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广东省深圳市盐田区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·盐田期末）近年来，中国的5G技术迅猛发展，中国广电正式开启5G 网络服务，成为第四大通信运营商．以下四大通信运营商标志中，不是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2024八下·盐田期末）若，则下列不等式成立的是 （　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，当时，，故A错误，不符合题意；
B. 由则 ，故A错误，不符合题意；
C. 由则 ，故C错误，不符合题意；
D. 由则 ，故D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．（2024八下·盐田期末） 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B是因式分解，符合题意；
C不是因式分解，不符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
4．（2024八下·盐田期末）点向上平移2个单位后到达原点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点向上平移2个单位后到达原点，∴点的坐标，即
故答案为：A．
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
5．（2024八下·盐田期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解得在数轴上表示如下：
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
6．（2024八下·盐田期末）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　）
A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，
小强转过的角度之和为．
故答案为：B．
【分析】利用多边形的外角和公式（任意多边形的外角和均为360°）分析求解即可.
7．（2024八下·盐田期末）下列说法，正确的是 (　　)
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是真命题
C．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 60°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A.等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一，故A说法错误；
B."对顶角相等”相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以它的逆命题是假命题，故B说法错误；
C.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，根据垂直平分线定义可得这点到三角形的三个顶点的距离相等，故C说法错误；
D.“三角形中必有一个角不大于60°”，用反证法证明，先假设结论不成立，为“三角形中没有一个角不大于60°”，双重否定变肯定，即“这个三角形中每个角都大于60°”.
故答案为：D.
【分析】A.根据等腰三角形的“三线合一”定理判断即可.
B.先得出逆命题，再判断命题的真假；
C.要理解垂直平分线的性质，可得交点到三角形的三个顶点的距离相等；
D.原命题的结论中“必有一个角”包含了“有一个角”“有两个角”和“有三个角”三种情况，所以假设它不成立，是“没有一个角”，就是“三角形中没有一个角不大于60°”，据此判断即可.
8．（2024八下·盐田期末）如图， 平行四边形与平行四边形全等， 且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上， F在BC上， C在上．若，则四边形的周长为 （　　）．
A．23 B．22 C．21 D．20
【答案】A
【知识点】全等图形的概念；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形与平行四边形全等，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：A．
【分析】根据全等四边形性质可得，，则，根据边之间的关系可得CG，再根据四边形周长即可求出答案.
9．（2024八下·盐田期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在AC的延长线上， 若A、B、D三点共线， 且， 则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质可得，则，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角性质可得，再根据补角即可求出答案.
10．（2024八下·盐田期末）如图，与均为等边三角形，， 点B， C， D， P在一条直线上，， 则的长为 （　　）．
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：连接，过E作与F，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接，过E作与F，根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得、，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2024八下·盐田期末）因式分解： 　 　.
【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．（2024八下·盐田期末）已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为　 　
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的中点，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的底边上的高与底边上的中线互相重合可得是的中点，再根据三角形中位线定理可得，，即可求出答案.
13．（2024八下·盐田期末）关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由可知当时，分式方程有增根，
∴该分式方程的增根为；
故答案为．
【分析】利用分式增根的定义可得，再求出x的值即可.
14．（2024八下·盐田期末）如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长相交于点M，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∵E是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】延长相交于点M，根据平行四边形的性质可得、、，再结合角平分线的定义等腰三角形的性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2024八下·盐田期末）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
16．（2024八下·盐田期末）（1）解不等式组 ；
（2）解方程：.
【答案】解：(1)解不等式①，得.
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为.
(2)
方程两边都乘，得，解得：，
检验： 当时，，
∴分式方程的根是.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可；
（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可.
17．（2024八下·盐田期末） 先化简， 再求值： ，其中
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的运算法则进行计算，再将代入化简以后的式子中求值即可．
18．（2024八下·盐田期末） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知的三个顶点坐标分别是．
（1）平移， 得到， 若点A的对应点的坐标为， 请画出；
（2）将以点 为旋转中心旋转后得到， 请画出， 并写出点的坐标；
（3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心 P 点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形．
（2）解：如图，即为所求，点坐标为．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）先作出点旋转后的对应点，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标；
（3）连接、，其交点即为点P，即可得出旋转中心P点的坐标．
（1）解：如图，即为所求作的三角形．
（2）解：如图，即为所求，点坐标为．
（3）解：．
19．（2024八下·盐田期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人．
（1）直接写出x的范围．
（2）如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
【答案】（1）
（2）解：设批发的价格为每支元，由题意得
按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，
零售的价格为每支元，
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
（人）；
答：这个学校八年级学生有人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：设这个学校八年级学生有人．由题意得，
，
解得：，
故：；
【分析】（1）由不等关系式：八年级人数人，八年级人数人人，列出不等式组，即可求解；
（2）等量关系式：元零售价购买的数量个元批发价购买的数量，据此列方程，即可求解；
（1）解：设这个学校八年级学生有人．由题意得，
，
解得：，
故：；
（2）解：设批发的价格为每支元，由题意得
按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，
零售的价格为每支元，
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
（人）；
答：这个学校八年级学生有人．
20．（2024八下·盐田期末） 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O．
（1）下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积．
【答案】（1）解：选③.证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：方法1：我选①，证明如下：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即
∴
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
方法2：我选③.证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
．
21．（2024八下·盐田期末）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
【答案】解：任务1：∵且，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
任务2：如图：过点E作于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
在图2中，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴伞圈D移动的距离为.
任务3：72
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
22．（2024八下·盐田期末）【初步感知】
如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系．
①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系；
②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 ．
【类比探究】
如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【拓展应用】
如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长．
【答案】【初步感知】：
【类比探究】：，理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【拓展应用】：在上取点M，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，，
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：【初步感知】：∵将绕着点D逆时针旋转到，
∴，，，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴、C、M在同一直线上，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】【初步感知】：根据旋转性质可得，，，，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，则、C、M在同一直线上，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
【类比探究】：在上截取，连接，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
【 拓展应用】：在上取点M，连接，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DF，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市盐田区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·盐田期末）近年来，中国的5G技术迅猛发展，中国广电正式开启5G 网络服务，成为第四大通信运营商．以下四大通信运营商标志中，不是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·盐田期末）若，则下列不等式成立的是 （　　）．
A． B． C． D．
3．（2024八下·盐田期末） 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·盐田期末）点向上平移2个单位后到达原点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·盐田期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·盐田期末）如图，小强站在五边形健身步道的起点P处，沿着P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最终回到了P处．在这过程中，小强转过的角度说明了（　　）
A．五边形的内角和是 B．五边形的外角和是
C．五边形的内角和是 D．五边形的外角和是
7．（2024八下·盐田期末）下列说法，正确的是 (　　)
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是真命题
C．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 60°
8．（2024八下·盐田期末）如图， 平行四边形与平行四边形全等， 且A、B、C、D的对应顶点分别是H、E、F、G，其中E在上， F在BC上， C在上．若，则四边形的周长为 （　　）．
A．23 B．22 C．21 D．20
9．（2024八下·盐田期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在AC的延长线上， 若A、B、D三点共线， 且， 则（　　）．
A． B． C． D．
10．（2024八下·盐田期末）如图，与均为等边三角形，， 点B， C， D， P在一条直线上，， 则的长为 （　　）．
A．4 B． C． D．
11．（2024八下·盐田期末）因式分解： 　 　.
12．（2024八下·盐田期末）已知 中，是上一点，，， 垂足是，是的中点，，则长为　 　
13．（2024八下·盐田期末）关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为　 　．
14．（2024八下·盐田期末）如图， 在中，F是边上一点， E是边的中点，平分． 若， 则的长为　 　．
15．（2024八下·盐田期末）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是　 　．
16．（2024八下·盐田期末）（1）解不等式组 ；
（2）解方程：.
17．（2024八下·盐田期末） 先化简， 再求值： ，其中
18．（2024八下·盐田期末） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知的三个顶点坐标分别是．
（1）平移， 得到， 若点A的对应点的坐标为， 请画出；
（2）将以点 为旋转中心旋转后得到， 请画出， 并写出点的坐标；
（3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心 P 点的坐标．
19．（2024八下·盐田期末）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔500支以上（不包括500支），可以按批发价付款；购买500支以下（包括500支）只能按零售价付款，小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用200元；如果多购买50支，那么可以按批发价付款，同样需用200元．设八年级的学生总数为x人．
（1）直接写出x的范围．
（2）如果按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
20．（2024八下·盐田期末） 如图，在中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点（不在线段上），与相交于点O．
（1）下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形， 且，的面积为5， 求的面积．
21．（2024八下·盐田期末）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．
根据以下素材，探索完成任务，
探究雨伞中的数学问题
素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．
素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案）
22．（2024八下·盐田期末）【初步感知】
如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系．
①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系；
②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 ．
【类比探究】
如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【拓展应用】
如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，当时，，故A错误，不符合题意；
B. 由则 ，故A错误，不符合题意；
C. 由则 ，故C错误，不符合题意；
D. 由则 ，故D正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A不是因式分解，不符合题意；
B是因式分解，符合题意；
C不是因式分解，不符合题意；
D不是因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点向上平移2个单位后到达原点，∴点的坐标，即
故答案为：A．
【分析】根据点的平移性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解得在数轴上表示如下：
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：小强转过的角度之和正好是五边形的外角和，
小强转过的角度之和为．
故答案为：B．
【分析】利用多边形的外角和公式（任意多边形的外角和均为360°）分析求解即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A.等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一，故A说法错误；
B."对顶角相等”相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以它的逆命题是假命题，故B说法错误；
C.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，根据垂直平分线定义可得这点到三角形的三个顶点的距离相等，故C说法错误；
D.“三角形中必有一个角不大于60°”，用反证法证明，先假设结论不成立，为“三角形中没有一个角不大于60°”，双重否定变肯定，即“这个三角形中每个角都大于60°”.
故答案为：D.
【分析】A.根据等腰三角形的“三线合一”定理判断即可.
B.先得出逆命题，再判断命题的真假；
C.要理解垂直平分线的性质，可得交点到三角形的三个顶点的距离相等；
D.原命题的结论中“必有一个角”包含了“有一个角”“有两个角”和“有三个角”三种情况，所以假设它不成立，是“没有一个角”，就是“三角形中没有一个角不大于60°”，据此判断即可.
8．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形与平行四边形全等，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：A．
【分析】根据全等四边形性质可得，，则，根据边之间的关系可得CG，再根据四边形周长即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据旋转性质可得，则，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角性质可得，再根据补角即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：连接，过E作与F，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接，过E作与F，根据等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得、，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，设，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】3（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： .
【分析】先提取公因式3，再根据平方差公式分解因式.
12．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是的中点，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据等腰三角形的底边上的高与底边上的中线互相重合可得是的中点，再根据三角形中位线定理可得，，即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：由可知当时，分式方程有增根，
∴该分式方程的增根为；
故答案为．
【分析】利用分式增根的定义可得，再求出x的值即可.
14．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长相交于点M，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∵E是边的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】延长相交于点M，根据平行四边形的性质可得、、，再结合角平分线的定义等腰三角形的性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】解：(1)解不等式①，得.
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为.
(2)
方程两边都乘，得，解得：，
检验： 当时，，
∴分式方程的根是.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可；
（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可.
17．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的运算法则进行计算，再将代入化简以后的式子中求值即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形．
（2）解：如图，即为所求，点坐标为．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）先作出点旋转后的对应点，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标；
（3）连接、，其交点即为点P，即可得出旋转中心P点的坐标．
（1）解：如图，即为所求作的三角形．
（2）解：如图，即为所求，点坐标为．
（3）解：．
19．【答案】（1）
（2）解：设批发的价格为每支元，由题意得
按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，
零售的价格为每支元，
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
（人）；
答：这个学校八年级学生有人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：设这个学校八年级学生有人．由题意得，
，
解得：，
故：；
【分析】（1）由不等关系式：八年级人数人，八年级人数人人，列出不等式组，即可求解；
（2）等量关系式：元零售价购买的数量个元批发价购买的数量，据此列方程，即可求解；
（1）解：设这个学校八年级学生有人．由题意得，
，
解得：，
故：；
（2）解：设批发的价格为每支元，由题意得
按批发价购买550支与按零售价购买500支所付款相同，
零售的价格为每支元，
，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
（人）；
答：这个学校八年级学生有人．
20．【答案】（1）解：选③.证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：方法1：我选①，证明如下：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即
∴
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
方法2：我选③.证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
．
21．【答案】解：任务1：∵且，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
任务2：如图：过点E作于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
在图2中，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴伞圈D移动的距离为.
任务3：72
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
22．【答案】【初步感知】：
【类比探究】：，理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
【拓展应用】：在上取点M，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，，
∵，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：【初步感知】：∵将绕着点D逆时针旋转到，
∴，，，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴、C、M在同一直线上，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】【初步感知】：根据旋转性质可得，，，，再根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，则、C、M在同一直线上，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
【类比探究】：在上截取，连接，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
【 拓展应用】：在上取点M，连接，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得DF，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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