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广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级下学期数学第二次联考试卷
1．（2025九下·福田月考）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A．-2025 B． C．2025 D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：2025的相反数是-2025
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．（2025九下·福田月考）DeepSeek－V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得；
将6710亿用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025九下·福田月考）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与(m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
4．（2025九下·福田月考）在学行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行。已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠CEF=120°
∴∠HFB=180°-∠GFH-∠BFE=20°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得∠BFE=∠CEF=120°，再根据补角即可求出答案.
5．（2025九下·福田月考）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，故A选项正确，不符合题意；
8环出现次数最多，有18次，故众数为8，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：
，故C选项正确，不符合题意；
这组数据的极差为：，故D选项不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义即可求出答案.
6．（2025九下·福田月考）实数定义新运算“”如下：，例如，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
∵
∴方程没有实数根
故答案为：D
【分析】根据新定义可得，再根据，则方程无实数根.
7．（2025九下·福田月考）如图，在平行四边形ABCD中，以为圆心，AB长为半径画弧交AD于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接AG并延长交BC于点，连接BF交AE于点，过点作于点．若，则（　　）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE=∠BAE
∴AF=AB，EF=EB
∵AD∥BC
∴∠FAE=∠AEB
∴∠AEB=∠BAE
∴BA=BE
∴BA=BE=AF=FE
∴四边形ABEF是菱形
∴BD⊥AO，，AB=4
∴
∴
∵四边形ABEF是菱形
∴，BE=AB=4
∵
∴
故答案为：C
【分析】由作图可得，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE=∠BAE，则AF=AB，EF=EB，根据直线平行性质可得∠FAE=∠AEB，根据等角对等边可得BA=BE，再根据菱形判定定理可得四边形ABEF是菱形，则BD⊥AO，，AB=4，根据勾股定理可得AO，则，再根据菱形面积可得，BE=AB=4，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025九下·福田月考）如图，在等边中，过点作射线，点分别在边上，将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处，连接。已知。给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时．；④当最短时．．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴NB=NB'
∴CN=NB'=CN+NB=BC
∵△ABC是等边三角形，AB=2
∴BC=2
∴CN+NB'=BC=2，故①正确
∵∠NB'C=30°，∠B'CN=90°
∴∠B'NC=60°
∴∠BNB'=120°
∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴∠BNM=∠MNB'=60°，BM=B'M，BN=B'N
∵∠B=60°
∴△BMN是等边三角形
∴BM=BN
∴B'M=BM=BN=B'N
∴四边形BMB'N是菱形，故②正确
当点N与C重合时，如图
∵∠ACB=60°，∠DCB=90°
∴∠ACD=30°
∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴AC=BC=B'C，∠MB'C=∠B=60°
∴
∴∠AB'M=∠AB'C-∠MB'C=15°，故③错误
当AB'最短时，∠AB'C=90°，过点M作KT⊥BC于点T，交B'A延长线与于点K
∵∠ACB'=∠BCB'=∠BCA=30°
∴，∠B'AC=60°
设BN=B'N=x，则CN=2-x
在Rt△B'CN中，B'N2=CN2+B'C2
∴
解得：
∴
∵∠AB'C=90°=∠BCB'
∴AB'∥BC
∴KT⊥AB'
∴∠K=90°
∵∠KAM=180°-∠BAC-∠B'AC=60°
∴∠KMA=30°
∴
设AM=y，则BM=2-y=B'M，AK=y，
∴
在Rt△B'KM中，B'K2+KM2=B'M2
∴
解得：
∴
在Rt△BMT中，∠B=60°
∴
∴
在Rt△MNT中
，故④正确
∴正确的有①②④
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得NB=NB'，再根据等边三角形性质可得BC=2，再根据边之间的关系可判断①；根据三角形内角和定理可得∠B'NC=60°，再根据折叠性质可得∠BNM=∠MNB'=60°，BM=B'M，BN=B'N，根据等边三角形判定定理可得△BMN是等边三角形，则BM=BN，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得∠ACD=30°，根据折叠性质可得AC=BC=B'C，∠MB'C=∠B=60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，则∠AB'M=∠AB'C-∠MB'C=15°，可判断③；当AB'最短时，∠AB'C=90°，过点M作KT⊥BC于点T，交B'A延长线与于点K，根据含30°角的直角三角形性质可得，∠B'AC=60°，设BN=B'N=x，则CN=2-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行性质可得∠K=90°，再根据角之间的关系可得∠KMA=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，设AM=y，则BM=2-y=B'M，AK=y，，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，再根据勾股定理可判断④.
9．（2025九下·福田月考）分解因式： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可，即 ．
【分析】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可.2 8有公因式2可提取，然后将（-4）用平方差公式分解即可。
10．（2025九下·福田月考）关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为　 　．
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴12+m+4=0，
解得：m=-5．
故答案是：-5．
【分析】根据关于x的一元二次方程的一个根是1，即可得出答案。
11．（2025九下·福田月考）太阳能是清洁，安全和可靠的能源。如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是AB的中点，．当太阳光与地面的夹角为已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为　 　cm；（结果精确到1cm；参考数据：）
【答案】24
【知识点】三角形内角和定理；补角；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E
∴∠CEB=90°
由题意可得：∠ABD=180°-53°-90°=37°
∴∠BCE=90°-∠CBE=53°
∵点C是AB的中点，AB=80
∴
在Rt△BCE中，
故答案为：24
【分析】过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据补角可得∠ABD=180°-53°-90°=37°，再根据三角形内角和定理可得∠BCE=90°-∠CBE=53°，再根据线段中点可得，再根据余弦定义即可求出答案.
12．（2025九下·福田月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、（其中），点在以（3，3）为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接AP
∵，
∴AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t
∴AB=AC
∵∠BPC=90°
∴
要使t最小，则点A到上的一点的距离最小
∴点P在AD上
∵A(0，1)，D(3，3)
∴
∴t的最小值是
故答案为：
【分析】连接AP，根据两点间距离可得AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t，则AB=AC，根据直角三角形斜边上的中线可得，要使t最小，则点A到上的一点的距离最小，根据两点间距离可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025九下·福田月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与轴分别交于两点，对角线BD在轴上，反比例函数的图象过点并交AD于点，连接DF．若，且的面积为，则的值是　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N
∴AM∥NG，AM∥y轴
设点A(a，b)，则AM=b，OM=a
∴△DGN∽△DAM，
∴
∵
∴
∴
∵点A，G在反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∴
∴BD=OB+ON+DN=4a
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠OBF=∠GDN，
∵∠BOF=∠GND=90°
∴△BOF∽△DNG
∴，即
∴
∵
∴
解得：ab=6
∴k=ab=6
故答案为：6
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，则AM∥NG，AM∥y轴，设点A(a，b)，则AM=b，OM=a，根据相似三角形判定定理可得△DGN∽△DAM，，则，根据边之间的关系可得，则，将点A，G坐标代入反比例函数解析式可得，根据边之间的关系可得BD=OB+ON+DN=4a，再根据平行四边形性质可得∠OBF=∠GDN，，再根据相似三角形判定定理可得△BOF∽△DNG，则，代值可得，再根据三角形面积可得ab=6，即k=ab=6，即可求出答案.
14．（2025九下·福田月考）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
15．（2025九下·福田月考）先化简代数式 ，再从 四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：原式
，
由题意知， ，所以取 代入可得
原式 ，
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据公式法因式分解，将代数式化简，代入合适的值，求出答案即可。
16．（2025九下·福田月考）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计。根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）九年级（1）班的学生总数为 ▲ ；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为 ▲ °，的值为 ▲ ；
（4）如果选择类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 ▲
【答案】（1）40
（2）解：选择C类书籍的人数为：40-12-16-8=4人
补全图形如图所示
（3）108，40
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：九年级（1）班的学生总数为12÷30%=40人
故答案为：40
（3）的扇形圆心角度数为 20%×360°=108°
∴m=40
故答案为：108，；40
（4）画出树状图
共有12种等可能的结果，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的结果有8种
∴恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据A类的人数除以其占比即可求出答案.
（2）用总人数减去A，B，D类人数，可得C类人数，再补全图形即可求出答案.
（3）用360°乘以A的占比可得其所对圆心角，求出B类占比即可得m值.
（4）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．（2025九下·福田月考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）解：由题意可得：
总电费为：100×0.6=60元
∴每千米行驶费用为元
（2）①由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.1元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于5400km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）求出总电费，再根据每千米行驶费用=总费用÷续航里程即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每年行驶里程为，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025九下·福田月考）如图，AB是直径，点为劣弧中点，弦相交于点，点在AC的延长线上，DB，垂足为，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）当时，求的长度；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：连接BC，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
为直径
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知当时，
由弧长公式得的长度为．
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．（其他方法酌情给分）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的判定；求正切值
19．（2025九下·福田月考）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽MN，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度GE．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如图，以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度TE为6cm，求此时水面宽度PQ的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度 ▲ ．
【答案】解：问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，如图2：
瓷碗高度，碗口宽，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度，
由题意得：，
，
，
设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
问题2：碗中液面高度（离桌面MN距离）为，
这时液面的纵坐标为，
当时，，将y=7代入解析式即可求出答案.
解得，
则液面宽度为；
问题3：
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P
由题意可得：CD∥AB，OP=9
∴CD⊥y轴
∵∠OCS=45°
∴∠OSC=45°=∠OCS
∴OS=OC=8
∴PS=1
∴S(0，1)
设直线CH的解析式为y=kx+b
则，解得：
∴y=x+1
联立方程组
解得：或（舍）
∴H(0，1)
∴
故答案为：
【分析】问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，由题意得：，根据边之间的关系可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2：将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题意可得：CD∥AB，OP=9，根据角之间的关系可得∠OSC=45°=∠OCS，则OS=OC=8，根据边之间的关系可得S(0，1)，设直线CH的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(8，9)，(0，1)代入解析式可得y=x+1，联立抛物线解析式，解方程可得H(0，1)，再根据两点间距离即可求出答案.
20．（2025九下·福田月考）
（1）【问题发现】
如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，则BE与DG的数量关系是 ▲ ，请说明理由．
（2）【类比探究】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形矩形AEFG，”，如图，点三点共线，点在线段DE上时，若，求BE的长．
（3）【拓展延伸】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形菱形AEFG”，如图3，平分，点在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接，当时，直接写出AP的长．
【答案】（1）（或者“相等”），
理由如下，如图1，
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
，
，
，
（2）解：如图2，作AH⊥DE于H，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAC＝90°，
∵AE＝3，AG＝4
，
由得，
，
，
，
在Rt中，，
，
，
矩形矩形AEFG，
，
，
，
，
；
（3）2或11
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；角平分线的概念；相似比
【解析】【解答】解：（3）当点Q在AF上时，连接BD交AC于点T，作CH⊥AF，交AF的延长线于点H，作CR∥AG，交AF于点R
∵四边形ABCD是菱形
∴
∵菱形菱形AEFG
∴
∴∠DAC=∠GAF
∴∠DAG=∠CAF
∵AG平分∠DAC
∴
∴
∴∠DAC=∠GAF
∴△DAT∽△PAQ
∴∠PQA=∠ATD=90°
∴
∵
∴∠PAQ=∠PQC
∴∠CQH=∠APQ
∴tan∠CQH=tan∠APQ
∴
设CH=4x，QH=3x
构造三角形，如图
令，则
∴
∴
∴
∵
∴，即
∴AH=2CH=8x
∴，解得：
∴
∴AP=2
当点Q在AF的延长线上时
由上可知，AQ=3x+8x=11x
∴
∴AP=11
综上所述，AP=2或11
【分析】（1）根据正方形性质可得，根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）作AH⊥DE于H，根据矩形性质可得∠EAC＝90°，根据勾股定理可得EG=5，再根据三角形面积可得AH，根据勾股定理可得GH。DH，再根据边之间的关系可得DG，再根据相似图形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点Q在AF上时，连接BD交AC于点T，作CH⊥AF，交AF的延长线于点H，作CR∥AG，交AF于点R，根据菱形性质可得，再根据相似图形性质可得，则∠DAG=∠CAF，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠DAC=∠GAF，再根据相似三角形判定定理可得△DAT∽△PAQ，则∠PQA=∠ATD=90°，再根据正切定义可得，设CH=4x，QH=3x，构造三角形，令，则，化简可得，根据勾股定理可得c，再根据正切定义可得，则AH=2CH=8x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则AP=2；当点Q在AF的延长线上时，由上可知，AQ=3x+8x=11x，则，即AP=11，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市福田区2024-2025学年九年级下学期数学第二次联考试卷
1．（2025九下·福田月考）2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A．-2025 B． C．2025 D．
2．（2025九下·福田月考）DeepSeek－V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·福田月考）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与(m，n为常数，)的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．（2025九下·福田月考）在学行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行。已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·福田月考）一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．极差是14
6．（2025九下·福田月考）实数定义新运算“”如下：，例如，则方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．（2025九下·福田月考）如图，在平行四边形ABCD中，以为圆心，AB长为半径画弧交AD于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接AG并延长交BC于点，连接BF交AE于点，过点作于点．若，则（　　）
A．15 B． C． D．
8．（2025九下·福田月考）如图，在等边中，过点作射线，点分别在边上，将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处，连接。已知。给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时．；④当最短时．．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①②③④ C．①③④ D．①②
9．（2025九下·福田月考）分解因式： =　 　．
10．（2025九下·福田月考）关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为　 　．
11．（2025九下·福田月考）太阳能是清洁，安全和可靠的能源。如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点是AB的中点，．当太阳光与地面的夹角为已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为　 　cm；（结果精确到1cm；参考数据：）
12．（2025九下·福田月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、（其中），点在以（3，3）为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，则的最小值是　 　.
13．（2025九下·福田月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与轴分别交于两点，对角线BD在轴上，反比例函数的图象过点并交AD于点，连接DF．若，且的面积为，则的值是　 　.
14．（2025九下·福田月考）计算：．
15．（2025九下·福田月考）先化简代数式 ，再从 四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
16．（2025九下·福田月考）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计。根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）九年级（1）班的学生总数为 ▲ ；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为 ▲ °，的值为 ▲ ；
（4）如果选择类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 ▲
17．（2025九下·福田月考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
18．（2025九下·福田月考）如图，AB是直径，点为劣弧中点，弦相交于点，点在AC的延长线上，DB，垂足为，且．
（1）求证：BF是的切线；
（2）当时，求的长度；
（3）当时，求的值．
19．（2025九下·福田月考）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽MN，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度GE．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如图，以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度TE为6cm，求此时水面宽度PQ的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度 ▲ ．
20．（2025九下·福田月考）
（1）【问题发现】
如图1，将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，则BE与DG的数量关系是 ▲ ，请说明理由．
（2）【类比探究】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形矩形AEFG，”，如图，点三点共线，点在线段DE上时，若，求BE的长．
（3）【拓展延伸】
若将“正方形ABCD和正方形AEFG”改成“菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形菱形AEFG”，如图3，平分，点在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得，连接，当时，直接写出AP的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：2025的相反数是-2025
故答案为：A
【分析】根据相反数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得；
将6710亿用科学记数法表示为
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BFE=∠CEF=120°
∴∠HFB=180°-∠GFH-∠BFE=20°
故答案为：B
【分析】根据直线平行性质可得∠BFE=∠CEF=120°，再根据补角即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，故A选项正确，不符合题意；
8环出现次数最多，有18次，故众数为8，故B选项正确，不符合题意；
这组数据的平均数为：
，故C选项正确，不符合题意；
这组数据的极差为：，故D选项不正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数，平均数，极差的定义即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
，即
∵
∴方程没有实数根
故答案为：D
【分析】根据新定义可得，再根据，则方程无实数根.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE=∠BAE
∴AF=AB，EF=EB
∵AD∥BC
∴∠FAE=∠AEB
∴∠AEB=∠BAE
∴BA=BE
∴BA=BE=AF=FE
∴四边形ABEF是菱形
∴BD⊥AO，，AB=4
∴
∴
∵四边形ABEF是菱形
∴，BE=AB=4
∵
∴
故答案为：C
【分析】由作图可得，直线AE是线段BF的垂直平分线，∠FAE=∠BAE，则AF=AB，EF=EB，根据直线平行性质可得∠FAE=∠AEB，根据等角对等边可得BA=BE，再根据菱形判定定理可得四边形ABEF是菱形，则BD⊥AO，，AB=4，根据勾股定理可得AO，则，再根据菱形面积可得，BE=AB=4，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴NB=NB'
∴CN=NB'=CN+NB=BC
∵△ABC是等边三角形，AB=2
∴BC=2
∴CN+NB'=BC=2，故①正确
∵∠NB'C=30°，∠B'CN=90°
∴∠B'NC=60°
∴∠BNB'=120°
∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴∠BNM=∠MNB'=60°，BM=B'M，BN=B'N
∵∠B=60°
∴△BMN是等边三角形
∴BM=BN
∴B'M=BM=BN=B'N
∴四边形BMB'N是菱形，故②正确
当点N与C重合时，如图
∵∠ACB=60°，∠DCB=90°
∴∠ACD=30°
∵将沿MN折叠．使点落在射线CD上的点处
∴AC=BC=B'C，∠MB'C=∠B=60°
∴
∴∠AB'M=∠AB'C-∠MB'C=15°，故③错误
当AB'最短时，∠AB'C=90°，过点M作KT⊥BC于点T，交B'A延长线与于点K
∵∠ACB'=∠BCB'=∠BCA=30°
∴，∠B'AC=60°
设BN=B'N=x，则CN=2-x
在Rt△B'CN中，B'N2=CN2+B'C2
∴
解得：
∴
∵∠AB'C=90°=∠BCB'
∴AB'∥BC
∴KT⊥AB'
∴∠K=90°
∵∠KAM=180°-∠BAC-∠B'AC=60°
∴∠KMA=30°
∴
设AM=y，则BM=2-y=B'M，AK=y，
∴
在Rt△B'KM中，B'K2+KM2=B'M2
∴
解得：
∴
在Rt△BMT中，∠B=60°
∴
∴
在Rt△MNT中
，故④正确
∴正确的有①②④
故答案为：A
【分析】根据折叠性质可得NB=NB'，再根据等边三角形性质可得BC=2，再根据边之间的关系可判断①；根据三角形内角和定理可得∠B'NC=60°，再根据折叠性质可得∠BNM=∠MNB'=60°，BM=B'M，BN=B'N，根据等边三角形判定定理可得△BMN是等边三角形，则BM=BN，再根据菱形判定定理可判断②；当点N与C重合时，根据三角形内角和定理可得∠ACD=30°，根据折叠性质可得AC=BC=B'C，∠MB'C=∠B=60°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，则∠AB'M=∠AB'C-∠MB'C=15°，可判断③；当AB'最短时，∠AB'C=90°，过点M作KT⊥BC于点T，交B'A延长线与于点K，根据含30°角的直角三角形性质可得，∠B'AC=60°，设BN=B'N=x，则CN=2-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据直线平行性质可得∠K=90°，再根据角之间的关系可得∠KMA=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，设AM=y，则BM=2-y=B'M，AK=y，，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，则，再根据勾股定理可判断④.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可，即 ．
【分析】根据因式分解的步骤：一提（公因式）二套（公式）三查（是否分解彻底），可知先提公因式，然后根据平方差公式分解即可.2 8有公因式2可提取，然后将（-4）用平方差公式分解即可。
10．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，
∴12+m+4=0，
解得：m=-5．
故答案是：-5．
【分析】根据关于x的一元二次方程的一个根是1，即可得出答案。
11．【答案】24
【知识点】三角形内角和定理；补角；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥BD，垂足为E
∴∠CEB=90°
由题意可得：∠ABD=180°-53°-90°=37°
∴∠BCE=90°-∠CBE=53°
∵点C是AB的中点，AB=80
∴
在Rt△BCE中，
故答案为：24
【分析】过点C作CE⊥BD，垂足为E，根据补角可得∠ABD=180°-53°-90°=37°，再根据三角形内角和定理可得∠BCE=90°-∠CBE=53°，再根据线段中点可得，再根据余弦定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接AP
∵，
∴AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t
∴AB=AC
∵∠BPC=90°
∴
要使t最小，则点A到上的一点的距离最小
∴点P在AD上
∵A(0，1)，D(3，3)
∴
∴t的最小值是
故答案为：
【分析】连接AP，根据两点间距离可得AB=(1+t)-1=t，AC=1-(1-t)=t，则AB=AC，根据直角三角形斜边上的中线可得，要使t最小，则点A到上的一点的距离最小，根据两点间距离可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】反比例函数的性质；三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N
∴AM∥NG，AM∥y轴
设点A(a，b)，则AM=b，OM=a
∴△DGN∽△DAM，
∴
∵
∴
∴
∵点A，G在反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∴
∴BD=OB+ON+DN=4a
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠OBF=∠GDN，
∵∠BOF=∠GND=90°
∴△BOF∽△DNG
∴，即
∴
∵
∴
解得：ab=6
∴k=ab=6
故答案为：6
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，则AM∥NG，AM∥y轴，设点A(a，b)，则AM=b，OM=a，根据相似三角形判定定理可得△DGN∽△DAM，，则，根据边之间的关系可得，则，将点A，G坐标代入反比例函数解析式可得，根据边之间的关系可得BD=OB+ON+DN=4a，再根据平行四边形性质可得∠OBF=∠GDN，，再根据相似三角形判定定理可得△BOF∽△DNG，则，代值可得，再根据三角形面积可得ab=6，即k=ab=6，即可求出答案.
14．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
15．【答案】解：原式
，
由题意知， ，所以取 代入可得
原式 ，
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据公式法因式分解，将代数式化简，代入合适的值，求出答案即可。
16．【答案】（1）40
（2）解：选择C类书籍的人数为：40-12-16-8=4人
补全图形如图所示
（3）108，40
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：九年级（1）班的学生总数为12÷30%=40人
故答案为：40
（3）的扇形圆心角度数为 20%×360°=108°
∴m=40
故答案为：108，；40
（4）画出树状图
共有12种等可能的结果，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的结果有8种
∴恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据A类的人数除以其占比即可求出答案.
（2）用总人数减去A，B，D类人数，可得C类人数，再补全图形即可求出答案.
（3）用360°乘以A的占比可得其所对圆心角，求出B类占比即可得m值.
（4）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：由题意可得：
总电费为：100×0.6=60元
∴每千米行驶费用为元
（2）①由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.1元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于5400km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）求出总电费，再根据每千米行驶费用=总费用÷续航里程即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每年行驶里程为，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：连接BC，如图1所示，
点为劣弧中点，
，
，
为直径
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知当时，
由弧长公式得的长度为．
（3）解：如图2，作于点，
则，
由（1）得，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．（其他方法酌情给分）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；弧长的计算；角平分线的判定；求正切值
19．【答案】解：问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，如图2：
瓷碗高度，碗口宽，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗中盛满水时的最大深度，
由题意得：，
，
，
设抛物线的解析式为，将点的坐标代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
问题2：碗中液面高度（离桌面MN距离）为，
这时液面的纵坐标为，
当时，，将y=7代入解析式即可求出答案.
解得，
则液面宽度为；
问题3：
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P
由题意可得：CD∥AB，OP=9
∴CD⊥y轴
∵∠OCS=45°
∴∠OSC=45°=∠OCS
∴OS=OC=8
∴PS=1
∴S(0，1)
设直线CH的解析式为y=kx+b
则，解得：
∴y=x+1
联立方程组
解得：或（舍）
∴H(0，1)
∴
故答案为：
【分析】问题1：以碗底AB的中点为原点，以MN为轴，AB的中垂线FG为轴，建立平面直角坐标系，由题意得：，根据边之间的关系可得，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2：将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记y轴交HC于点S，交AB于点P，由题意可得：CD∥AB，OP=9，根据角之间的关系可得∠OSC=45°=∠OCS，则OS=OC=8，根据边之间的关系可得S(0，1)，设直线CH的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点(8，9)，(0，1)代入解析式可得y=x+1，联立抛物线解析式，解方程可得H(0，1)，再根据两点间距离即可求出答案.
20．【答案】（1）（或者“相等”），
理由如下，如图1，
四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
，
，
，
（2）解：如图2，作AH⊥DE于H，
∵四边形AEFG是矩形，
∴∠EAC＝90°，
∵AE＝3，AG＝4
，
由得，
，
，
，
在Rt中，，
，
，
矩形矩形AEFG，
，
，
，
，
；
（3）2或11
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；解直角三角形；角平分线的概念；相似比
【解析】【解答】解：（3）当点Q在AF上时，连接BD交AC于点T，作CH⊥AF，交AF的延长线于点H，作CR∥AG，交AF于点R
∵四边形ABCD是菱形
∴
∵菱形菱形AEFG
∴
∴∠DAC=∠GAF
∴∠DAG=∠CAF
∵AG平分∠DAC
∴
∴
∴∠DAC=∠GAF
∴△DAT∽△PAQ
∴∠PQA=∠ATD=90°
∴
∵
∴∠PAQ=∠PQC
∴∠CQH=∠APQ
∴tan∠CQH=tan∠APQ
∴
设CH=4x，QH=3x
构造三角形，如图
令，则
∴
∴
∴
∵
∴，即
∴AH=2CH=8x
∴，解得：
∴
∴AP=2
当点Q在AF的延长线上时
由上可知，AQ=3x+8x=11x
∴
∴AP=11
综上所述，AP=2或11
【分析】（1）根据正方形性质可得，根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）作AH⊥DE于H，根据矩形性质可得∠EAC＝90°，根据勾股定理可得EG=5，再根据三角形面积可得AH，根据勾股定理可得GH。DH，再根据边之间的关系可得DG，再根据相似图形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点Q在AF上时，连接BD交AC于点T，作CH⊥AF，交AF的延长线于点H，作CR∥AG，交AF于点R，根据菱形性质可得，再根据相似图形性质可得，则∠DAG=∠CAF，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得∠DAC=∠GAF，再根据相似三角形判定定理可得△DAT∽△PAQ，则∠PQA=∠ATD=90°，再根据正切定义可得，设CH=4x，QH=3x，构造三角形，令，则，化简可得，根据勾股定理可得c，再根据正切定义可得，则AH=2CH=8x，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则AP=2；当点Q在AF的延长线上时，由上可知，AQ=3x+8x=11x，则，即AP=11，即可求出答案.
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