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浙江省绍兴市新昌县部分学校2025年九年级中考一模数学试卷
1．（2025·新昌模拟）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·新昌模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·新昌模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·新昌模拟）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·新昌模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独做22天，剩下的由甲单独完成。问：甲、乙一共用几天可以完成全部工作 若设甲、乙一共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·新昌模拟）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
8．（2025·新昌模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·新昌模拟）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·新昌模拟） 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
11．（2025·新昌模拟）因式分解：3a2-6a=　 　．
12．（2025·新昌模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025·新昌模拟）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　．
14．（2025·新昌模拟）如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为　 　．
15．（2025·新昌模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是　 　．
16．（2025·新昌模拟）如图，在菱形中，点，分别在，上，沿翻折后，点落在边上的处.若，，，则的长为　 　.
17．（2025·新昌模拟）计算：．
18．（2025·新昌模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
19．（2025·新昌模拟）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若求菱形的面积．
20．（2025·新昌模拟）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为______，______．
（2）请补全条形统计图．
（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
21．（2025·新昌模拟）设函数，函数（，，b是常数，；
（1）若函数和函数的图象交于，两点．
①求函数，的表达式．
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
22．（2025·新昌模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
23．（2025·新昌模拟）二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
24．（2025·新昌模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时，　 　，点C到半圆O的最短距离=　 　；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-、-0.0是有理数；
、1.010010001（两个1之间依次多一个0）是无理数，符合题意；
0、3.1415926、30%是有理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a-a=2a≠2，此选项不符合题意；
B、a3·a2=a3+2=a5≠a6，此选项不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，此选项符合题意；
D、（2a2）3=8a6，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数字时，常把这个数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分的数位个数与1的差.
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
5．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，由题意得：
.
故答案为：A.
【分析】设甲、乙一共用x天完成，根据题中的相等关系“甲（x-22）天完成的工作量+乙x天完成的工作量=总工作量1”并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
7．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BD＝6＋10＝16（cm），AD＝20cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，AC＝10＋20＝30（cm），BC＝6cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BE＝20＋6＝26（cm），AE＝10cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
∵，
∴需要爬行的最短距离是cm.
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再将长方体展开，再利用勾股定理分别求出AB的长，最后比较大小即可.
9．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，
，
，，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，即可得到，从而求出，再根据正切求出AD长解答即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A=90°，
∵ AB=6，AD=8，
∴ BD=10，
∵ 折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，
∴ AD=A'D=6，AG=A'G，且∠DA'G=∠A=90°，
∴ S△ABD=S△ADG+S△DBG，
即，
∴ AG=A'G=3，
∴ S△DBG=.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠A=90°，根据勾股定理求得BD的长，再根据翻折的性质可得 AD=A'D=6，AG=A'G，且∠DA'G=∠A=90°，根据S△ABD=S△ADG+S△DBG求出AG，再根据三角形的面积公式计算即可.
11．【答案】3a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-6a=3a（a-2）．
故答案为：3a（a-2）
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≥0且x-1≠0，
解得：x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件“被开方式非负、分母不为0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
13．【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由-1、0、2 这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标有：
（-1，0）、（-1，2）、（0，-1）、（0，2）、（2，-1）、（2，0），
其中在坐标轴上的点有：（-1，0）、（0，-1）、（0，2）、（2，0），
∴P（点在坐标轴上）==.
故答案为：.
【分析】由题意，先将所有的点的坐标表示出来，根据坐标轴上的点的坐标特征“有一个坐标为0”找出在坐标轴上的点，然后根据概率公式计算即可求解.
14．【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：6．
【分析】根据平移的性质，求出和的长度，根据矩形的面积计算解题．
15．【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH为平行四边形，
∴GH=BE=4.
由折叠可得GE=BE=4，
∴BH=GE=4.
∵DG=3，
∴DH=DG+GH=3+4=7.
∵BH2+CH2=BC2，CH=7-CD=7-AB，
∴42+(7-AB)2=AB2，
∴AB=，
∴AE=AB-BE=-4=.
故答案为：.
【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则BH∥EG，由菱形的性质可得AB∥CD，AB=BC=CD，推出四边形BEGH为平行四边形，得到GH=BE=4，由折叠可得GE=BE=4，则BH=GE=4，DH=DG+GH=7，然后在Rt△BCH中，由勾股定理求出AB的值，再根据AE=AB-BE进行计算.
17．【答案】解：原式=4-（-1）-1+2×+
=4-+1-1++
=.
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-1）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-2=4；由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
18．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=42-4×1×（m-1）＞0，
解得：m＜5，
∵m为整数，
∴或2或3……；
（2）解：当m=1时，
∵α、β是（1）中方程的两个实数根，
∴α+β=-4，αβ=0，
∴α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ=（-4）2-0=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于m的不等式，解不等式求得m的范围，并结合m为整数可得m的值（答案不唯一）；
（2）由一元二次方程的根于系数的关系可得α+β和αβ的值，根据完全平方公式将所求代数式变形得：α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ，再整体代换计算即可求解.
19．【答案】（1）证明：因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为是中线，所以，
因为，所以，∴，
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形.
（2）解：连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为是中线，所以，
因为，所以，
因为四边形是菱形，所以菱形的面积=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质，得到，再由SAS，证得，结合直角三角形斜边中线性质，得出，证得，得出，进而证得四边形为菱形；
（2）根据平行四边形的判定方法，证得四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，结合菱形的面积公式，即可求解．
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积=．
20．【答案】（1）150人，
（2）补全图形见解析
（3）3500人．
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
21．【答案】（1）解：①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②＜
（2）解：由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②如图，
由图知，当时，；
【分析】（1）①根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得函数的表达式为，再将点A代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
②画出函数图象，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
（1）①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②如图，
由图知，当时，；
（2）由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
22．【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，代值计算即可求出答案.
（2）过点作交于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，四边形为平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（1）由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
23．【答案】（1）解：①依题意，，解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①由题意可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；
②把①中求得的b、c的值代入二次函数的解析式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的开口向上，对称轴为直线x = -1，可知，当x < -1时，y随x的增大而减小；当x > -1时，y随x的增大而增大；于是可分三种情况讨论：当t+2≤-1，即t≤-3时，x=-2和x=t时，函数值最大和最小；当t<-1时，无解；当t≥-1时，x=-2时，函数值最小，x=t时，函数值最大；
（2）由题意，将点A、B的坐标代入二次函数的解析式，并结合已知条件整理即可求解.
24．【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接OC，
在Rt△ACD中，∠DAC=37°，AC=10，
∴sin∠DAC===0.6，
解得：CD=6，
在Rt△OCD中，OD=，
∴tan∠OCD==，
∴∠OCD=30°；
∴OC=2OD=4，
∴点C到半圆O的最短距离OE=OC-OE=4-2=2.
故答案为：第一空，30°；第二空，2；
（4）如图，
当⊙O1与AC相切于点M1时，O1M1⊥AC，⊙O1与△ABC有一个公共点，
由（2）得，O1M1=3；
当⊙O1与BC相切于点M2时，O2M2⊥BC，⊙O1与△ABC有三个公共点，
∴O2M2=CD=6；
当圆心O在O1与O2之间时，半圆O与△ABC有两个公共点，
∴3＜OD＜6；
当圆心O在点A与O2之间时，此时⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
当⊙O经过点B时，⊙O与△ABC有三个公共点，如图，
∵OB2=OA2+AB2，OB=OD，OA=8-OD，
∴OD2=（8-OD）2+62，
解得：OD=，
∴当OD=时，⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
∴当＜OD≤8时，⊙O与△ABC有两个或两个公共点，
综上可得，当半圆O与△ABC有两个公共点时，OD的取值范围为＜OD≤8或3＜OD＜6.
故答案为：＜OD≤8或3＜OD＜6.
【分析】（1）在Rt△ACD中，用锐角三角函数sin∠DAC=求出CD的值，在Rt△OCD中，用锐角三角函数tan∠OCD=求出tan∠OCD的值，然后根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）当半圆O与AC相切时，设切点为N，连接ON，OC，如图，由切线长定理可得CD=CN，由线段的和差AN=AC-CN求出AN的值，设OD=ON=r，在Rt△ACD中，用勾股定理求出AD的值，由线段的和差将AO用含r的代数式表示出来，在Rt△AON中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
（3）过点O作OH⊥EF于点H，连接OF，如图，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△AOH∽△ACD，于是可得比例式将OH用含OD的代数式表示出来，在Rt△OHF中，用勾股定理可得关于OD的方程，解方程求出OD的值，结合已知可判断A，M，E三点重合，于是可求得∠EOF的度数，然后根据扇形面积公式S扇形EOF=计算即可求解；
（4）由题意，根据半圆O与△ABC有一个、两个、三个公共点时OD的值并结合图形即可求解.
1 / 1浙江省绍兴市新昌县部分学校2025年九年级中考一模数学试卷
1．（2025·新昌模拟）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-、-0.0是有理数；
、1.010010001（两个1之间依次多一个0）是无理数，符合题意；
0、3.1415926、30%是有理数；
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可判断求解.
2．（2025·新昌模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a-a=2a≠2，此选项不符合题意；
B、a3·a2=a3+2=a5≠a6，此选项不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，此选项符合题意；
D、（2a2）3=8a6，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解.
3．（2025·新昌模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数字时，常把这个数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分的数位个数与1的差.
4．（2025·新昌模拟）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
5．（2025·新昌模拟）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独做22天，剩下的由甲单独完成。问：甲、乙一共用几天可以完成全部工作 若设甲、乙一共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，由题意得：
.
故答案为：A.
【分析】设甲、乙一共用x天完成，根据题中的相等关系“甲（x-22）天完成的工作量+乙x天完成的工作量=总工作量1”并结合各选项即可判断求解.
6．（2025·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
7．（2025·新昌模拟）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
8．（2025·新昌模拟）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BD＝6＋10＝16（cm），AD＝20cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，AC＝10＋20＝30（cm），BC＝6cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BE＝20＋6＝26（cm），AE＝10cm，
利用勾股定理得：AB＝（cm）；
∵，
∴需要爬行的最短距离是cm.
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再将长方体展开，再利用勾股定理分别求出AB的长，最后比较大小即可.
9．（2025·新昌模拟）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，
，
，，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设三个等圆的圆心分别为，连接、、，作于，交地面于，交上面圆于点，即可得到，从而求出，再根据正切求出AD长解答即可．
10．（2025·新昌模拟） 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A=90°，
∵ AB=6，AD=8，
∴ BD=10，
∵ 折叠纸片使边落在对角线上，折痕为，
∴ AD=A'D=6，AG=A'G，且∠DA'G=∠A=90°，
∴ S△ABD=S△ADG+S△DBG，
即，
∴ AG=A'G=3，
∴ S△DBG=.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得∠A=90°，根据勾股定理求得BD的长，再根据翻折的性质可得 AD=A'D=6，AG=A'G，且∠DA'G=∠A=90°，根据S△ABD=S△ADG+S△DBG求出AG，再根据三角形的面积公式计算即可.
11．（2025·新昌模拟）因式分解：3a2-6a=　 　．
【答案】3a（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-6a=3a（a-2）．
故答案为：3a（a-2）
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．（2025·新昌模拟）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1≥0且x-1≠0，
解得：x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件“被开方式非负、分母不为0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
13．（2025·新昌模拟）从，，这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由-1、0、2 这三个数中任取两个不同的数组成点的坐标有：
（-1，0）、（-1，2）、（0，-1）、（0，2）、（2，-1）、（2，0），
其中在坐标轴上的点有：（-1，0）、（0，-1）、（0，2）、（2，0），
∴P（点在坐标轴上）==.
故答案为：.
【分析】由题意，先将所有的点的坐标表示出来，根据坐标轴上的点的坐标特征“有一个坐标为0”找出在坐标轴上的点，然后根据概率公式计算即可求解.
14．（2025·新昌模拟）如图，边长为4cm的正方形先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为　 　．
【答案】6
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得，，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：6．
【分析】根据平移的性质，求出和的长度，根据矩形的面积计算解题．
15．（2025·新昌模拟）如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是　 　．
【答案】2
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
16．（2025·新昌模拟）如图，在菱形中，点，分别在，上，沿翻折后，点落在边上的处.若，，，则的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH为平行四边形，
∴GH=BE=4.
由折叠可得GE=BE=4，
∴BH=GE=4.
∵DG=3，
∴DH=DG+GH=3+4=7.
∵BH2+CH2=BC2，CH=7-CD=7-AB，
∴42+(7-AB)2=AB2，
∴AB=，
∴AE=AB-BE=-4=.
故答案为：.
【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则BH∥EG，由菱形的性质可得AB∥CD，AB=BC=CD，推出四边形BEGH为平行四边形，得到GH=BE=4，由折叠可得GE=BE=4，则BH=GE=4，DH=DG+GH=7，然后在Rt△BCH中，由勾股定理求出AB的值，再根据AE=AB-BE进行计算.
17．（2025·新昌模拟）计算：．
【答案】解：原式=4-（-1）-1+2×+
=4-+1-1++
=.
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-1）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”得（）-2=4；由特殊角的三角函数值可得sin60°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解.
18．（2025·新昌模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设、是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=42-4×1×（m-1）＞0，
解得：m＜5，
∵m为整数，
∴或2或3……；
（2）解：当m=1时，
∵α、β是（1）中方程的两个实数根，
∴α+β=-4，αβ=0，
∴α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ=（-4）2-0=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可得关于m的不等式，解不等式求得m的范围，并结合m为整数可得m的值（答案不唯一）；
（2）由一元二次方程的根于系数的关系可得α+β和αβ的值，根据完全平方公式将所求代数式变形得：α2+β2+αβ=（α+β）2-αβ，再整体代换计算即可求解.
19．（2025·新昌模拟）已知，如图，在中，是的中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若求菱形的面积．
【答案】（1）证明：因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为是中线，所以，
因为，所以，∴，
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是菱形.
（2）解：连接，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为是中线，所以，
因为，所以，
因为四边形是菱形，所以菱形的面积=．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质，得到，再由SAS，证得，结合直角三角形斜边中线性质，得出，证得，得出，进而证得四边形为菱形；
（2）根据平行四边形的判定方法，证得四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，结合菱形的面积公式，即可求解．
（1）证明：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
，
∴四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
∵四边形是菱形，
∴菱形的面积=．
20．（2025·新昌模拟）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为______，______．
（2）请补全条形统计图．
（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
【答案】（1）150人，
（2）补全图形见解析
（3）3500人．
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
21．（2025·新昌模拟）设函数，函数（，，b是常数，；
（1）若函数和函数的图象交于，两点．
①求函数，的表达式．
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移6个单位，得到点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
【答案】（1）解：①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②＜
（2）解：由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（1）②如图，
由图知，当时，；
【分析】（1）①根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得函数的表达式为，再将点A代入可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入直线解析式即可求出答案.
②画出函数图象，当函数的图象在函数的图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
（1）①把点代入，
，
解得：，
∴函数的表达式为，
把点代入，解得，
把点，点代入，
，
解得，
∴函数的表达式为；
②如图，
由图知，当时，；
（2）由平移，可得点D坐标为，
∴，
解得：
22．（2025·新昌模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形判定定理可得，，则，，即，代值计算即可求出答案.
（2）过点作交于点E，根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，四边形为平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（1）由题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴像的长度厘米．
（2）过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
∴凸透镜焦距的长为厘米．
23．（2025·新昌模拟）二次函数的图象与x轴交于点，且．
（1）当，且时，
①求，的值
②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：①依题意，，解得，；
②，
对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
依题意，，
方程无解；
当时，
最小值为，
最大值为，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴把，代入，
得；
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）①由题意可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；
②把①中求得的b、c的值代入二次函数的解析式，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的开口向上，对称轴为直线x = -1，可知，当x < -1时，y随x的增大而减小；当x > -1时，y随x的增大而增大；于是可分三种情况讨论：当t+2≤-1，即t≤-3时，x=-2和x=t时，函数值最大和最小；当t<-1时，无解；当t≥-1时，x=-2时，函数值最小，x=t时，函数值最大；
（2）由题意，将点A、B的坐标代入二次函数的解析式，并结合已知条件整理即可求解.
24．（2025·新昌模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时，　 　，点C到半圆O的最短距离=　 　；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是　 　．
【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接OC，
在Rt△ACD中，∠DAC=37°，AC=10，
∴sin∠DAC===0.6，
解得：CD=6，
在Rt△OCD中，OD=，
∴tan∠OCD==，
∴∠OCD=30°；
∴OC=2OD=4，
∴点C到半圆O的最短距离OE=OC-OE=4-2=2.
故答案为：第一空，30°；第二空，2；
（4）如图，
当⊙O1与AC相切于点M1时，O1M1⊥AC，⊙O1与△ABC有一个公共点，
由（2）得，O1M1=3；
当⊙O1与BC相切于点M2时，O2M2⊥BC，⊙O1与△ABC有三个公共点，
∴O2M2=CD=6；
当圆心O在O1与O2之间时，半圆O与△ABC有两个公共点，
∴3＜OD＜6；
当圆心O在点A与O2之间时，此时⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
当⊙O经过点B时，⊙O与△ABC有三个公共点，如图，
∵OB2=OA2+AB2，OB=OD，OA=8-OD，
∴OD2=（8-OD）2+62，
解得：OD=，
∴当OD=时，⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
∴当＜OD≤8时，⊙O与△ABC有两个或两个公共点，
综上可得，当半圆O与△ABC有两个公共点时，OD的取值范围为＜OD≤8或3＜OD＜6.
故答案为：＜OD≤8或3＜OD＜6.
【分析】（1）在Rt△ACD中，用锐角三角函数sin∠DAC=求出CD的值，在Rt△OCD中，用锐角三角函数tan∠OCD=求出tan∠OCD的值，然后根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）当半圆O与AC相切时，设切点为N，连接ON，OC，如图，由切线长定理可得CD=CN，由线段的和差AN=AC-CN求出AN的值，设OD=ON=r，在Rt△ACD中，用勾股定理求出AD的值，由线段的和差将AO用含r的代数式表示出来，在Rt△AON中，用勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解；
（3）过点O作OH⊥EF于点H，连接OF，如图，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△AOH∽△ACD，于是可得比例式将OH用含OD的代数式表示出来，在Rt△OHF中，用勾股定理可得关于OD的方程，解方程求出OD的值，结合已知可判断A，M，E三点重合，于是可求得∠EOF的度数，然后根据扇形面积公式S扇形EOF=计算即可求解；
（4）由题意，根据半圆O与△ABC有一个、两个、三个公共点时OD的值并结合图形即可求解.
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