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浙江省杭州市钱塘区2024-2025学下学期九年级中考一模数学试卷
1．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
2．（2025·钱塘模拟）现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·钱塘模拟）用五个相同的小立方体搭成以下几何体，其中主视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·钱塘模拟）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2025·钱塘模拟）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·钱塘模拟）下列命题正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
C．位似图形一定是相似图形
D．若是线段的黄金分割点，，则
7．（2025·钱塘模拟）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
8．（2025·钱塘模拟）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（　　）米
A． B． C． D．
9．（2025·钱塘模拟）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
10．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025·钱塘模拟）已知二次函数，当时，函数值　 　．
12．（2025·钱塘模拟）计算 　 　.
13．（2025·钱塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是　 　．
14．（2025·钱塘模拟）如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为　 　．
15．（2025·钱塘模拟）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
16．（2025·钱塘模拟）如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为　 　．
17．（2025·钱塘模拟）已知线段满足，且．
（1）求线段的长．
（2）若线段是线段的比例中项，求线段的长．
18．（2025·钱塘模拟）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
19．（2025·钱塘模拟）如图，在中，已知弦相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，的半径为4，求的长．
20．（2025·钱塘模拟）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
21．（2025·钱塘模拟）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）．
（1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）．
（2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：）
22．（2025·钱塘模拟）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）．
【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值．
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
（1）求的值．
（2）若二次函数的图象经过点，求的最小值．
（3）若二次函数在时，，求的取值范围．
24．（2025·钱塘模拟）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
（1）若，请直接写出，的度数．
（2）求证：是的切线．
（3）若平分，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
即符合要求的为，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，然后结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5，
∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故答案为：C．
【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比即可求解解．
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解∶A选项几何体的主视图为
B选项几何体的主视图为
C选项几何体的主视图为
D选项几何体的主视图为
∴几何体的主视图中与其他三个不同的是D选项．
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从正面看所得到的图形分别画出各项几何体的主视图，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线与相交，
∴圆心到直线的距离小于，
符合要求的为4，
故答案为：A．
【分析】根据直线和的位置关系“假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解
．
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是：
故答案为：B.
【分析】根据二次函数平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
6．【答案】C
【知识点】切线的判定；黄金分割；真命题与假命题；位似图形的性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，此选项不符合题意；
B、垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，此选项不符合题意；
C、位似图形一定是相似图形，此选项符合题意；
D、已知点为线段的黄金分割点，且，若，则，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”即可判断求解；
B、根据圆的切线的判定定理“垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线”即可判断求解；
C、根据位似图形是相似图形的特殊情况即可判断求解；
D、根据黄金分割的意义“黄金分割是指：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比”计算即可判断求解.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OP=2OC求出长，在Rt△POC中，用勾股定理计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点，
则由“三线合一”知，，，
∴在中，米，
∴米，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得为等腰三角形，过点O作于C点，在Rt△AOC中，用三角形函数sin∠AOC=可将用含m的代数式表示出来，然后根据“等腰三角形的三线合一”得AB=2AC即可求解．
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：方法①中，如图：
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
方法②中，如图：
∵点是的中点．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】方法①：由垂径定理的推论可得弧BF=弧CF，由点E是弧AC的中点可得弧AE=弧CE，结合已知可得弧BF=弧AE，根据"在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等”可得∠BAF=∠AFE，然后根据内错角相等两直线平行可求解，方法① 正确；
方法②：根据"在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”可弧CA=弧CB、弧BF=弧CF，由①可得弧AE=弧CE，于是可得弧BF=弧AE，同理可求解，方法②正确．
10．【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
B、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
∴此选项不符合题意；
C、当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
D、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据抛物线的对称轴为直线x=可将抛物线的对称轴用含m的代数式表示出来，再根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向上，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越小”即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向下，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越大”即可判断求解；
D、同理可求解.
11．【答案】0
【知识点】函数值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把代入，
得，
故答案为：0.
【分析】由题意，把代入二次函数的结束计算即可求解.
12．【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，cos30°=，代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是，
∴相似比为，
∴的对应点的坐标是，
故答案为：．
【分析】由题可得相似比为2，根据位似图形的性质解答即可．
14．【答案】6
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：，都是圆的切线，
，
同理，，
的周长，
；
故答案为：6．
【分析】根据切线长定理得到，，，然后求出三角形的周长为2PA解题即可．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接OC，根据有三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形OAB的面积减去正方形ODCE的面积即可求解．
16．【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点A作，交于点E，连接，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
过点E作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即圆的半径为7；
故答案为7．
【分析】过点A作，交于点E，连接，由题意易得，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的三边都相等可得，过点E作于点H，然后可得，在Rt△CHE中，用勾股定理求出CH的值，在Rt△BHE中，根据勾股定理可求解．
17．【答案】（1）解：∵，设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】
（1）由题意，设，，并将a、b代入已知的等式可得关于k的方程，解方程求出的值，于是a、b的长可求解；
（2）根据比例中项的意义可得，然后把（1）中求得的a、b的值代入计算即可求解．
（1）解：∵，
设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
18．【答案】解：游戏一：∵已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，
∴摸出1个球，且摸出一个球是红球的概率是：．
即甲同学获胜的概率为；
游戏二：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：．
即甲同学获胜的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】游戏一：根据概率公式用红球的个数除以总球的个数即可求解；游戏二：根据题意先画出树状图，由树状图的信息可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果，然后根据概率公式计算即可求解.
19．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】
（1）根据弧、弦之间的关系定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”得，由弧的和差可得然后根据圆周角定理"同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等"即可求解；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理得∠COD=2∠A可求出的度数，根据弧长公式计算即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
答：AC的长为6.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等、对应角相等”可得，由角的和差可得∠BAC=∠FAD，再根据相似三角形的判定"夹角相等，两边成比例"可求解；
（2）由（1）可得，，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，然后把分别代入计算，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1）解：过点作， 垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
(米) ，
米，
∴两幢楼房之间的水平距离为米；
（2）在中，米，
（米) ，
∵米，
(米)，
∴对面这幢楼房的高度约为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点作， 垂足为， 根据题意易得四边形ADCE是矩形，由矩形的对边相等可得，， 然后在中，用锐角三角函数的定义tan∠EAC=求出的长，则CD=AE可求解；
（2）在中，用锐角三角函数的定义tan∠BAE=求出的长，然后根据线段的和差关系BC=BE+CE可求解．
（1）解：过点作， 垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
(米) ，
米，
∴两幢楼房之间的水平距离为米；
（2）在中，米，
（米) ，
∵米，
(米)，
∴对面这幢楼房的高度约为米.
22．【答案】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接，
∵与相切于点，
∴， 即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即；
（2）如图， 延长交于点， 连结，，
∵的半径为，，
，
由（1）可知，
，
，
整理得，
解得或(舍去)，
∴的值为.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得到，根据直径所对的圆周角是直角可得，由同角的余角相等可得，再由同弧对应的圆周角相等可得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△PAB∽△PCA然后又相似三角形的对应边的比相等可得比例式并将比例式化为乘积式即可求解
（2）延长交于点， 连结，，可由线段的和差PC=PB+BC可将PC用含r的代数式表示出来，代入（1）的乘积式可得关于的方程，解方程即可求解.
23．【答案】（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）先将函数y=-x2+2x化为顶点式可得顶点坐标，将顶点坐标代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）将代入中，整理将n用含m的代数式表示出来并配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
（3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围.
（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
24．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理可求得∠BAC和∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；
（2）设，根据（1）的推理过程可得，然后根据角平分线可得，然后求出，即可判断求解；
（3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后根据"有两个角对应相等的两个三角形相似"可证，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得的长，然后根据切线得，同理可证，求出的值，再在Rt中利用勾股定理即可求解．
（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区2024-2025学下学期九年级中考一模数学试卷
1．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（　　）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
即符合要求的为，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向下可得a＜0，然后结合各选项即可判断求解．
2．（2025·钱塘模拟）现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5，
∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为，
故答案为：C．
【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比即可求解解．
3．（2025·钱塘模拟）用五个相同的小立方体搭成以下几何体，其中主视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解∶A选项几何体的主视图为
B选项几何体的主视图为
C选项几何体的主视图为
D选项几何体的主视图为
∴几何体的主视图中与其他三个不同的是D选项．
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从正面看所得到的图形分别画出各项几何体的主视图，即可求解．
4．（2025·钱塘模拟）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵直线与相交，
∴圆心到直线的距离小于，
符合要求的为4，
故答案为：A．
【分析】根据直线和的位置关系“假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离”并结合题意即可判断求解
．
5．（2025·钱塘模拟）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是：
故答案为：B.
【分析】根据二次函数平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
6．（2025·钱塘模拟）下列命题正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
C．位似图形一定是相似图形
D．若是线段的黄金分割点，，则
【答案】C
【知识点】切线的判定；黄金分割；真命题与假命题；位似图形的性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，此选项不符合题意；
B、垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，此选项不符合题意；
C、位似图形一定是相似图形，此选项符合题意；
D、已知点为线段的黄金分割点，且，若，则，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”即可判断求解；
B、根据圆的切线的判定定理“垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线”即可判断求解；
C、根据位似图形是相似图形的特殊情况即可判断求解；
D、根据黄金分割的意义“黄金分割是指：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比”计算即可判断求解.
7．（2025·钱塘模拟）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OP=2OC求出长，在Rt△POC中，用勾股定理计算即可求解．
8．（2025·钱塘模拟）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点，
则由“三线合一”知，，，
∴在中，米，
∴米，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得为等腰三角形，过点O作于C点，在Rt△AOC中，用三角形函数sin∠AOC=可将用含m的代数式表示出来，然后根据“等腰三角形的三线合一”得AB=2AC即可求解．
9．（2025·钱塘模拟）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
【答案】B
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：方法①中，如图：
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
方法②中，如图：
∵点是的中点．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】方法①：由垂径定理的推论可得弧BF=弧CF，由点E是弧AC的中点可得弧AE=弧CE，结合已知可得弧BF=弧AE，根据"在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等”可得∠BAF=∠AFE，然后根据内错角相等两直线平行可求解，方法① 正确；
方法②：根据"在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”可弧CA=弧CB、弧BF=弧CF，由①可得弧AE=弧CE，于是可得弧BF=弧AE，同理可求解，方法②正确．
10．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：A、∵，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
B、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，
∴或或或，
∴此选项不符合题意；
C、当时，则，
∴，
此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∵，，
∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
即，
∴此选项不符合题意；
D、∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，
∴或或或，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据抛物线的对称轴为直线x=可将抛物线的对称轴用含m的代数式表示出来，再根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向上，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越小”即可判断求解；
B、同理可求解；
C、根据可得抛物线的对称轴在轴的负半轴，且抛物线的开口方向向下，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴并根据“越靠近对称轴的所对应的函数值越大”即可判断求解；
D、同理可求解.
11．（2025·钱塘模拟）已知二次函数，当时，函数值　 　．
【答案】0
【知识点】函数值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意，把代入，
得，
故答案为：0.
【分析】由题意，把代入二次函数的结束计算即可求解.
12．（2025·钱塘模拟）计算 　 　.
【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
【分析】由特殊角的三角函数值可得sin30°=，cos30°=，代入所求代数式计算即可求解.
13．（2025·钱塘模拟）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是，
∴相似比为，
∴的对应点的坐标是，
故答案为：．
【分析】由题可得相似比为2，根据位似图形的性质解答即可．
14．（2025·钱塘模拟）如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为　 　．
【答案】6
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：，都是圆的切线，
，
同理，，
的周长，
；
故答案为：6．
【分析】根据切线长定理得到，，，然后求出三角形的周长为2PA解题即可．
15．（2025·钱塘模拟）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【分析】连接OC，根据有三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形OAB的面积减去正方形ODCE的面积即可求解．
16．（2025·钱塘模拟）如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为　 　．
【答案】7
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点A作，交于点E，连接，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
过点E作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即圆的半径为7；
故答案为7．
【分析】过点A作，交于点E，连接，由题意易得，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的三边都相等可得，过点E作于点H，然后可得，在Rt△CHE中，用勾股定理求出CH的值，在Rt△BHE中，根据勾股定理可求解．
17．（2025·钱塘模拟）已知线段满足，且．
（1）求线段的长．
（2）若线段是线段的比例中项，求线段的长．
【答案】（1）解：∵，设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】
（1）由题意，设，，并将a、b代入已知的等式可得关于k的方程，解方程求出的值，于是a、b的长可求解；
（2）根据比例中项的意义可得，然后把（1）中求得的a、b的值代入计算即可求解．
（1）解：∵，
设，，
∵，
∴，
，
，，
线段的长为12，线段的长为3．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为6．
18．（2025·钱塘模拟）已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率．
项目 游戏一 游戏二
摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球
获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜
若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜
【答案】解：游戏一：∵已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，
∴摸出1个球，且摸出一个球是红球的概率是：．
即甲同学获胜的概率为；
游戏二：根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：．
即甲同学获胜的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】游戏一：根据概率公式用红球的个数除以总球的个数即可求解；游戏二：根据题意先画出树状图，由树状图的信息可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果，然后根据概率公式计算即可求解.
19．（2025·钱塘模拟）如图，在中，已知弦相交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，的半径为4，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】
（1）根据弧、弦之间的关系定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等”得，由弧的和差可得然后根据圆周角定理"同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等"即可求解；
（2）连接OC、OD，根据圆周角定理得∠COD=2∠A可求出的度数，根据弧长公式计算即可求解．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，，
，
，
，
∵的半径为，
的长为．
20．（2025·钱塘模拟）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
答：AC的长为6.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等、对应角相等”可得，由角的和差可得∠BAC=∠FAD，再根据相似三角形的判定"夹角相等，两边成比例"可求解；
（2）由（1）可得，，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式，然后把分别代入计算，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
21．（2025·钱塘模拟）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）．
（1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）．
（2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：）
【答案】（1）解：过点作， 垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
(米) ，
米，
∴两幢楼房之间的水平距离为米；
（2）在中，米，
（米) ，
∵米，
(米)，
∴对面这幢楼房的高度约为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过点作， 垂足为， 根据题意易得四边形ADCE是矩形，由矩形的对边相等可得，， 然后在中，用锐角三角函数的定义tan∠EAC=求出的长，则CD=AE可求解；
（2）在中，用锐角三角函数的定义tan∠BAE=求出的长，然后根据线段的和差关系BC=BE+CE可求解．
（1）解：过点作， 垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
(米) ，
米，
∴两幢楼房之间的水平距离为米；
（2）在中，米，
（米) ，
∵米，
(米)，
∴对面这幢楼房的高度约为米.
22．（2025·钱塘模拟）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）．
【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值．
【答案】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接，
∵与相切于点，
∴， 即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即；
（2）如图， 延长交于点， 连结，，
∵的半径为，，
，
由（1）可知，
，
，
整理得，
解得或(舍去)，
∴的值为.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得到，根据直径所对的圆周角是直角可得，由同角的余角相等可得，再由同弧对应的圆周角相等可得，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△PAB∽△PCA然后又相似三角形的对应边的比相等可得比例式并将比例式化为乘积式即可求解
（2）延长交于点， 连结，，可由线段的和差PC=PB+BC可将PC用含r的代数式表示出来，代入（1）的乘积式可得关于的方程，解方程即可求解.
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
（1）求的值．
（2）若二次函数的图象经过点，求的最小值．
（3）若二次函数在时，，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）先将函数y=-x2+2x化为顶点式可得顶点坐标，将顶点坐标代入可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）将代入中，整理将n用含m的代数式表示出来并配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.
（3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围.
（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
24．（2025·钱塘模拟）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点．
（1）若，请直接写出，的度数．
（2）求证：是的切线．
（3）若平分，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理可求得∠BAC和∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；
（2）设，根据（1）的推理过程可得，然后根据角平分线可得，然后求出，即可判断求解；
（3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后根据"有两个角对应相等的两个三角形相似"可证，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得的长，然后根据切线得，同理可证，求出的值，再在Rt中利用勾股定理即可求解．
（1）解：∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
连接，则，
又∵，
∴；
又∵平分，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在Rt中，，
∴．
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