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2024年贵州省遵义市红花岗区中考三模数学试题
1．（2024九下·红花岗模拟）下列有理数中比小的是（　　）
A．2 B．0 C． D．1
2．（2024九下·红花岗模拟）如图所示的几何体为商兽面纹瓤，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·红花岗模拟）2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学．将1878万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·红花岗模拟）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（2024九下·红花岗模拟）正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·红花岗模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
7．（2024九下·红花岗模拟）如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，，，延长到，使得，连接．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·红花岗模拟）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·红花岗模拟）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
11．（2024九下·红花岗模拟）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
12．（2024九下·红花岗模拟）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
13．（2024九下·红花岗模拟）化简的结果是　 　．
14．（2024九下·红花岗模拟）已知n是一元二次方程的根，代数式的值是　 　．
15．（2024九下·红花岗模拟）如图，是的外接圆，连接，．若的半径为，，则的值为　 　．
16．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为　 　．
17．（2024九下·红花岗模拟）（1）计算：；
（2）如图，点A，B（不重合）在数轴上所表示的数分别为，3，求x的正整数解．
小磊分析过程如下：
因为点B在点A的右侧，列不等式为______；
解得：______；
所以x的正整数解为______．
18．（2024九下·红花岗模拟）中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图；
（2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数；
（3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率．
19．（2024九下·红花岗模拟）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围．
20．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，连接，求四边形的面积．
21．（2024九下·红花岗模拟）某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息：
信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元；
信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元；
信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元
（1）在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价；
（2）在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？
22．（2024九下·红花岗模拟）贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．
实物图 课题 测量公馆桥的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为，C的俯角为（A，C在桥面上）． 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为．
（1）根据以上数据判断，方案______不能求公馆桥的高度；
（2）利用以上可行方案求公馆桥的高度（参考数据，，）．
23．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话：
（1）选择其中一位同学的说法并进行证明；
（2）在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值．
24．（2024九下·红花岗模拟）综合与实践
如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）．
①求n的取值范围；
②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值．
25．（2024九下·红花岗模拟）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，．
（1）【问题发现】
如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是俯视图，从上面看到的图形如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据几何体的三视图的定义求解题．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1878万，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法表示较大的数求解．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于捐款最少的员工又多捐了20元，则这五个人的捐款数量为：50，50，50，60，60，
∴数据的平均数、众数及方差肯定都会发生变化，只是排在最中间位置的数据没有改变，
∴中位数不会发生改变.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此逐项判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据由平行线的性质“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”逐项判定即可．
6．【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的减法求解．
7．【答案】C
【知识点】概率公式
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和定理求得∠ACB，再利用等边对等角，证得，然后利用三角形外角的性质求得．
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
10．【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和位似，
，
∴，
∵点与点是对应点，
∴，
=，
的面积是4，
的面积是16，
故答案为：D．
【分析】先根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算求解．
11．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵O是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，根据正方形的性质可求得BC，再利用等腰直角三角形的性质求得BD，然后利用线段差求得BE，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
12．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：①的图象过第二、三、四象限，
∴，．
∴．
故①正确．
将分别代入和得，
，．
∵在点的上方，
∴．
故②不正确．
∵ 一次函数和的图象的横坐标为．
当时，两者的函数值相等．
，
故③正确．
，是直线上不重合的两点，
由的图象可知，当时，，则．
当时，，则．
故④不正确．
故答案为：B．
【分析】根据的图象过第二、三、四象限，可确定a，b的符号，就可判断①；
将分别代入和得，求出相应函数值，结合函数图象，可判断②；
一次函数和的图象的横坐标为，可得出，可判断 ③ ；
根据，是直线上不重合的两点，可以根据自变量的大小判断函数值的大小，由此可判断 ④ ．
13．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
【分析】利用合并同类项法则进行运算即可求解.
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】n是一元二次方程的根，
，即
【分析】根据 n是一元二次方程的根， 得到将代数式去括号代入即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：作直径，连接，
∵的半径为，
∴，
∴，
的半径为，，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据圆的半径求出直径，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，然后利用勾股定理求得AD，再利用圆周角定理和余弦定义式求出的值 ．
16．【答案】
【知识点】三角形的综合；母子相似模型（公共边公共角）
17．【答案】解：原式
；
（2），，1和2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：（2）因为点在点的右侧，列不等式为，
解得，
所以的正整数解为1和2，
故答案为：，，1和2．
【分析】（1）先算乘方，去绝对值，特殊角的三角函数，再计算加减法；
（2）先列出不等式求解，再求出正整数解即可．
18．【答案】（1）60，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人．
答：估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种，
恰好选中和的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生人数为（人．
故答案为：60．
类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示：
【分析】（1）先利用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比，求得随机抽取的学生人数，再求出类的人数，然后补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中类和类的人数所占的百分比之和，即可得出答案．
（3）先列表，可得出所有等可能的结果数以及恰好选中和的结果数，再利用概率公式求解．
（1）解：随机抽取的学生人数为（人．
故答案为：60．
类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人．
估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．
（3）解：列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种，
恰好选中和的概率为．
19．【答案】（1）解：反比例函数的图象过点和点，
，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）解：观察图象，时， 反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点 ，
∴自变量的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据点在反比例函数图象上，求出的值，再得到关于m的方程求出m；
（2）根据图象结合交点坐标即可求得．
（1）解：反比例函数的图象过点和点，
，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）解：观察图象，时，自变量的取值范围是或．
20．【答案】（1）证明：∵点D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ABCE的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先利用正切求得，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的公式求解．
（1）证明：∵点D是边的中点，
∴
∵，
∴，
∵∠，
∴
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形ABCE的面积．
21．【答案】（1）①③；A型笔记本的单价是3元，B型笔记本的单价是5元
（2）解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个，
可列不等式：，
解得：，
答：型笔记本至少购买25个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，
可列方程组：，
解得：，
答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元；
故答案为：①③（答案不唯一）．
【分析】（1）设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，根据“购买10个型笔记本与3个型笔记本共45元”、“购买1个型笔记本与1个型笔记本需8元”列出方程组求解；
（2）设型笔记本购买个，可用a表示出购买型笔记本数量，根据“购买，两种笔记本的总费用不超过200元”列出不等式求解．
（1）解：选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元；
故答案为：①③（答案不唯一）．
（2）解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个，
由题意可得：，
，
答：型笔记本至少购买25个．
22．【答案】（1）一
（2）解：利用方案二求公馆桥的高度
延长交于点C，如图，
设米，则米
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
∴
解得：
∴米，
∴米
答：公馆桥的高度为23米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
23．【答案】（1）解：选择小杰的说法，证明如下：
连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
；
（2）解：过作于，
是的直径，
，
，
，
的半径是5，
，
，
的面积，
，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；求正切值
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据线段垂直平分线的性质推出；
（2）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，根据勾股定理得到，可求出，由平行线的性质推出，从而可求得．
（1）解：选择小杰的说法，证明如下：
连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
；
（2）解：过作于，
是的直径，
，
，
，
的半径是5，
，
，
的面积，
，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：依题意可知抛物线的顶点坐标为，
∴设
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（或写成一般式）．
（2）解：①抛物线为，
当时，，解得：， （舍去），
当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，
此时抛物线解析式为：，
当时，，解得：， （舍去），
的取值范围为：，
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，
抛物线的解析式为，
当时，，解得：或（舍去），
此时抛物线解析式为，
当时，，解得：或（舍去），
此时喷头位置为，
的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的顶点坐标为，可设，再将点代入，求出可求抛物线的解析式；
（2）①，求出的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为，故可令，则，进而可以判断的范围；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，进而可得抛物线的解析式为，又令，求出，故可得此时抛物线解析式，最后再令，求出后即可判断得解．
（1）解：依题意可知抛物线的顶点坐标为，
∴设
将点代入得：，
解得：，
即：抛物线的解析式为．
（或写成一般式）．
（2）解：①抛物线为，
令，则，
， （舍去），
又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，
此时抛物线解析式为：，
令，则，
， （舍去），
的取值范围为：，
②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，
抛物线的解析式为，
又令，
或（舍去），
此时抛物线解析式为，
再令，
，
或（舍去），
此时喷头位置为，
的值为．
25．【答案】（1），；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）先利用SAS证明，再结合全等三角形的性质证明，进而即可作答；
（2）先证是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别求出BG．
（1）解：延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
1 / 12024年贵州省遵义市红花岗区中考三模数学试题
1．（2024九下·红花岗模拟）下列有理数中比小的是（　　）
A．2 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
2．（2024九下·红花岗模拟）如图所示的几何体为商兽面纹瓤，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是俯视图，从上面看到的图形如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据几何体的三视图的定义求解题．
3．（2024九下·红花岗模拟）2023年国家通过新建、改扩建新增公办学位，保障了1878万一年级新生入学．将1878万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1878万，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法表示较大的数求解．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
4．（2024九下·红花岗模拟）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由于捐款最少的员工又多捐了20元，则这五个人的捐款数量为：50，50，50，60，60，
∴数据的平均数、众数及方差肯定都会发生变化，只是排在最中间位置的数据没有改变，
∴中位数不会发生改变.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此逐项判断得出答案.
5．（2024九下·红花岗模拟）正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据由平行线的性质“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”逐项判定即可．
6．（2024九下·红花岗模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的减法求解．
7．（2024九下·红花岗模拟）如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
8．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，，，延长到，使得，连接．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
∴，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和定理求得∠ACB，再利用等边对等角，证得，然后利用三角形外角的性质求得．
9．（2024九下·红花岗模拟）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
10．（2024九下·红花岗模拟）如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是4，则的面积是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和位似，
，
∴，
∵点与点是对应点，
∴，
=，
的面积是4，
的面积是16，
故答案为：D．
【分析】先根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算求解．
11．（2024九下·红花岗模拟）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵O是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，根据正方形的性质可求得BC，再利用等腰直角三角形的性质求得BD，然后利用线段差求得BE，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
12．（2024九下·红花岗模拟）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（　　）
A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：①的图象过第二、三、四象限，
∴，．
∴．
故①正确．
将分别代入和得，
，．
∵在点的上方，
∴．
故②不正确．
∵ 一次函数和的图象的横坐标为．
当时，两者的函数值相等．
，
故③正确．
，是直线上不重合的两点，
由的图象可知，当时，，则．
当时，，则．
故④不正确．
故答案为：B．
【分析】根据的图象过第二、三、四象限，可确定a，b的符号，就可判断①；
将分别代入和得，求出相应函数值，结合函数图象，可判断②；
一次函数和的图象的横坐标为，可得出，可判断 ③ ；
根据，是直线上不重合的两点，可以根据自变量的大小判断函数值的大小，由此可判断 ④ ．
13．（2024九下·红花岗模拟）化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】
【分析】利用合并同类项法则进行运算即可求解.
14．（2024九下·红花岗模拟）已知n是一元二次方程的根，代数式的值是　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】n是一元二次方程的根，
，即
【分析】根据 n是一元二次方程的根， 得到将代数式去括号代入即可求解.
15．（2024九下·红花岗模拟）如图，是的外接圆，连接，．若的半径为，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：作直径，连接，
∵的半径为，
∴，
∴，
的半径为，，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据圆的半径求出直径，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，然后利用勾股定理求得AD，再利用圆周角定理和余弦定义式求出的值 ．
16．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的综合；母子相似模型（公共边公共角）
17．（2024九下·红花岗模拟）（1）计算：；
（2）如图，点A，B（不重合）在数轴上所表示的数分别为，3，求x的正整数解．
小磊分析过程如下：
因为点B在点A的右侧，列不等式为______；
解得：______；
所以x的正整数解为______．
【答案】解：原式
；
（2），，1和2
【知识点】一元一次不等式的特殊解；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：（2）因为点在点的右侧，列不等式为，
解得，
所以的正整数解为1和2，
故答案为：，，1和2．
【分析】（1）先算乘方，去绝对值，特殊角的三角函数，再计算加减法；
（2）先列出不等式求解，再求出正整数解即可．
18．（2024九下·红花岗模拟）中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图；
（2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数；
（3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率．
【答案】（1）60，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人．
答：估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．
（3）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种，
恰好选中和的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）随机抽取的学生人数为（人．
故答案为：60．
类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示：
【分析】（1）先利用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比，求得随机抽取的学生人数，再求出类的人数，然后补全条形统计图即可．
（2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中类和类的人数所占的百分比之和，即可得出答案．
（3）先列表，可得出所有等可能的结果数以及恰好选中和的结果数，再利用概率公式求解．
（1）解：随机抽取的学生人数为（人．
故答案为：60．
类的人数为（人．
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人．
估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人．
（3）解：列表如下：
　
　
　
　
　
共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种，
恰好选中和的概率为．
19．（2024九下·红花岗模拟）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
（1）求m的值及反比例函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：反比例函数的图象过点和点，
，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）解：观察图象，时， 反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点 ，
∴自变量的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据点在反比例函数图象上，求出的值，再得到关于m的方程求出m；
（2）根据图象结合交点坐标即可求得．
（1）解：反比例函数的图象过点和点，
，
，，
反比例函数的解析式为；
（2）解：观察图象，时，自变量的取值范围是或．
20．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，，点D是边的中点，交的延长线于点E，，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，连接，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵点D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在与中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ABCE的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质得出结论；
（2）先利用正切求得，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的公式求解．
（1）证明：∵点D是边的中点，
∴
∵，
∴，
∵∠，
∴
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形ABCE的面积．
21．（2024九下·红花岗模拟）某校在世界读书日启动“书香校园”活动，某班在参与读书活动中，计划购买一批笔记本用于学生摘抄“好词好句”．提供以下信息：
信息①：购买10个A型笔记本与3个B型笔记本共45元；
信息②：A型笔记本的单价比B型笔记本便宜2元；
信息③：购买1个A型笔记本与1个B型笔记本需8元
（1）在信息①②③中任选两个作为条件______（填序号），求A型笔记本和B型笔记本的单价；
（2）在（1）的条件下，全班50个同学每人购买一个笔记本，若购买A，B两种笔记本的总费用不超过200元，则A型笔记本至少购买多少个？
【答案】（1）①③；A型笔记本的单价是3元，B型笔记本的单价是5元
（2）解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个，
可列不等式：，
解得：，
答：型笔记本至少购买25个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，
可列方程组：，
解得：，
答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元；
故答案为：①③（答案不唯一）．
【分析】（1）设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，根据“购买10个型笔记本与3个型笔记本共45元”、“购买1个型笔记本与1个型笔记本需8元”列出方程组求解；
（2）设型笔记本购买个，可用a表示出购买型笔记本数量，根据“购买，两种笔记本的总费用不超过200元”列出不等式求解．
（1）解：选①③，设型笔记本的单价为元，型笔记本的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：型笔记本的单价为3元，型笔记本的单价为5元；
故答案为：①③（答案不唯一）．
（2）解：设型笔记本购买个，购买型笔记本个，
由题意可得：，
，
答：型笔记本至少购买25个．
22．（2024九下·红花岗模拟）贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．
实物图 课题 测量公馆桥的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为，C的俯角为（A，C在桥面上）． 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为．
（1）根据以上数据判断，方案______不能求公馆桥的高度；
（2）利用以上可行方案求公馆桥的高度（参考数据，，）．
【答案】（1）一
（2）解：利用方案二求公馆桥的高度
延长交于点C，如图，
设米，则米
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
∴
解得：
∴米，
∴米
答：公馆桥的高度为23米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；背靠背模型
23．（2024九下·红花岗模拟）如图，在中，与相交于点D．下面是两位同学的对话：
（1）选择其中一位同学的说法并进行证明；
（2）在（1）的条件下，过点A作的切线交的延长线于E，若，的半径为5，求的值．
【答案】（1）解：选择小杰的说法，证明如下：
连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
；
（2）解：过作于，
是的直径，
，
，
，
的半径是5，
，
，
的面积，
，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；求正切值
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据线段垂直平分线的性质推出；
（2）先根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，根据勾股定理得到，可求出，由平行线的性质推出，从而可求得．
（1）解：选择小杰的说法，证明如下：
连接，
是的直径，
，
，
垂直平分，
；
（2）解：过作于，
是的直径，
，
，
，
的半径是5，
，
，
的面积，
，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
．
24．（2024九下·红花岗模拟）综合与实践
如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）．
①求n的取值范围；
②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值．
【答案】（1）解：依题意可知抛物线的顶点坐标为，
∴设
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（或写成一般式）．
（2）解：①抛物线为，
当时，，解得：， （舍去），
当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，
此时抛物线解析式为：，
当时，，解得：， （舍去），
的取值范围为：，
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，
抛物线的解析式为，
当时，，解得：或（舍去），
此时抛物线解析式为，
当时，，解得：或（舍去），
此时喷头位置为，
的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）先根据抛物线的顶点坐标为，可设，再将点代入，求出可求抛物线的解析式；
（2）①，求出的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为，故可令，则，进而可以判断的范围；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，进而可得抛物线的解析式为，又令，求出，故可得此时抛物线解析式，最后再令，求出后即可判断得解．
（1）解：依题意可知抛物线的顶点坐标为，
∴设
将点代入得：，
解得：，
即：抛物线的解析式为．
（或写成一般式）．
（2）解：①抛物线为，
令，则，
， （舍去），
又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，
此时抛物线解析式为：，
令，则，
， （舍去），
的取值范围为：，
②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，
抛物线的解析式为，
又令，
或（舍去），
此时抛物线解析式为，
再令，
，
或（舍去），
此时喷头位置为，
的值为．
25．（2024九下·红花岗模拟）如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，．
（1）【问题发现】
如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______；
（2）【问题探究】
如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长．
【答案】（1），；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）先利用SAS证明，再结合全等三角形的性质证明，进而即可作答；
（2）先证是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别求出BG．
（1）解：延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
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