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广东省深圳大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·深圳期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·深圳期末）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
3．（2024八下·深圳期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）边形
A．六 B．五 C．四 D．三
4．（2024八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
5．（2024八下·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．（2024八下·深圳期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·深圳期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
8．（2024八下·深圳期末）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
9．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
10．（2024八下·深圳期末）如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是　 　.
11．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是　 　
12．（2024八下·深圳期末）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是　 　．
13．（2024八下·深圳期末）如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为　 　度．
14．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
15．（2024八下·深圳期末）化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
16．（2024八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为、、．
（1）将 通过平移得到 使得 A 的对应点为 请画出
（2）是由绕某一点旋转得到，请通过画图找到旋转中心 ．
17．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若四边形的面积为，，求的长．
18．（2024八下·深圳期末）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
20．（2024八下·深圳期末）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故答案为：B．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形；将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得：，
即这个多边形是四边形．
故答案为：C．
【分析】设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程，再求解即可.
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质及生活常识分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．
∵B，G关于EF对称，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故②正确，
如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G关于EF对称，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，
∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝TM，DG＝2WG，
∴DG＝CM，故③正确，
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝，故④正确，
故答案为：A．
【分析】过点B作BK⊥GH于K，根据对称性质可得EB＝EG，根据等边对等角可得∠EBG＝∠EGB，再根据正方形性质可得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，则∠AGB＝∠EBG，即∠AGB＝∠BGK，再根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△BKG（AAS），则BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，根据全等三角形判定定理可得Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），则∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，可判断①；根据角之间的关系可得∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R，根据角之间的关系可判断②；过点M作MW⊥AD于W，交BC于T，根据对称性质可得BM＝MG，再根据全等三角形判定定理可得△MCB≌△MCD（SAS），则BM＝DM，根据边之间的关系可得WG＝WD，再根据角之间的关系可得∠BMT＝∠MGW，再根据全等三角形判定定理可得△BTM≌△MWG（AAS），则MT＝WG，再根据边之间的关系可判断③；根据勾股定理可判断④.
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞2时，kx+3＞-x+b，
即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
11．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．【答案】108
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．【答案】解：原式
∵
∴或3
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
由（1）知四边形是菱形，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形的性质，结合四边形的面积为，，计算即可．
（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
由（1）知四边形是菱形，
∴，
∴．
18．【答案】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）设客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
根据题意可得：m≤100﹣m，
∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）.
答：该商品能获得的利润最小是5500元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“ 用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设客商购进A型商品m件，销售利润为w元，根据题意列出函数解析式w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，再利用一次函数的性质分析求解即可.
19．【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
20．【答案】解：（1）①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的旋转；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】（1）连接EF，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质、三角形的面积及等量代换和勾股定理逐项分析判断即可；
（2）连接AC，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当E在之间时；②当E在延长线上时，先分别画出图形并利用勾股定理求解即可.
1 / 1广东省深圳大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·深圳期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴A中的图象不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，
∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，
∴D中的图形不是中心对称图形，
∴选项D不正确；
故答案为：B．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形；将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．（2024八下·深圳期末）已知 ， 下列式子一定成立的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、，A不符合题意；
、当时，，B不符合题意；
、，C符合题意；
、，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；进行即可求解.
3．（2024八下·深圳期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（　　）边形
A．六 B．五 C．四 D．三
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则，
解得：，
即这个多边形是四边形．
故答案为：C．
【分析】设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式及外角和列出方程，再求解即可.
4．（2024八下·深圳期末）如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质及生活常识分析求解即可.
5．（2024八下·深圳期末）下列命题中，假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．（2024八下·深圳期末）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，
根据题意得： ；
故答案为：C.
【分析】 设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+20）米，根据原计划所用的天数-实际所用的天数=4，列出方程即可.
7．（2024八下·深圳期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意，
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故答案为：B．
【分析】设k是正整数，先利用“智慧数”的定义及平方差公式可得，再分析求解即可.
8．（2024八下·深圳期末）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（　　）
①∠1＝∠2；
②∠3＝∠4；
③GD＝CM；
④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．
∵B，G关于EF对称，
∴EB＝EG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBG，
∴∠AGB＝∠BGK，
∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，
∴△BAG≌△BKG（AAS），
∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，
∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），
∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，
∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，
过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．
∵∠1＝∠2，
∴MQ＝MP，
∵∠MEQ＝∠MER，
∴MQ＝MR，
∴MP＝MR，
∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，
∴∠GBH＝∠4，故②正确，
如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．
∵B，G关于EF对称，
∴BM＝MG，
∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，
∴△MCB≌△MCD（SAS），
∴BM＝DM，
∴MG＝MD，
∵MW⊥DG，
∴WG＝WD，
∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，
∴∠BMT+∠GMW＝90°，
∵∠GMW+∠MGW＝90°，
∴∠BMT＝∠MGW，
∵MB＝MG，
∴△BTM≌△MWG（AAS），
∴MT＝WG，
∵MC＝TM，DG＝2WG，
∴DG＝CM，故③正确，
∵AG＝1，DG＝2，
∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，
∴BM＝，故④正确，
故答案为：A．
【分析】过点B作BK⊥GH于K，根据对称性质可得EB＝EG，根据等边对等角可得∠EBG＝∠EGB，再根据正方形性质可得AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，则∠AGB＝∠EBG，即∠AGB＝∠BGK，再根据全等三角形判定定理可得△BAG≌△BKG（AAS），则BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，根据全等三角形判定定理可得Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），则∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，可判断①；根据角之间的关系可得∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R，根据角之间的关系可判断②；过点M作MW⊥AD于W，交BC于T，根据对称性质可得BM＝MG，再根据全等三角形判定定理可得△MCB≌△MCD（SAS），则BM＝DM，根据边之间的关系可得WG＝WD，再根据角之间的关系可得∠BMT＝∠MGW，再根据全等三角形判定定理可得△BTM≌△MWG（AAS），则MT＝WG，再根据边之间的关系可判断③；根据勾股定理可判断④.
9．（2024八下·深圳期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．（2024八下·深圳期末）如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是　 　.
【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当x＞2时，kx+3＞-x+b，
即不等式kx+3＞-x+b的解集为x＞2．
故答案为：x＞2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
11．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是　 　
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．（2024八下·深圳期末）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是　 　．
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．（2024八下·深圳期末）如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为　 　度．
【答案】108
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°，
故答案为：108．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
14．（2024八下·深圳期末） 计算
（1） 解不等式组： .
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解不等式①和②，进而得到不等式组的解集；
（2）先根据题意方程两边同乘，进而解分式方程，再检验即可求解。
15．（2024八下·深圳期末）化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
∵
∴或3
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
16．（2024八下·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为、、．
（1）将 通过平移得到 使得 A 的对应点为 请画出
（2）是由绕某一点旋转得到，请通过画图找到旋转中心 ．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；旋转对称图形
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
17．（2024八下·深圳期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若四边形的面积为，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
由（1）知四边形是菱形，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；菱形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形的性质，结合四边形的面积为，，计算即可．
（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
由（1）知四边形是菱形，
∴，
∴．
18．（2024八下·深圳期末）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）设客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
根据题意可得：m≤100﹣m，
∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）.
答：该商品能获得的利润最小是5500元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“ 用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设客商购进A型商品m件，销售利润为w元，根据题意列出函数解析式w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，再利用一次函数的性质分析求解即可.
19．（2024八下·深圳期末）【问题提出】
课堂上，老师提出了下面的问题：
，，，试比较M与N的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵
．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【问题解决】
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．
【问题应用】
数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（），则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．
实验1：加入m克水，则糖水的浓度为﹒生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）实验2：将“实验1”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：__________，并验证你写的不等式的正确性．
（3）设a、b、c为三边的长，根据上述实验2的结论，求证：．
【答案】（1）
，，
；
（2）解：
证明如下：
加入m克糖后，糖水浓度为，
，
∵，
，
又∵
，
（3）证明：∵a、b、c为的三边长，
，，
，，．
由（2）的结论知道：，，，
三式相加得：
．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法；三角形三边关系
20．（2024八下·深圳期末）【课本再现】
（1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）．
①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】解：（1）①②③④；
（2），理由如下：
连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的旋转；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④.
【分析】（1）连接EF，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质、三角形的面积及等量代换和勾股定理逐项分析判断即可；
（2）连接AC，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用垂直平分线的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理及等量代换求出即可；
（3）分类讨论：①当E在之间时；②当E在延长线上时，先分别画出图形并利用勾股定理求解即可.
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