=t，即证明；
（2）根据一组对边平行且相等为平行四边形可判定四边形AEFD为平行四边形，根据30°的直角三角形和勾股定理求得AB和AC的长，再根据菱形的判定需AE=AD求得t的值；
（3）①当∠EDF＝90°时，根据矩形的判定与性质可得AD＝2AE，求出t的值；②当∠DEF＝90°时，平行四边形的性质可得EF∥AD推出∠AED=30°，根据30°的直角三角形的性质可得AD＝AE，求出t的值；③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
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