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2025年四川省内江市第一中学九年级中考一模考试数学试题
1．（2025·内江模拟）2019的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2019的相反数是 .
故答案为： .
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，可得结果。
2．（2025·内江模拟）用科学记数表示0.00 001 08，其结果是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00 001 08=
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．（2025·内江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5≠a6，∴此选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，∴此选项错误；
C、a8÷a4=a4≠a2，∴此选项错误；
D、（-a3）2=a6，∴此选项正确；
故答案为：D．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a3和a2不是同类项，所以不能合并；
C 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
4．（2025·内江模拟）一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（　　）
A．摸出1个球是红球的概率是
B．一次摸出2个球都是白球的概率是
C．一次摸出4个球至少有2个是红球
D．一次摸出2个球都是红球的概率是
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：A、 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球 ，摸出一个球是红球的概率是，故此选项说法正确，不符合题意；
画树状图：
B、由树状图可知：一共有20种等可能的结果数，一次摸出2个球是白球的等可能情况数是2，根据概率公式可得一次摸出2个球是白球的概率是，故此选项说法正确，不符合题意；
C、 一次摸出四个球，可能是3个红球一个白球，也可能是2个白球，两个红球，故此选项说法正确，不符合题意；
D、由树状图可知：一共有20种等可能的结果数，一次摸出2个球是红球的等可能情况数是6，根据概率公式可得一次摸出2个球是红球的概率是，故此选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接用概率公式可判断A选项；画出树状图，由图可知：共有20种等可能的情况，一次摸出2个球都是白球的情况有2种，根据概率公式判断B选项；一次摸出4个球可能是3个红球、1个白球，可能是2个红球、2个白球，就此可判断C选项；共有20种等可能的情况，一次摸出2个球都是红球的情况有6种，根据概率公式可判断D选项.
5．（2025·内江模拟）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
解得：且；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件"分式的分母不为0"和二次根式有意义的条件"二次根式的被开方数为非负数"可得关于x的不等式，解之即可求解．
6．（2025·内江模拟）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．平均数是20.5 B．众数是4
C．中位数是40 D．这10户家庭月用电量共205度
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、这组数据的平均数 ，故本选项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；
C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是 则中位数是40，故本选项正确；
D、这10户家庭月用电量共 度，故本选项错误；
故选： C.
【分析】中位数、众数、加权平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案.
7．（2025·内江模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠BOD=∠AOD =60°，
故选：D．
【分析】
利用圆周角定理得到∠AOD=60°，再利用弧、弦、圆心角的关系得到∠BOD的度数解答即可．
8．（2025·内江模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A． B．1 C．或3 D．或1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：，得，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式先求出，再求出，最后求解即可。
9．（2025·内江模拟）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，-1≤x≤3时，y≥1．
故答案为：A
【分析】结合函数图象可得：当-1≤x≤3时，y≥1，从而可得答案.
10．（2025·内江模拟）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】在菱形ABCD中，，
，
，
，
由拆叠可知，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先根据所给条件，结合菱形性质，求出BD的长，再根据折叠性质，逐步证明．再根据对应线段成比例：，即可求出的长度．
11．（2025·内江模拟）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
12．（2025·内江模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转至，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
13．（2025·内江模拟）把多项式分解因式结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：
【分析】利用平方差公式因式分解求解即可。
14．（2025·内江模拟）已知m，n是方程的两个根，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系两根之和为，两根之积为解答即可．
15．（2025·内江模拟）已知圆锥的侧面积为8π ，侧面展开图的圆心角为45°，该圆锥的母线长为　 　cm.
【答案】8
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ，
解得：r=8，即圆锥的母线长为8cm.
故答案为：8.
【分析】利用扇形的面积公式及圆锥的侧面积=8π，可求出该圆锥的母线长.
16．（2025·内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象l与y轴交于点C，A1的坐标为（1，0），点B1在直线l上，且A1B1平行于y轴，连接CA1、OB1交于点P1，过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2，过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2，A1B2与B1A2交于点P2，……，按此进行下去，则点P2019的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：A1（1，0），A2（3，0），A3（7，0），…，An（2n﹣1，0），
B1（1，2），B2（3，4），B3（7，8），…，Bn（2n﹣1，2n），
∴直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式为：
y＝2x﹣2n+1+2，y＝﹣x+2n+1+1，
∴Pn+1，
∴P2019；
故答案为：.
【分析】根据题意先求出A1、A2、A3的坐标和B1、B2、B3的坐标，根据这些点的特征可分别求出An（2n﹣1，0），Bn（2n﹣1，2n），可知Pn+1是直线AnBn+1与直线An+1Bn的交点，因此分别求出直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式，联立方程即可解.
17．（2025·内江模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、绝对值、负整数指数次幂和立方根，代入特殊角的三角函数值，然后加减计算解题．
18．（2025·内江模拟）如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结．
（1）求证：平分．
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，∴．
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分．
（2）解：∵，，，∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，即可得到，然后根据等边对等角得到，然后根据等量代换解答即可；
（2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得，即可得到，然后根据对应边成比例解答即可．
19．（2025·内江模拟）“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示．
（1）图中a值为　　．
（2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A1、A2、…An，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状图或列表法求恰好抽取到的选手A1和A2的概率．
【答案】（1）4；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽取到的选手A1和A2的有2种情况，
∴恰好抽取到的选手A1和A2的概率为：=．
【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：a=80﹣8﹣40﹣28=4，
故答案为：4.
【分析】
（1）观察直方图，根据样本容量等于各小组频数之和可求解；
（2）画出树状图，然后由树状图可知所有等可能的结果与恰好抽取到的选手A1和A2的情况，再根据概率公式计算即可求解．
20．（2025·内江模拟）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
（1）求点D与塔顶P的距离；
（2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角得到，再根据等边对等角得到解题即可；
（2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，根据勾股定理求出的长，根据正切的定义求出的长，再根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
21．（2025·内江模拟）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A，B两点，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图像，直接写出时，x的取值范围；
（3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
【答案】（1）解：将代入得，，∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：联立，整理得，，∴，
解得，或，
经检验，或是原分式方程的解，
将代入得，，
∴，
∴由图像可知，的解集为或；
（3）解：由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，
∵图像只有一个交点，
∴，
解得，或，
∴b的值为1或9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）联立两解析式求出交点坐标，然后借助图象得到不等式的解集即可；
（3）得到直线平移后的解析式为，联立反比例函数整理得，根据图像只有一个交点得到，求出b值即可．
22．（2025·内江模拟）已知，则的值是　 　
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故答案为：.
【分析】将变形可得a-b=-5ab，再把变形为，最后整体代入计算即可求解．
23．（2025·内江模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
24．（2025·内江模拟）已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，即，
可得：或，
解得：，，
不妨设，
则，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据a、b为抛物线与x轴的交点的横坐标可令，得关于x的方程，解方程求出x的值，设，可得，，然后代入并结合绝对值的非负性去绝对值，再根据合并同类项法则计算即可求解．
25．（2025·内江模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是　 　．
【答案】8
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB＝10，
∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AC＝12，
∴QC＝，
∴CE＝QC QE＝13 5＝8，
故答案为：8．
【分析】连接AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED＝∠BEA＝90°，则可知点E在以AB为直径的⊙Q上，由两点之间线段最短可知点Q、E、C三点共线时CE最小，在Rt△ACQ中，用勾股定理求得QC的长，然后根据线段的和差CE=QC-QE计算即可求解．
26．（2025·内江模拟）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克利润×销售量”列一元二次方程解答即可；
（3）设利润为w，列w关于x的函数表达式，然后配方为顶点式，利用自变量的取值范围解答即可．
27．（2025·内江模拟）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC sin∠COH，
∴h=OC sin60°=OC，∴OC==，
∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC sin∠DCH=DC sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OC， 如图1， 要证CE是⊙O的切线， 只需证到 即可；
(2)过点C作 于H，连接OC，如图2，在 中运用三角函数即可解决问题；
(3)作OF平分 交⊙O于F，连 接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得过点D作于H，易得 从而有 .根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时， (即 最小，然后在 中运用三角函数即可解决问题.
28．（2025·内江模拟）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；

（2）解：由，当时，，则∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先根据抛物线的解析式求得的坐标，利用勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，即可得到，连接，设交轴于点，即可得到是等腰直角三角形，求出，得到，过点作交抛物线于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立抛物线和直线解析式求交点坐标即可；
（3）设，表示出的值，分为 ，，三种情况求出点N的坐标即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
1 / 12025年四川省内江市第一中学九年级中考一模考试数学试题
1．（2025·内江模拟）2019的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·内江模拟）用科学记数表示0.00 001 08，其结果是（　　）.
A． B．
C． D．
3．（2025·内江模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·内江模拟）一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球．下列说法错误的是（　　）
A．摸出1个球是红球的概率是
B．一次摸出2个球都是白球的概率是
C．一次摸出4个球至少有2个是红球
D．一次摸出2个球都是红球的概率是
5．（2025·内江模拟）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且
6．（2025·内江模拟）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（　　）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．平均数是20.5 B．众数是4
C．中位数是40 D．这10户家庭月用电量共205度
7．（2025·内江模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C＝30°，则∠BOD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（2025·内江模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A． B．1 C．或3 D．或1
9．（2025·内江模拟）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
10．（2025·内江模拟）已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·内江模拟）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·内江模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·内江模拟）把多项式分解因式结果是　 　．
14．（2025·内江模拟）已知m，n是方程的两个根，则　 　．
15．（2025·内江模拟）已知圆锥的侧面积为8π ，侧面展开图的圆心角为45°，该圆锥的母线长为　 　cm.
16．（2025·内江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象l与y轴交于点C，A1的坐标为（1，0），点B1在直线l上，且A1B1平行于y轴，连接CA1、OB1交于点P1，过点A1作A1B2∥OB1交直线l于点B2，过点B1作B1A2∥CA1交x轴于点A2，A1B2与B1A2交于点P2，……，按此进行下去，则点P2019的坐标为　 　．
17．（2025·内江模拟）计算：．
18．（2025·内江模拟）如图，在和中，，，，点在线段上，，交于点，连结．
（1）求证：平分．
（2）若，求的值．
19．（2025·内江模拟）“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所示．
（1）图中a值为　　．
（2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A1、A2、…An，从中随机抽取两名选手作经验交流，请用树状图或列表法求恰好抽取到的选手A1和A2的概率．
20．（2025·内江模拟）如图，山坡上有一座古塔，为了测量古塔的高度，从点B处看塔顶P的仰角为，向前移动到达C点，从点处看塔顶的仰角为．
（1）求点D与塔顶P的距离；
（2）若在点D处看塔底E的仰角为，且测得点E到塔中心F的距离为．求古塔的高度（参考数据：，，，，结果精确到米）．
21．（2025·内江模拟）一次函数与反比例函数的图像在第一象限交于A，B两点，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图像，直接写出时，x的取值范围；
（3）若把一次函数的图像向下平移b个单位，使之与反比例函数的图像只有一个交点，请直接写出b的值．
22．（2025·内江模拟）已知，则的值是　 　
23．（2025·内江模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝120°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为　 　．
24．（2025·内江模拟）已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为　 　．
25．（2025·内江模拟）如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是　 　．
26．（2025·内江模拟）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
27．（2025·内江模拟）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
28．（2025·内江模拟）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
（3）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：2019的相反数是 .
故答案为： .
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，可得结果。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00 001 08=
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5≠a6，∴此选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，∴此选项错误；
C、a8÷a4=a4≠a2，∴此选项错误；
D、（-a3）2=a6，∴此选项正确；
故答案为：D．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a3和a2不是同类项，所以不能合并；
C 、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
4．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：A、 一个不透明的口袋里有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球、2个白球 ，摸出一个球是红球的概率是，故此选项说法正确，不符合题意；
画树状图：
B、由树状图可知：一共有20种等可能的结果数，一次摸出2个球是白球的等可能情况数是2，根据概率公式可得一次摸出2个球是白球的概率是，故此选项说法正确，不符合题意；
C、 一次摸出四个球，可能是3个红球一个白球，也可能是2个白球，两个红球，故此选项说法正确，不符合题意；
D、由树状图可知：一共有20种等可能的结果数，一次摸出2个球是红球的等可能情况数是6，根据概率公式可得一次摸出2个球是红球的概率是，故此选项说法错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接用概率公式可判断A选项；画出树状图，由图可知：共有20种等可能的情况，一次摸出2个球都是白球的情况有2种，根据概率公式判断B选项；一次摸出4个球可能是3个红球、1个白球，可能是2个红球、2个白球，就此可判断C选项；共有20种等可能的情况，一次摸出2个球都是红球的情况有6种，根据概率公式可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
解得：且；
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件"分式的分母不为0"和二次根式有意义的条件"二次根式的被开方数为非负数"可得关于x的不等式，解之即可求解．
6．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、这组数据的平均数 ，故本选项错误；
B、40出现的次数最多，出现了4次，则众数是40，故本选项错误；
C、把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是 则中位数是40，故本选项正确；
D、这10户家庭月用电量共 度，故本选项错误；
故选： C.
【分析】中位数、众数、加权平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴，
∴∠BOD=∠AOD =60°，
故选：D．
【分析】
利用圆周角定理得到∠AOD=60°，再利用弧、弦、圆心角的关系得到∠BOD的度数解答即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：，得，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用根的判别式先求出，再求出，最后求解即可。
9．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，-1≤x≤3时，y≥1．
故答案为：A
【分析】结合函数图象可得：当-1≤x≤3时，y≥1，从而可得答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】在菱形ABCD中，，
，
，
，
由拆叠可知，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先根据所给条件，结合菱形性质，求出BD的长，再根据折叠性质，逐步证明．再根据对应线段成比例：，即可求出的长度．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵第一天揽件200件，第三天揽件242件，日平均增长率为x，
则 .
故答案为：A.
【分析】因为平均增长率为x，则第三天揽件量=第一天揽件量× (1 +平均增长率) 2， 依此列出等式，即可解答.
12．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】将绕点逆时针旋转至，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：
【分析】利用平方差公式因式分解求解即可。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】根据根与系数的关系两根之和为，两根之积为解答即可．
15．【答案】8
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ，
解得：r=8，即圆锥的母线长为8cm.
故答案为：8.
【分析】利用扇形的面积公式及圆锥的侧面积=8π，可求出该圆锥的母线长.
16．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：A1（1，0），A2（3，0），A3（7，0），…，An（2n﹣1，0），
B1（1，2），B2（3，4），B3（7，8），…，Bn（2n﹣1，2n），
∴直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式为：
y＝2x﹣2n+1+2，y＝﹣x+2n+1+1，
∴Pn+1，
∴P2019；
故答案为：.
【分析】根据题意先求出A1、A2、A3的坐标和B1、B2、B3的坐标，根据这些点的特征可分别求出An（2n﹣1，0），Bn（2n﹣1，2n），可知Pn+1是直线AnBn+1与直线An+1Bn的交点，因此分别求出直线AnBn+1与直线An+1Bn的解析式，联立方程即可解.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零次幂、绝对值、负整数指数次幂和立方根，代入特殊角的三角函数值，然后加减计算解题．
18．【答案】（1）证明：∵，∴．
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分．
（2）解：∵，，，∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，即可得到，然后根据等边对等角得到，然后根据等量代换解答即可；
（2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得，即可得到，然后根据对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）4；
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽取到的选手A1和A2的有2种情况，
∴恰好抽取到的选手A1和A2的概率为：=．
【知识点】频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：a=80﹣8﹣40﹣28=4，
故答案为：4.
【分析】
（1）观察直方图，根据样本容量等于各小组频数之和可求解；
（2）画出树状图，然后由树状图可知所有等可能的结果与恰好抽取到的选手A1和A2的情况，再根据概率公式计算即可求解．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角得到，再根据等边对等角得到解题即可；
（2）过点作的垂线，分别交的延长线于点，根据勾股定理求出的长，根据正切的定义求出的长，再根据线段的和差解答即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
答：点D与塔顶P的距离为．
（2）解：过点作的垂线，分别交的延长线于点，如图
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：古塔的高度为．
21．【答案】（1）解：将代入得，，∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：联立，整理得，，∴，
解得，或，
经检验，或是原分式方程的解，
将代入得，，
∴，
∴由图像可知，的解集为或；
（3）解：由题意知，平移后的解析式为，联立得，，整理得，，
∵图像只有一个交点，
∴，
解得，或，
∴b的值为1或9．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）联立两解析式求出交点坐标，然后借助图象得到不等式的解集即可；
（3）得到直线平移后的解析式为，联立反比例函数整理得，根据图像只有一个交点得到，求出b值即可．
22．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故答案为：.
【分析】将变形可得a-b=-5ab，再把变形为，最后整体代入计算即可求解．
23．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝120°，
∴∠ODC＝180° ∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∴∠DOC＝180° 2×60°＝60°，
∴∠P＝90° ∠DOC＝30°；
故填：30°．
【分析】连接OC、CD，根据切线得出∠OCP＝90°，利用圆内接四边形的对角互补求出∠ODC＝60°，再根据等边对等角得出∠OCD＝∠ODC＝60°，即可得到∠DOC＝60°，然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
24．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，即，
可得：或，
解得：，，
不妨设，
则，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据a、b为抛物线与x轴的交点的横坐标可令，得关于x的方程，解方程求出x的值，设，可得，，然后代入并结合绝对值的非负性去绝对值，再根据合并同类项法则计算即可求解．
25．【答案】8
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB＝10，
∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AC＝12，
∴QC＝，
∴CE＝QC QE＝13 5＝8，
故答案为：8．
【分析】连接AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED＝∠BEA＝90°，则可知点E在以AB为直径的⊙Q上，由两点之间线段最短可知点Q、E、C三点共线时CE最小，在Rt△ACQ中，用勾股定理求得QC的长，然后根据线段的和差CE=QC-QE计算即可求解．
26．【答案】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“总利润=每千克利润×销售量”列一元二次方程解答即可；
（3）设利润为w，列w关于x的函数表达式，然后配方为顶点式，利用自变量的取值范围解答即可．
27．【答案】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC sin∠COH，
∴h=OC sin60°=OC，∴OC==，
∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC sin∠DCH=DC sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OC， 如图1， 要证CE是⊙O的切线， 只需证到 即可；
(2)过点C作 于H，连接OC，如图2，在 中运用三角函数即可解决问题；
(3)作OF平分 交⊙O于F，连 接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得过点D作于H，易得 从而有 .根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时， (即 最小，然后在 中运用三角函数即可解决问题.
28．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；

（2）解：由，当时，，则∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先根据抛物线的解析式求得的坐标，利用勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，即可得到，连接，设交轴于点，即可得到是等腰直角三角形，求出，得到，过点作交抛物线于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立抛物线和直线解析式求交点坐标即可；
（3）设，表示出的值，分为 ，，三种情况求出点N的坐标即可．
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．
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