资源简介

四川省成都市青羊实验中学2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题
1．（2025九下·青羊月考）有理数的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：A、∵-5+≠0，∴-5不是的相反数，故此选项不符合题意；
B、∵-+=0，∴-是的相反数，故此选项符合题意；
C、∵5+≠0，∴5不是的相反数，故此选项不符合题意；
D、∵+≠0，∴不是的相反数，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，结合有理数的加法法则逐一判断即可.
2．（2025九下·青羊月考）如图是6个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看到的该几何体的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的该几何体的形状图是：
，
故答案为：C．
【分析】根据所给几何体从正面看到的形状画图即可．
3．（2025九下·青羊月考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原式计算正确，故选项B符合题意；；
C．，原式计算错误，故选项C不符合题意；
D．，原式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，单项式除以单项式法则，平方差公式和完全平方公式逐一计算并判断即可．
4．（2025九下·青羊月考）学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
课外书数量（本） 6 7 9 12
人数 6 7 7
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．8，9 B．，9 C．7， D．9，9
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格数据可知：众数为9，中位数为，
故选：D.
【分析】根据中位数和众数的定义“按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）是中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数值”解答即可．
5．（2025九下·青羊月考）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴DC//AB，DC=AB，
∴△EDF∽△EAB，
∵.
∵，
∴.
∴点F为CD的中点.
∴DF=CF，
又∵EF=BF，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴，AE//BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质可得△EDF∽△EAB，添加条件后可得，继而可得DF=CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论并判断选项A；
利用平行四边形的性质可得，添加条件，可证明，利用对边平行的四边形是平行四边形可得结论并判断选项B；
利用平行四边形的性质可得，AE//BC，添加条件 ，可证明，利用对边平行的四边形是平行四边形可得结论并判断选项C；
添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意．
6．（2025九下·青羊月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
7．（2025九下·青羊月考）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵射线，切于点A，B，
∴，
∵直线切于点C，交于点D，交于点E，
∴，
∵的周长是，即PD+PE+DE=12 cm，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】由切线长定理得，，，由的周长是，可推导出，即可求得PA的长．
8．（2025九下·青羊月考）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．关于x的方程的两根是
C．当时，y随x的增大而减小
D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知，
∴，A选项正确，不符合题意；
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和，
∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意．
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向，对称轴，二次函数的对称性、y轴的交点与位置逐项判断解题．
9．（2025九下·青羊月考）已知，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴.
故答案为：．
【分析】先根据平方与算术平方根的非负性求出，的值，再将，的值代入中进行计算即可.
10．（2025九下·青羊月考）已知反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，
∴反比例函数中，得，
解得，
故答案为：
【分析】在反比例函数y=中，当k＞0时，双曲线位于一三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
11．（2025九下·青羊月考）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出菱形的边长，然后利用面积法求出菱形的高即可．
12．（2025九下·青羊月考）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若的面积是3，则的面积是　 　．
【答案】12
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与位似，
，，
，
，
，
的面积是3，
的面积是12，
故答案为：12．
【分析】根据位似可得，，进而得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
13．（2025九下·青羊月考）如图所示，在中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点D和E，再以点C为圆心，长为半径画弧交于点F，最后以F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点M，若，则　 　．
【答案】6
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可得：∠B=∠ACM，
∵∠A=∠A，
∴△ACM∽△ABC，
∴，
∴，
∴AC=6（舍负），
故答案为：6．
【分析】由作图得∠B=∠ACM，可证明△ACM∽△ABC，利用相似三角形的性质得，代入数值即可得到答案．
14．（2025九下·青羊月考）（1）计算：
（2）解不等式
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，并计算特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后再进行加减计算即可得到答案；
（2）先求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．确定两个不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．（2025九下·青羊月考）某学校为了了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次测试共调查了 ___________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为 ___________；
（4）若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？
【答案】（1）50
（2）解：B等级的学生人数为：（名），
∴可补全条形统计图为：
（3）
（4）解：（名），
估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有72人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名），
故答案为：50；
（3）扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为：；
故答案为：；
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先用总人数减去其他各等级的人数计算出B等级的人数，即可补全统计统计图；
（3）用乘以样本中D等级的人数的占比即可得到对应的圆心角度数；
（4）用600乘以样本中D等级的人数的占比即可估算出大概的人数.
（1）解：（名），
所以本次测试共调查了50名学生；
故答案为：50名；
（2）解：B等级的学生人数为（名），
补全条形统计图为：
（3）解：扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为；
故答案为：；
（4）（名），
估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有72人．
16．（2025九下·青羊月考）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，）
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离．
【答案】（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）解：∵，∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点B，延长交于点A．即可得到是矩形．则，然后根据正弦的定义求出PM长，再根据线段的和差解答即可；
（2）根据勾股定理求出AM长，然后根据同角的余角相等得到．根据正切求出QB长，利用线段的和差解题．
（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
17．（2025九下·青羊月考）如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=ABC，
∴∠ACO+∠ABC=90°，
∵ ∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACO+∠ACP=90°，即∠ACO=90°，
∴PC⊥OC.
∵OC为半径，
∴ PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵ ∠PCA＝∠ABC， ∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴；
∵CG⊥AB，
∴∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠CAD=∠DCB，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
∴；
（3）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF=∠ABC，∠P=∠EAB.
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF.
∵CF=5，
∴AF=5，
∵∠P=∠EAB，sin∠P=，
∴，
在Rt△AFD中，∵AF=5，
∴FD=3，AD=4，
∴CD=CF+FD=8.
由（2）得△CAD∽△BCD，
∴，即，
∴BD=16，
∴AB=AD+BD=20.
∵，
∴BE=12．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACO+∠OCB=90°，由于OC=OA，证得∠OCB=ABC，结合∠PCA＝∠ABC，可得∠ACO+∠ACP=90°，即可根据切线的判定定理得到结论；（2）证明△PCA∽△PBC，可得；证明△CAD∽△BCD，可得，等量代换即可得到结论；
（3）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF=∠ABC，∠P=∠EAB.根据垂径定理得∠ACF=∠ABC，于是可证明CF=AF，可得AF长，由sin∠P=，得，于是可在Rt△AFD中利用勾股定理求出FD和AD的长，继而可得CD=8.由△CAD∽△BCD，根据相似三角形的性质得，代入数据计算BD长，继而可得AB长，代入三角函数即可求出BE长.
18．（2025九下·青羊月考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2；
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
（3）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
【答案】（1）解：设点A的坐标为，点B的坐标为（2，s），
把点A，B的坐标代入，可得：
k=-4t=2s，
∴s=-2t，即B，
将点A，B的坐标分别代入，得
，
解得，
∴，.
故
（2）解：由（1）可得，k=12，b=3，
∴直线的函数表达式为，抛物线的解析式为.
∵直线与直线交于点M，可设，
①当点M在线段上时，过点A作AP//x轴，过点B作BP⊥x轴，AP与BP相交于点P，过点M作MQ⊥AP于点D，如图：
∴MQ//BP，Q(m，﹣4)，P(2，﹣4)，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：.
∴点M的坐标为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
由可得：
，或（舍去），
∴点C的坐标为；
②当点M在线段BA的延长线上时，过点M作MP//x轴，过点B作BP⊥x轴，MP与BP相交于点P，过点A作AD⊥MP于点D，如图：
∴AD//BP，，，
∴，，
∵，AD//BP，
∴，即，
∴，
∴点M的坐标为，
∴直线CM的解析式为，
由可得：
，或（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③当点M在线段BA的延长线上时，BM综上所述，点C的坐标为 或
（3）解：∵ 点C在反比例函数第一象限内的图象上， 可设，且，
①当为矩形的边，AB⊥BC时，
∵直线AB的解析式为，
可设直线BC的解析式为：.
把点B坐标代入可得，
解得：，
∴.
由得：（舍），.
故.
②当为矩形的边，AB⊥AC时，点C不在第一象限，故舍去；
③当为矩形的对角线，AC⊥BC时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
∴∠BQC=∠CPA=90°，
∴∠QBC+∠QCB=90°=∠QCB+∠ACP，
∴∠QBC=∠ACP，
∴△ACP∽△CBQ，
∴.
∵，，且，.
∴，.
∴AP=n+4，BQ=n－2，，.
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，求出t，b的值，即可得到结论；
（2）求得直线和抛物线的解析式，设．再分①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③当点M在线段BA的延长线上时三种情况，由平分线分线段成比例和，得到关于m的方程，求解即可；
（3）设点C的坐标为，且，再分①当为矩形的边，AB⊥BC时；②当为矩形的对角线，AB⊥AC时，③当为矩形的对角线，AC⊥BC时，等三种情况分别求解即可．
（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，分别过点A、B作x轴和y轴的平行线，交于一点N，过点M作于点D，如图，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴，
同理①，得，
解得，
∴点M的坐标为，
同理可得：直线的解析式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）解：设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
化简，得，
解得，（与点B重合，舍去），
∴点；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
同理①可得：，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
19．（2025九下·青羊月考）化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】根据异分母分式的加减运算法则进行求解即可．
20．（2025九下·青羊月考）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则m值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，，，
∴，，即.
∵，
∴，
整理得：
解得：（不符合题意，舍去），
∵m<1，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意易得，，然后根据，和 解答即可．
21．（2025九下·青羊月考）如图，正六边形内接于，以点A为圆心，的长为半径作弧，得，连接，．已知的半径为2，若任意在内取点，则这个点取在阴影部分的概率为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形；几何概率
【解析】【解答】解：连接EC，OC，过点O作OG⊥CE于点G，如图所示：
∵ 正六边形内接于，
∴，
∴，即，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠ACE=∠AEC=60°.
∵△ACE为 的内接正三角形，OG⊥EC于点G，O为圆心，
∴EG=CG，OC平分∠ACE，
∴∠ACO=∠ECO=30°，
∴，.
∴，
∴这个点取在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【分析】连接EC，OC，过点O作OG⊥CE于点G，证明三角形ACE为的内角正三角形，再结合垂径定理得EG=CG，OC平分∠ACE，继而可得△OGC为含30°角的直角三角形，于是可利用三角函数求得CE的长。最后分别计算扇形ACE和圆O的面积，再利用几何问题的概率公式，即可得到答案.
22．（2025九下·青羊月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
23．（2025九下·青羊月考）如图，在中，，是一条角平分线，E为上一点，，连接交于点F，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
24．（2025九下·青羊月考）眼睛是心灵的窗户，其让“窗”蒙尘，倡导学生爱眼护眼，用明亮双眸，探索知识海洋，为保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用元和元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为元时，可以卖出台，每涨价元，则每天少售出台，求每台型护眼灯涨价多少元时，销售利润最大，最大为多少？
【答案】（1）解：设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是原方分式方程的解，
(元)，
答：型护眼灯的价格为每台元，型护眼灯的价格为每台元.
（2）解：设每台型护眼灯涨价元时，销售利润为w元，由题意得：
，
，
，
∵a=-2<0，
∴当y=15时，二次函数有最大值，最大值为1250.
即涨价元时销售利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，根据题意得等量关系：元购买A型护眼灯的数量=元购进型护眼灯的数量，据此列分式方程并求解即可；
（2）设每台型护眼灯涨价元时，销售利润为w元，根据“总利润=单件的利润×销售量”，可得二次函数，整理并化成顶点式，于是可利用二次函数的性质得到利润最大时护眼灯的涨价情况．
（1）解：设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，
根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方分式方程的解，
，
答：型护眼灯的价格为每台元，型护眼灯的价格为每台元；
（2）解：设每台型护眼灯涨价元时，销售利润最大，
则最大利润为，
整理得：，
可得：，
当涨价元时销售利润最大，最大利润为元．
25．（2025九下·青羊月考）如图1，抛物线顶点坐标为，直线与抛物线交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C．
（1）若点A的横坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）条件下，点M为直线上方的抛物线上一点．若，求点M的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点，直线，分别交抛物线于点M，N．求证：直线恒过一个定点．
【答案】（1）解：∵抛物线C1的顶点坐标为（-3，m），解析式为，
，
∴.
∵y=x和抛物线相交于点A，B，且点A的横坐标为-5，
∴，
代入可得，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由可得，
或，
∴，
当x=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴.
设直线上方抛物线上的点M坐标为，(t<-5或t>3)，过M点作y轴的平行线交直线于点N，如图所示：则，
∴.
∴．
整理得，
解得．
故点M的坐标为或．
（3）解：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，∴抛物线的解析式为，
∴联立直线与抛物线可得：，
∴，
∴，
∵，可设直线的解析式为，设直线的解析式为，
由得，，
∴，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
设直线的解析式为，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴令时，则有，y=0.
∴直线经过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的图象共存判断；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点坐标公式可得b的值，由直线解析式求得A点的坐标，然后抛物线解析式，即可求得c的值，于是可确定抛物线的解析式；
（2）联立解析式可确定点B的坐标，令x=0可确定点C的坐标，利用坐标系中三角形面积的求法和 可确定△ABM的面积；设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，可确定MN的长，再根据三角形面积求法即可确定的t的值，于是M点的坐标可求出；
（3）先求出抛物线的解析式为，由，可得，设直线的解析式为，设直线的解析式为，联立可得，，相加并整理，通过整理可得，设直线的解析式为，由，求出m和n的关系，即可确定直线经过的定点．
（1）解：由题意可得抛物线解析式为，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，解得或，
∴，
把代入，可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得．
故点M的坐标为或．
（3）解：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴联立直线与抛物线可得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴令时，则有，
∴直线经过定点．
26．（2025九下·青羊月考）在 中， 点 是边 上一点， 连接 平分， 将线段 绕点 逆时针旋转得线段．
（1）如图 1， 在线段 上时， 若， 求 的长；
（2）如图 2， 若 与点 重合， 点 分别为线段 上的点， 点 分别为 的中点，点 在 的延长线上， 且， 求证：；
（3）如图 3， 若射线 过 中点，将沿翻折到同一平面内得到，过作垂直于直线，交直线于点，当与 的乘积最大时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：过点作DF⊥BC于点F，如图所示：
∵平分，∠BAC=90°，DF⊥BC，
∴，
∵，DC绕点D逆时针旋转到线段DE，
∴，
∴.
∵在中，∠DFC=90°，
.
∵，，
∴，
∴，即
∴.
（2）证明：连接，并延长到点Q，使HQ=DH，连接、，如图所示：
∵点M为GD的中点，点H为DQ的中点，
∴MH为△DGQ的中位线，
∴GQ=2MH.
∵平分，
∴.
∵点是中点，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，，
∵点与点重合，DE=DC，
∴，
∴，.
∴，
∴，
∵，
∴.
在和中
∵
∴，
∴.
（3）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）连接、，过点作DM⊥BC于点M，延长交于点，如图所示：
∵ 将沿 翻折到同一平面内得到，
∴DN⊥BB'，，.
∵，
∴，，
∵，
∴，即∠BB'C=90°，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴当的面积最大时，与的乘积也最大，此时的面积也最大.
∵，是定长，
∴H'B为高，且时的面积最大.
∵，，
∴△B'BC和△BNH都为等腰直角三角形，
∴，，
∴.
∵，，
∴，
设，则HM=DM=x.
∵DM⊥MC，
∴Rt△DMC中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）过点作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理求出CF的长，证出，即可求出的长度；
（2）连接，并延长到点Q，使HQ=DH，连接、，利用SAS证明，推出，，结合等腰三角形的性质可证明，于是可得，再利用SAS证明，即可证出；
（3）连接、，过点作DM⊥BC于点M，延长交于点，根据折叠的性质可得DN⊥BB'，，，根据，可证得，继而可得，再利用平行线之间的距离处处相等得到，由△DB'C的面积公式得当的面积最大时，与的乘积最大，此时的也面积最大.根据是定长，推出H'B为高，且时的面积最大. 此时可证明△B'BC和△BNH都为等腰直角三角形，设，根据，，即可求出的值，利用勾股定理分别求出、的长度，即可求出的长度，再利用勾股定理即可求出的值．
（1）解：过点作的垂线，交于点，如图所示
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：连接，并延长使得，连接、，如图所示：
∵点是中点，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，，
∵点与点重合，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
∵点是中点、点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
（3）解：连接、，过点作垂线，交于点，延长交于点，如图所示：
∵ 将沿 翻折到同一平面内得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与的乘积最大时，的面积最大，即的面积最大，
∵是定长，
∴以为底，时的面积最大，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
1 / 1四川省成都市青羊实验中学2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题
1．（2025九下·青羊月考）有理数的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
2．（2025九下·青羊月考）如图是6个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看到的该几何体的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·青羊月考）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·青羊月考）学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
课外书数量（本） 6 7 9 12
人数 6 7 7
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．8，9 B．，9 C．7， D．9，9
5．（2025九下·青羊月考）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·青羊月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·青羊月考）如图，射线，切于点A，B，直线切于点C，交于点D，交于点E，若的周长是，则的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·青羊月考）已知二次函数的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．关于x的方程的两根是
C．当时，y随x的增大而减小
D．
9．（2025九下·青羊月考）已知，则的值是　 　．
10．（2025九下·青羊月考）已知反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，则a的取值范围为　 　．
11．（2025九下·青羊月考）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为　 　．
12．（2025九下·青羊月考）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若的面积是3，则的面积是　 　．
13．（2025九下·青羊月考）如图所示，在中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点D和E，再以点C为圆心，长为半径画弧交于点F，最后以F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点M，若，则　 　．
14．（2025九下·青羊月考）（1）计算：
（2）解不等式
15．（2025九下·青羊月考）某学校为了了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次测试共调查了 ___________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为 ___________；
（4）若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？
16．（2025九下·青羊月考）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据：，，，）
（1）求点到地面的高度；
（2）若挖掘机能挖的最远处点，此时，求点到点的距离．
17．（2025九下·青羊月考）如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
18．（2025九下·青羊月考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2；
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
（3）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
19．（2025九下·青羊月考）化简：　 　．
20．（2025九下·青羊月考）关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则m值为　 　．
21．（2025九下·青羊月考）如图，正六边形内接于，以点A为圆心，的长为半径作弧，得，连接，．已知的半径为2，若任意在内取点，则这个点取在阴影部分的概率为　 　．
22．（2025九下·青羊月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为　 　．
23．（2025九下·青羊月考）如图，在中，，是一条角平分线，E为上一点，，连接交于点F，若，，则　 　．
24．（2025九下·青羊月考）眼睛是心灵的窗户，其让“窗”蒙尘，倡导学生爱眼护眼，用明亮双眸，探索知识海洋，为保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用元和元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为元时，可以卖出台，每涨价元，则每天少售出台，求每台型护眼灯涨价多少元时，销售利润最大，最大为多少？
25．（2025九下·青羊月考）如图1，抛物线顶点坐标为，直线与抛物线交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C．
（1）若点A的横坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）条件下，点M为直线上方的抛物线上一点．若，求点M的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点，直线，分别交抛物线于点M，N．求证：直线恒过一个定点．
26．（2025九下·青羊月考）在 中， 点 是边 上一点， 连接 平分， 将线段 绕点 逆时针旋转得线段．
（1）如图 1， 在线段 上时， 若， 求 的长；
（2）如图 2， 若 与点 重合， 点 分别为线段 上的点， 点 分别为 的中点，点 在 的延长线上， 且， 求证：；
（3）如图 3， 若射线 过 中点，将沿翻折到同一平面内得到，过作垂直于直线，交直线于点，当与 的乘积最大时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：A、∵-5+≠0，∴-5不是的相反数，故此选项不符合题意；
B、∵-+=0，∴-是的相反数，故此选项符合题意；
C、∵5+≠0，∴5不是的相反数，故此选项不符合题意；
D、∵+≠0，∴不是的相反数，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为零，结合有理数的加法法则逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的该几何体的形状图是：
，
故答案为：C．
【分析】根据所给几何体从正面看到的形状画图即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原式计算正确，故选项B符合题意；；
C．，原式计算错误，故选项C不符合题意；
D．，原式计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，单项式除以单项式法则，平方差公式和完全平方公式逐一计算并判断即可．
4．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格数据可知：众数为9，中位数为，
故选：D.
【分析】根据中位数和众数的定义“按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）是中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数值”解答即可．
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴DC//AB，DC=AB，
∴△EDF∽△EAB，
∵.
∵，
∴.
∴点F为CD的中点.
∴DF=CF，
又∵EF=BF，
∴四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴，AE//BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质可得△EDF∽△EAB，添加条件后可得，继而可得DF=CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论并判断选项A；
利用平行四边形的性质可得，添加条件，可证明，利用对边平行的四边形是平行四边形可得结论并判断选项B；
利用平行四边形的性质可得，AE//BC，添加条件 ，可证明，利用对边平行的四边形是平行四边形可得结论并判断选项C；
添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意．
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
7．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵射线，切于点A，B，
∴，
∵直线切于点C，交于点D，交于点E，
∴，
∵的周长是，即PD+PE+DE=12 cm，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】由切线长定理得，，，由的周长是，可推导出，即可求得PA的长．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由抛物线开口方向可知，由抛物线与y轴交点位置可知，
∴，A选项正确，不符合题意；
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴分别交于和，
∴方程的两根是，B选项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，变形可得，D选项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴是直线，故时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，C选项不正确，符合题意．
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向，对称轴，二次函数的对称性、y轴的交点与位置逐项判断解题．
9．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴.
故答案为：．
【分析】先根据平方与算术平方根的非负性求出，的值，再将，的值代入中进行计算即可.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，
∴反比例函数中，得，
解得，
故答案为：
【分析】在反比例函数y=中，当k＞0时，双曲线位于一三象限，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于二四象限，在每个象限内，y都随x的增大而增大；据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出菱形的边长，然后利用面积法求出菱形的高即可．
12．【答案】12
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：，
，
与位似，
，，
，
，
，
的面积是3，
的面积是12，
故答案为：12．
【分析】根据位似可得，，进而得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
13．【答案】6
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可得：∠B=∠ACM，
∵∠A=∠A，
∴△ACM∽△ABC，
∴，
∴，
∴AC=6（舍负），
故答案为：6．
【分析】由作图得∠B=∠ACM，可证明△ACM∽△ABC，利用相似三角形的性质得，代入数值即可得到答案．
14．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，并计算特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后再进行加减计算即可得到答案；
（2）先求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．确定两个不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.
15．【答案】（1）50
（2）解：B等级的学生人数为：（名），
∴可补全条形统计图为：
（3）
（4）解：（名），
估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有72人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名），
故答案为：50；
（3）扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为：；
故答案为：；
【分析】（1）用A等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先用总人数减去其他各等级的人数计算出B等级的人数，即可补全统计统计图；
（3）用乘以样本中D等级的人数的占比即可得到对应的圆心角度数；
（4）用600乘以样本中D等级的人数的占比即可估算出大概的人数.
（1）解：（名），
所以本次测试共调查了50名学生；
故答案为：50名；
（2）解：B等级的学生人数为（名），
补全条形统计图为：
（3）解：扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为；
故答案为：；
（4）（名），
估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有72人．
16．【答案】（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）解：∵，∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作于点B，延长交于点A．即可得到是矩形．则，然后根据正弦的定义求出PM长，再根据线段的和差解答即可；
（2）根据勾股定理求出AM长，然后根据同角的余角相等得到．根据正切求出QB长，利用线段的和差解题．
（1）解：作于点B，延长交于点A．
∴．
∵，
∴．
由题意得：，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴．
答：点P到地面的高度约为；
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
答：Q点到N点的距离约为．
17．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=ABC，
∴∠ACO+∠ABC=90°，
∵ ∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACO+∠ACP=90°，即∠ACO=90°，
∴PC⊥OC.
∵OC为半径，
∴ PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵ ∠PCA＝∠ABC， ∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴；
∵CG⊥AB，
∴∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠CAD=∠DCB，
∴△CAD∽△BCD，
∴，
∴；
（3）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF=∠ABC，∠P=∠EAB.
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，
∴∠ACF=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF.
∵CF=5，
∴AF=5，
∵∠P=∠EAB，sin∠P=，
∴，
在Rt△AFD中，∵AF=5，
∴FD=3，AD=4，
∴CD=CF+FD=8.
由（2）得△CAD∽△BCD，
∴，即，
∴BD=16，
∴AB=AD+BD=20.
∵，
∴BE=12．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACO+∠OCB=90°，由于OC=OA，证得∠OCB=ABC，结合∠PCA＝∠ABC，可得∠ACO+∠ACP=90°，即可根据切线的判定定理得到结论；（2）证明△PCA∽△PBC，可得；证明△CAD∽△BCD，可得，等量代换即可得到结论；
（3）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF=∠ABC，∠P=∠EAB.根据垂径定理得∠ACF=∠ABC，于是可证明CF=AF，可得AF长，由sin∠P=，得，于是可在Rt△AFD中利用勾股定理求出FD和AD的长，继而可得CD=8.由△CAD∽△BCD，根据相似三角形的性质得，代入数据计算BD长，继而可得AB长，代入三角函数即可求出BE长.
18．【答案】（1）解：设点A的坐标为，点B的坐标为（2，s），
把点A，B的坐标代入，可得：
k=-4t=2s，
∴s=-2t，即B，
将点A，B的坐标分别代入，得
，
解得，
∴，.
故
（2）解：由（1）可得，k=12，b=3，
∴直线的函数表达式为，抛物线的解析式为.
∵直线与直线交于点M，可设，
①当点M在线段上时，过点A作AP//x轴，过点B作BP⊥x轴，AP与BP相交于点P，过点M作MQ⊥AP于点D，如图：
∴MQ//BP，Q(m，﹣4)，P(2，﹣4)，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：.
∴点M的坐标为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
由可得：
，或（舍去），
∴点C的坐标为；
②当点M在线段BA的延长线上时，过点M作MP//x轴，过点B作BP⊥x轴，MP与BP相交于点P，过点A作AD⊥MP于点D，如图：
∴AD//BP，，，
∴，，
∵，AD//BP，
∴，即，
∴，
∴点M的坐标为，
∴直线CM的解析式为，
由可得：
，或（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③当点M在线段BA的延长线上时，BM综上所述，点C的坐标为 或
（3）解：∵ 点C在反比例函数第一象限内的图象上， 可设，且，
①当为矩形的边，AB⊥BC时，
∵直线AB的解析式为，
可设直线BC的解析式为：.
把点B坐标代入可得，
解得：，
∴.
由得：（舍），.
故.
②当为矩形的边，AB⊥AC时，点C不在第一象限，故舍去；
③当为矩形的对角线，AC⊥BC时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
∴∠BQC=∠CPA=90°，
∴∠QBC+∠QCB=90°=∠QCB+∠ACP，
∴∠QBC=∠ACP，
∴△ACP∽△CBQ，
∴.
∵，，且，.
∴，.
∴AP=n+4，BQ=n－2，，.
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，求出t，b的值，即可得到结论；
（2）求得直线和抛物线的解析式，设．再分①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③当点M在线段BA的延长线上时三种情况，由平分线分线段成比例和，得到关于m的方程，求解即可；
（3）设点C的坐标为，且，再分①当为矩形的边，AB⊥BC时；②当为矩形的对角线，AB⊥AC时，③当为矩形的对角线，AC⊥BC时，等三种情况分别求解即可．
（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，分别过点A、B作x轴和y轴的平行线，交于一点N，过点M作于点D，如图，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴，
同理①，得，
解得，
∴点M的坐标为，
同理可得：直线的解析式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）解：设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
化简，得，
解得，（与点B重合，舍去），
∴点；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
同理①可得：，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
；
故答案为：．
【分析】根据异分母分式的加减运算法则进行求解即可．
20．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，，，
∴，，即.
∵，
∴，
整理得：
解得：（不符合题意，舍去），
∵m<1，
∴；
故答案为：．
【分析】由题意易得，，然后根据，和 解答即可．
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形；几何概率
【解析】【解答】解：连接EC，OC，过点O作OG⊥CE于点G，如图所示：
∵ 正六边形内接于，
∴，
∴，即，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠ACE=∠AEC=60°.
∵△ACE为 的内接正三角形，OG⊥EC于点G，O为圆心，
∴EG=CG，OC平分∠ACE，
∴∠ACO=∠ECO=30°，
∴，.
∴，
∴这个点取在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【分析】连接EC，OC，过点O作OG⊥CE于点G，证明三角形ACE为的内角正三角形，再结合垂径定理得EG=CG，OC平分∠ACE，继而可得△OGC为含30°角的直角三角形，于是可利用三角函数求得CE的长。最后分别计算扇形ACE和圆O的面积，再利用几何问题的概率公式，即可得到答案.
22．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
23．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
24．【答案】（1）解：设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是原方分式方程的解，
(元)，
答：型护眼灯的价格为每台元，型护眼灯的价格为每台元.
（2）解：设每台型护眼灯涨价元时，销售利润为w元，由题意得：
，
，
，
∵a=-2<0，
∴当y=15时，二次函数有最大值，最大值为1250.
即涨价元时销售利润最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，根据题意得等量关系：元购买A型护眼灯的数量=元购进型护眼灯的数量，据此列分式方程并求解即可；
（2）设每台型护眼灯涨价元时，销售利润为w元，根据“总利润=单件的利润×销售量”，可得二次函数，整理并化成顶点式，于是可利用二次函数的性质得到利润最大时护眼灯的涨价情况．
（1）解：设每台型护眼灯的价格为元，则每台型护眼灯的价格为元，
根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方分式方程的解，
，
答：型护眼灯的价格为每台元，型护眼灯的价格为每台元；
（2）解：设每台型护眼灯涨价元时，销售利润最大，
则最大利润为，
整理得：，
可得：，
当涨价元时销售利润最大，最大利润为元．
25．【答案】（1）解：∵抛物线C1的顶点坐标为（-3，m），解析式为，
，
∴.
∵y=x和抛物线相交于点A，B，且点A的横坐标为-5，
∴，
代入可得，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由可得，
或，
∴，
当x=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴.
设直线上方抛物线上的点M坐标为，(t<-5或t>3)，过M点作y轴的平行线交直线于点N，如图所示：则，
∴.
∴．
整理得，
解得．
故点M的坐标为或．
（3）解：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，∴抛物线的解析式为，
∴联立直线与抛物线可得：，
∴，
∴，
∵，可设直线的解析式为，设直线的解析式为，
由得，，
∴，
∴，
由得，，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
设直线的解析式为，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴令时，则有，y=0.
∴直线经过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的图象共存判断；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点坐标公式可得b的值，由直线解析式求得A点的坐标，然后抛物线解析式，即可求得c的值，于是可确定抛物线的解析式；
（2）联立解析式可确定点B的坐标，令x=0可确定点C的坐标，利用坐标系中三角形面积的求法和 可确定△ABM的面积；设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，可确定MN的长，再根据三角形面积求法即可确定的t的值，于是M点的坐标可求出；
（3）先求出抛物线的解析式为，由，可得，设直线的解析式为，设直线的解析式为，联立可得，，相加并整理，通过整理可得，设直线的解析式为，由，求出m和n的关系，即可确定直线经过的定点．
（1）解：由题意可得抛物线解析式为，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，解得或，
∴，
把代入，可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得．
故点M的坐标为或．
（3）解：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴联立直线与抛物线可得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴令时，则有，
∴直线经过定点．
26．【答案】（1）解：过点作DF⊥BC于点F，如图所示：
∵平分，∠BAC=90°，DF⊥BC，
∴，
∵，DC绕点D逆时针旋转到线段DE，
∴，
∴.
∵在中，∠DFC=90°，
.
∵，，
∴，
∴，即
∴.
（2）证明：连接，并延长到点Q，使HQ=DH，连接、，如图所示：
∵点M为GD的中点，点H为DQ的中点，
∴MH为△DGQ的中位线，
∴GQ=2MH.
∵平分，
∴.
∵点是中点，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，，
∵点与点重合，DE=DC，
∴，
∴，.
∴，
∴，
∵，
∴.
在和中
∵
∴，
∴.
（3）
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）连接、，过点作DM⊥BC于点M，延长交于点，如图所示：
∵ 将沿 翻折到同一平面内得到，
∴DN⊥BB'，，.
∵，
∴，，
∵，
∴，即∠BB'C=90°，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴当的面积最大时，与的乘积也最大，此时的面积也最大.
∵，是定长，
∴H'B为高，且时的面积最大.
∵，，
∴△B'BC和△BNH都为等腰直角三角形，
∴，，
∴.
∵，，
∴，
设，则HM=DM=x.
∵DM⊥MC，
∴Rt△DMC中，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴.
【分析】（1）过点作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到，利用勾股定理求出CF的长，证出，即可求出的长度；
（2）连接，并延长到点Q，使HQ=DH，连接、，利用SAS证明，推出，，结合等腰三角形的性质可证明，于是可得，再利用SAS证明，即可证出；
（3）连接、，过点作DM⊥BC于点M，延长交于点，根据折叠的性质可得DN⊥BB'，，，根据，可证得，继而可得，再利用平行线之间的距离处处相等得到，由△DB'C的面积公式得当的面积最大时，与的乘积最大，此时的也面积最大.根据是定长，推出H'B为高，且时的面积最大. 此时可证明△B'BC和△BNH都为等腰直角三角形，设，根据，，即可求出的值，利用勾股定理分别求出、的长度，即可求出的长度，再利用勾股定理即可求出的值．
（1）解：过点作的垂线，交于点，如图所示
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：连接，并延长使得，连接、，如图所示：
∵点是中点，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，，
∵点与点重合，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
∵点是中点、点是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
（3）解：连接、，过点作垂线，交于点，延长交于点，如图所示：
∵ 将沿 翻折到同一平面内得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与的乘积最大时，的面积最大，即的面积最大，
∵是定长，
∴以为底，时的面积最大，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
1 / 1

展开更多......

收起↑