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广东省揭阳市榕城区2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·榕城期末）下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2024八下·榕城期末）下列各项变形，是因式分解的是（　　）
A．a（a﹣2）＝a2﹣2a B．a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1）
C．y2﹣1＝y（y﹣ ） D．am+bm+c＝m（a+b）+c
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的含义和性质，判断得到答案即可。
3．（2024八下·榕城期末）到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的判定定理及性质分析求解即可.
4．（2024八下·榕城期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）
A．x≥－1 B．x>1 C．－3－3
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵x>－3 ，x≥－1，
∴符合题意是A，
故答案为：A.
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．（2024八下·榕城期末） 若分式的值等于0，则x的值是(　　)
A．2 B． C． D．不存在
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】 分式值等于0，
且
解得x=2，
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件得到且解方程和不等式即可求解.
6．（2024八下·榕城期末）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故答案为：A．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
7．（2024八下·榕城期末）中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
C选项中由，不能得出，
∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
8．（2024八下·榕城期末）若关于 的分式方程 有解， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
9．（2024八下·榕城期末）如图，已知在中，点是边上一点，将沿翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长为（　　）
A．6cm B．7cm C．10cm D．12cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知BA=FB，EA=FE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=BA=17，
∴CF+17=24，
∴CF=7cm，
故答案为：B
【分析】先根据折叠的性质得到BA=FB，EA=FE，进而结合题意得到，再根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
10．（2024八下·榕城期末）如图，在△ABC中，，，P为边上一动点，以，为一组邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝4，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP'⊥AB于点P'，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP'O是等腰直角三角形，
∴AP'＝OP'，
∵P'A2＋P'O2＝OA2，
∴OP'＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP'＝，
故答案为：D.
【分析】设AC、PQ交于点O，根据“PQ最短也就是PO最短”过O作OP'⊥AB于点P'，利用勾股定理可得P'A2＋P'O2＝OA2，求出OP'＝AO＝，最后求出PQ的最小值＝2OP'＝即可.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·榕城期末）若是关于的一元一次不等式，则　 　．
【答案】0
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：m=0，
故答案为：0.
【分析】利用一元一次不等式的定义列出不等式组求出m的值即可.
12．（2024八下·榕城期末）若为完全平方式，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵为完全平方式，
∴（10x）2-kxy+（7y）2为完全平方式，
∴|kxy|=2×10x×7y，
∴|k|=2×10×7=140，
∴k=±140，
故答案为：±140.
【分析】利用完全平方式的特征及定义可得|k|=2×10×7=140，再求出k的值即可.
13．（2024八下·榕城期末）若关于x的不等式组的解集是，则　 　．
【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，可得：x≤a，
解不等式②，可得：x>，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
∴a=3，
故答案为：3.
【分析】先利用不等式的性质及解不等式组的方法求出不等式组的解集，再结合“ 不等式组的解集是 ”可得a=3，从而得解.
14．（2024八下·榕城期末）如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证出是的中位线，再利用中位线的性质可得．
15．（2024八下·榕城期末）如图，已知函数y＝kx＋2与函数y＝mx－4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx＋2＜mx－4的解集是　 　．
【答案】x＜－3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可得：当x<-3时，kx＋2＜mx－4 ；当x>-3时，kx＋2>mx－4，
∴ 根据图象可知不等式kx＋2＜mx－4的解集是 x＜－3，
故答案为：x＜－3.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
16．（2024八下·榕城期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A'D'E'，连接BD'．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD'A'为平行四边形；③AB平分∠D'BC；④当平移的距离为4时，BD'＝3．其中正确的是　 　（填上所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【知识点】平移的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝10，
故①正确；
由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD，
∴四边形ADD'A'为平行四边形，
故②正确；
当平移的距离为4时，EE'＝4，
∴BE'＝AB AE EE'＝10 3 4＝3，
由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，
∴BE'＝D'E'，
∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，
∴∠A'D'B＝60°＋30°＝90°，
∴BD'＝A'D'＝，
故④正确；
由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，
故③错误；
故答案为：①②④．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝10，故①正确；再由平移的性质得A'D'＝AD，A'D'∥AD，则四边形ADD'A'为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，证出BE'＝D'E'，则∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°＋30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得BD'＝A'D'＝，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；从而得解.
三、解答题（一）（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分）
17．（2024八下·榕城期末）解不等式：．
【答案】解：
不等式两边同时乘6，可得：3（x-1）+6<2（4x-5），
去括号，可得： 3x-3+6<8x-10，
移项并合并同类项，可得：-5x<-13，
系数化为“1”，可得：，
故答案为：.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可.
18．（2024八下·榕城期末）解方程：.
【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根.
所以方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
19．（2024八下·榕城期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
20．（2024八下·榕城期末）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）条件下，，，求的长．
【答案】（1）如图所示：
DE即为所求.
（2）解：∵∠DAB=30°，∠AED=90°，
∴DE=AD=2，
∴AE=，
∵AB=6，
∴BE=AB-AE=，
故答案为：.
【知识点】勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）以点D为圆心，画弧交AB于两点，以两点为圆心画弧交于一点，即可作出高DE；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质求出DE的长，再利用勾股定理求出AE的长，最后利用线段的和差求出BE的长即可.
四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分）
21．（2024八下·榕城期末）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用角的运算求出，再利用等边对等角的性质及角的运算求出即可．
22．（2024八下·榕城期末）如图，，，三点均在的正方形网格格点上（图中网格线的交点就是格点）．
（1）画出将向右平移格，再向下平移格后的；
（2）画出将绕点顺时针旋转后的；
（3）在（1）和（2）的条件下，四边形是否为中心对称图形？若是，请在图中标出它的对称中心；若不是，请用所学知识简要说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：四边形是中心对称图形.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）连接A1A2、B1B2相交于点P，则点P即为对称中心．
23．（2024八下·榕城期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x 200）元．
根据题意：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x 200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40 m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40 m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8×m＋300×0.8（40 m），
即：w＝160m＋9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40 m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x 200）元，根据“ 用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40 m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据“ 购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍 ”列出不等式求出m的取值范围，再列出函数关系式w＝160m＋9600，最后求解即可.
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2024八下·榕城期末）阅读理解：
例：若是多项式的一个因式，求的值．
解：设，
若时，则有，
将代入，得
，
解得．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若是多项式的一个因式，求的值；
（2）若可化为整式，求化简后的整式；
（3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵（x+1）是多项式的一个因式，
∴把x=-1代入，可得：1+4+k=0，
解得：k=-5，
故答案为：-5.
（2）解：根据题意可得：分子a2+b2+1+4a中一定有一个因式（a+3），
当a=-3时，方程a2+b2+1+4a=0变形为9+b2+1-12=0，
解得：b2=12，
∴，
故答案为：a+1。
（3）解：设x4＋mx3＋nx 16＝A（x 1）（x 2）（A为整式），
∴当x＝1时，得1＋m＋n 16＝0，
当x＝2时，得16＋8m＋2n 16＝0，
即：
解得：
∴直线为y＝（k＋5）x 20＋k，
∵直线y＝（k＋5）x 20＋k不经过第二象限，
∴
解得： 5＜k≤20．
故答案为：.
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；因式分解-分组分解法；数的整除性
【解析】【分析】（1）将（x+1）代入，可得：1+4+k=0，再求出k的值即可；
（2）将a=-3代入方程a2+b2+1+4a=0变形为9+b2+1-12=0，求出b2=12，再化简即可；
（3）设x4＋mx3＋nx 16＝A（x 1）（x 2）（A为整式），将x=1和x=2分别代入可得方程组，求出m、n的值，可得直线为y＝（k＋5）x 20＋k，再利用一次函数的图象与系数的关系可得，最后求出k的取值范围即可.
25．（2024八下·榕城期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
（1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
（2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
（3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
故答案为：
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD＝2cm，
∴S△PBC＝S△FAB＝S ABCD，
∴S△ABP＋S△PCD＝S ABCD，
∴S△APF＋S△ABP＝S△ABP＋S△PCD，
∴S△APF＝S△PCD，
如图所示，过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm，
∴CK＝cm，
∴S△APF＝S△PCD＝××2＝cm2；
故答案为：
（3）解：如图所示：
∵PD∥BC，
∴当PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
①当0≤t≤3时，PD＝12 t，BQ＝12 4t，
∴12 t＝12 4t，解得：t＝0；
②当3≤t≤6时，PD＝12 t，BQ＝4t 12，
∴12 t＝4t 12，解得：t＝4.8；
③当6≤t≤9时，PD＝12 t，BQ＝36 4t，
∴12 t＝36 4t，解得：t＝8；
④当9≤t≤12时，PD＝12 t，BQ＝4t 36，
∴12 t＝4t 36，解得：t＝9.6；
∴0s或4.8s或8s或9.6s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
故答案为：或或或
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出△PDC是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠ABC＝∠D＝60°；
（2）过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm，利用勾股定理求出CK的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）分类讨论：①当0≤t≤3时，则PD＝12 t，BQ＝12 4t，②当3≤t≤6时，则PD＝12 t，BQ＝4t 12，③当6≤t≤9时，则PD＝12 t，BQ＝36 4t，④当9≤t≤12时，则PD＝12 t，BQ＝4t 36，再分别列出方程求解即可.
1 / 1广东省揭阳市榕城区2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·榕城期末）下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·榕城期末）下列各项变形，是因式分解的是（　　）
A．a（a﹣2）＝a2﹣2a B．a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1）
C．y2﹣1＝y（y﹣ ） D．am+bm+c＝m（a+b）+c
3．（2024八下·榕城期末）到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
4．（2024八下·榕城期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）
A．x≥－1 B．x>1 C．－3－3
5．（2024八下·榕城期末） 若分式的值等于0，则x的值是(　　)
A．2 B． C． D．不存在
6．（2024八下·榕城期末）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
7．（2024八下·榕城期末）中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·榕城期末）若关于 的分式方程 有解， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D． 且
9．（2024八下·榕城期末）如图，已知在中，点是边上一点，将沿翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长为（　　）
A．6cm B．7cm C．10cm D．12cm
10．（2024八下·榕城期末）如图，在△ABC中，，，P为边上一动点，以，为一组邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（　　）
A．6 B．8 C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·榕城期末）若是关于的一元一次不等式，则　 　．
12．（2024八下·榕城期末）若为完全平方式，则　 　．
13．（2024八下·榕城期末）若关于x的不等式组的解集是，则　 　．
14．（2024八下·榕城期末）如图，在中，，E为上一点，M，N分别为，的中点，则的长为 　 　．
15．（2024八下·榕城期末）如图，已知函数y＝kx＋2与函数y＝mx－4的图象交于点A，根据图象可知不等式kx＋2＜mx－4的解集是　 　．
16．（2024八下·榕城期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A'D'E'，连接BD'．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD'A'为平行四边形；③AB平分∠D'BC；④当平移的距离为4时，BD'＝3．其中正确的是　 　（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题（一）（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分）
17．（2024八下·榕城期末）解不等式：．
18．（2024八下·榕城期末）解方程：.
19．（2024八下·榕城期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2024八下·榕城期末）如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）条件下，，，求的长．
四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分）
21．（2024八下·榕城期末）如图，四边形为平行四边形，E为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的度数．
22．（2024八下·榕城期末）如图，，，三点均在的正方形网格格点上（图中网格线的交点就是格点）．
（1）画出将向右平移格，再向下平移格后的；
（2）画出将绕点顺时针旋转后的；
（3）在（1）和（2）的条件下，四边形是否为中心对称图形？若是，请在图中标出它的对称中心；若不是，请用所学知识简要说明理由．
23．（2024八下·榕城期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（2024八下·榕城期末）阅读理解：
例：若是多项式的一个因式，求的值．
解：设，
若时，则有，
将代入，得
，
解得．
仿照上例的解法，解答下列的问题．
（1）若是多项式的一个因式，求的值；
（2）若可化为整式，求化简后的整式；
（3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围．
25．（2024八下·榕城期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
（1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
（2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
（3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的含义和性质，判断得到答案即可。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：B.
【分析】利用线段垂直平分线的判定定理及性质分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵x>－3 ，x≥－1，
∴符合题意是A，
故答案为：A.
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】 分式值等于0，
且
解得x=2，
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为0的条件得到且解方程和不等式即可求解.
6．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故答案为：A．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
C选项中由，不能得出，
∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知BA=FB，EA=FE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=BA=17，
∴CF+17=24，
∴CF=7cm，
故答案为：B
【分析】先根据折叠的性质得到BA=FB，EA=FE，进而结合题意得到，再根据平行四边形的性质结合题意即可求解。
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC＝4，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP'⊥AB于点P'，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP'O是等腰直角三角形，
∴AP'＝OP'，
∵P'A2＋P'O2＝OA2，
∴OP'＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP'＝，
故答案为：D.
【分析】设AC、PQ交于点O，根据“PQ最短也就是PO最短”过O作OP'⊥AB于点P'，利用勾股定理可得P'A2＋P'O2＝OA2，求出OP'＝AO＝，最后求出PQ的最小值＝2OP'＝即可.
11．【答案】0
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：m=0，
故答案为：0.
【分析】利用一元一次不等式的定义列出不等式组求出m的值即可.
12．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵为完全平方式，
∴（10x）2-kxy+（7y）2为完全平方式，
∴|kxy|=2×10x×7y，
∴|k|=2×10×7=140，
∴k=±140，
故答案为：±140.
【分析】利用完全平方式的特征及定义可得|k|=2×10×7=140，再求出k的值即可.
13．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，可得：x≤a，
解不等式②，可得：x>，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集为，
∴a=3，
故答案为：3.
【分析】先利用不等式的性质及解不等式组的方法求出不等式组的解集，再结合“ 不等式组的解集是 ”可得a=3，从而得解.
14．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在平行四边形中，，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证出是的中位线，再利用中位线的性质可得．
15．【答案】x＜－3
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可得：当x<-3时，kx＋2＜mx－4 ；当x>-3时，kx＋2>mx－4，
∴ 根据图象可知不等式kx＋2＜mx－4的解集是 x＜－3，
故答案为：x＜－3.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
16．【答案】①②④
【知识点】平移的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝10，
故①正确；
由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD，
∴四边形ADD'A'为平行四边形，
故②正确；
当平移的距离为4时，EE'＝4，
∴BE'＝AB AE EE'＝10 3 4＝3，
由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3，
∴BE'＝D'E'，
∴∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，
∴∠A'D'B＝60°＋30°＝90°，
∴BD'＝A'D'＝，
故④正确；
由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，
故③错误；
故答案为：①②④．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝10，故①正确；再由平移的性质得A'D'＝AD，A'D'∥AD，则四边形ADD'A'为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，证出BE'＝D'E'，则∠E'BD'＝∠E'D'B＝∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°＋30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得BD'＝A'D'＝，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；从而得解.
17．【答案】解：
不等式两边同时乘6，可得：3（x-1）+6<2（4x-5），
去括号，可得： 3x-3+6<8x-10，
移项并合并同类项，可得：-5x<-13，
系数化为“1”，可得：，
故答案为：.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可.
18．【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根.
所以方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤“去分母、解整式方程、检验、写结论”即可求解.
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
20．【答案】（1）如图所示：
DE即为所求.
（2）解：∵∠DAB=30°，∠AED=90°，
∴DE=AD=2，
∴AE=，
∵AB=6，
∴BE=AB-AE=，
故答案为：.
【知识点】勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）以点D为圆心，画弧交AB于两点，以两点为圆心画弧交于一点，即可作出高DE；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质求出DE的长，再利用勾股定理求出AE的长，最后利用线段的和差求出BE的长即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再利用等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形；
（2）先利用角的运算求出，再利用等边对等角的性质及角的运算求出即可．
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：四边形是中心对称图形.
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）连接A1A2、B1B2相交于点P，则点P即为对称中心．
23．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x 200）元．
根据题意：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x 200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）解：设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40 m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40 m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8×m＋300×0.8（40 m），
即：w＝160m＋9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40 m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x 200）元，根据“ 用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40 m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据“ 购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍 ”列出不等式求出m的取值范围，再列出函数关系式w＝160m＋9600，最后求解即可.
24．【答案】（1）解：∵（x+1）是多项式的一个因式，
∴把x=-1代入，可得：1+4+k=0，
解得：k=-5，
故答案为：-5.
（2）解：根据题意可得：分子a2+b2+1+4a中一定有一个因式（a+3），
当a=-3时，方程a2+b2+1+4a=0变形为9+b2+1-12=0，
解得：b2=12，
∴，
故答案为：a+1。
（3）解：设x4＋mx3＋nx 16＝A（x 1）（x 2）（A为整式），
∴当x＝1时，得1＋m＋n 16＝0，
当x＝2时，得16＋8m＋2n 16＝0，
即：
解得：
∴直线为y＝（k＋5）x 20＋k，
∵直线y＝（k＋5）x 20＋k不经过第二象限，
∴
解得： 5＜k≤20．
故答案为：.
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；因式分解-分组分解法；数的整除性
【解析】【分析】（1）将（x+1）代入，可得：1+4+k=0，再求出k的值即可；
（2）将a=-3代入方程a2+b2+1+4a=0变形为9+b2+1-12=0，求出b2=12，再化简即可；
（3）设x4＋mx3＋nx 16＝A（x 1）（x 2）（A为整式），将x=1和x=2分别代入可得方程组，求出m、n的值，可得直线为y＝（k＋5）x 20＋k，再利用一次函数的图象与系数的关系可得，最后求出k的取值范围即可.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵CP平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠D＝60°；
故答案为：
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD＝2cm，
∴S△PBC＝S△FAB＝S ABCD，
∴S△ABP＋S△PCD＝S ABCD，
∴S△APF＋S△ABP＝S△ABP＋S△PCD，
∴S△APF＝S△PCD，
如图所示，过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm，
∴CK＝cm，
∴S△APF＝S△PCD＝××2＝cm2；
故答案为：
（3）解：如图所示：
∵PD∥BC，
∴当PD＝BQ时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
①当0≤t≤3时，PD＝12 t，BQ＝12 4t，
∴12 t＝12 4t，解得：t＝0；
②当3≤t≤6时，PD＝12 t，BQ＝4t 12，
∴12 t＝4t 12，解得：t＝4.8；
③当6≤t≤9时，PD＝12 t，BQ＝36 4t，
∴12 t＝36 4t，解得：t＝8；
④当9≤t≤12时，PD＝12 t，BQ＝4t 36，
∴12 t＝4t 36，解得：t＝9.6；
∴0s或4.8s或8s或9.6s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
故答案为：或或或
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先证出△PDC是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得∠ABC＝∠D＝60°；
（2）过点C作CK⊥AD于点K，则DK＝PD＝CD＝1cm，利用勾股定理求出CK的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可；
（3）分类讨论：①当0≤t≤3时，则PD＝12 t，BQ＝12 4t，②当3≤t≤6时，则PD＝12 t，BQ＝4t 12，③当6≤t≤9时，则PD＝12 t，BQ＝36 4t，④当9≤t≤12时，则PD＝12 t，BQ＝4t 36，再分别列出方程求解即可.
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