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(共23张PPT)
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
1. 一个长方形抽屉长，宽 ，贴抽屉底面放一根木
棒，那么这根木棒最长（取整厘米数，不计木棒粗细）可以
是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. ［2025西安未央区开学考试］如图，某自动
感应门的正上方 处装着一个感应器，离地2.1米
米 ，当人体进入感应器的感应范围内
时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生
正对门，缓慢走到离门1.2米米 的
B
A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米
地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于
( )
返回
3. 如图，一扇卷闸门用一块宽 ，长
的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门
撑起的高度为_____ .
130
（第3题）
返回
（第4题）
4.如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角
形，若梯子长等于 ，梯子完全撑开后顶
端离地面的高度等于 ，则此时梯子侧面
宽度等于____ .
1.4
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（第5题）
5.如图，某小区有一块四边形空地 ，为
了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，
经测量 ，米，
米，米， 米.若铺一平方米草
坪需要50元，则铺这块空地需要投入资金
________元.
11 700
（第5题）
【点拨】连接 .
因为 ,米, 米,
所以 .
因为米, 米,
所以 ,
（第5题）
所以是直角三角形,且 ,
所以四边形 的面积为
所以铺这块空地需要投入资金
（元）.
（平方米），
返回
6. 爱护森林人人有责，如图
（单位： ）是某森林小队为该地区森林鸟
类安装的木屋示意图，它为轴对称图形，求
屋顶到地面 的距离.
【解】因为木屋为轴对称图形，
所以 是等腰三角形.
作，垂足为 .
由题意得 ，
所以 .
因为，所以 .
所以 .
所以屋顶到地面的距离为 .
返回
（第7题）
7. 如图，某会展中心在会展期间
准备将高、长、宽 的楼梯铺上地
毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算
一下，铺完这个楼梯至少需要_______元.
1 020
【点拨】由勾股定理得
，所以
，所以地毯总长为 ,
所以地毯的总面积为 ,所以铺
完这个楼梯至少需要 （元）.
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（第8题）
8.［2025淄博期中］我国古代
数学著作《九章算术》第九章
《勾股》中记载了这样的一个
问题：“今有开门去阃 一
101
尺，不合二寸，问门广几何？” 意思是：如图，推开两扇门
和，门边缘，两点到门槛 的距离是1尺，两扇门
的间隙为2寸，则门宽是_____寸（1尺 寸）.
【点拨】如图，过点作于点 .设
寸.由题意得尺 寸，
寸，则寸.在 中，
，即，解得 ，
所以 寸.
返回
9. 如图，
中， ，， ，
，，， 是
10或
直线上一动点，把沿 所在的直线翻折后
（再展开），若点落在直线上的点处，则 ______.
【点拨】（1）当点在点 左边时，如图①，由折叠的性质
得，.因为 ,, ，所
以.因为 ，
,,所以 ，所以
.设，则 .
在中，由勾股定理得 ，即
，解得，即 ；
（2）当点在点 右边时，如图②所示，
同上得,， ,
,所以 .
设，则 .在
中，由勾股定理得 ，即
，解得，即 .综上所述，
或 .
返回
10. 物理课上，老师带着科技
小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳
子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体 上，
滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来
调节物体的升降.实验初始状态如图①所示，物体 静止在
直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体 到定滑
轮的垂直距离是 .（实验过程中，绳子始终保持绷紧状
态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
【解】根据题意得，， ，
所以由勾股定理得 ，所以
.所以绳子的总长度为 .
（2）如图②，若物体升高，求滑块
向左滑动的距离.
如图所示.
在 中，由勾股定理得
,所
所以滑块向左滑动的距离为 .
以 ,
所以 .
返回
11. 如图，在长方形
中，，，为 边上一点，
，连接 ．
（1）求 的长．
【解】在长方形中， ， .
因为，所以 .
又因为 ，
所以在中，由勾股定理得 .
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边 向终
点运动，连接．设点运动的时间为 .
①当为何值时， 为等腰三角形？
分三种情况讨论：
当时，易得，所以，所以 ;
当时，有，所以 ；
当时，易得 ，
所以 .
综上所述，当为3或4或时， 为等腰三角形.
②当为何值时， 为直角三角形？
分两种情况讨论：当 时，易得 ；
当 时，过点作于点 .
在中， ，
在中， ，
所以 ，
解得 .
综上所述，当为或6时， 为直角三角形.
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1. 下列说法中正确的是( )
C
A. 已知，，是三角形的三边，则
B. 在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方
C. 在中， ，,,是,, 的对边,所
以
D. 在中， ，,,是,, 的对边,所
以
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（第2题）
2. 如图，在中， ，
，，分别以点， 为圆心，
以长为半径画弧，两弧相交于点 ，连
接，，则 的周长为( )
D
A. 14 B. 18 C. 24 D. 30
返回
（第3题）
3. 如图是一株美丽的
勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，若正方形， ，
，的面积分别是4，6，2，4，则正方形 的
面积是( )
C
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
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（第4题）
4. 如图，在中， ,
,则边上的高 的长为
( )
C
A. 8 B. 8.8 C. 9.6 D. 10
【点拨】如图，过点作于点 .
因为, ,所以
.在 中，
所以，解得 .故选C.
,所以 .因为
,
返回
（第5题）
5. 如图是两人某次棋
局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小
正方形的边长为 ,则“帥”“马”两
棋子所在格点之间的距离为_______.
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6.如图，四边形中，，， ，
，，求四边形 的面积.
【解】因为， ，所
以 .
因为, ，所以根据勾股
定理得 .
又因为，所以根据勾股定理得 ，所以
.
返回
（第7题）
7. 如图，在中， ，分别
以， 为直径向外作两个半圆，面积分别
记为和.在中， ，分
别以， 为边向外作两个正方形，面积分
别记为和.若 ，，则
的值为( )
D
A. 5 B. 15 C. 20 D. 25
（第7题）
【点拨】在中， ,所
以 ,所以
,所以
.因为 ,所
以.所以 .在
中， ,所以 ,所以
.
返回
8. 在中，，是上异于， 的一点，
则 的值是( )
B
A. 15 B. 25 C. 30 D. 20
【点拨】如图，过点作于 ，所以
，因为 ，所
以， ，
，所以 .
返回
（第9题）
9.［2025佛山期中］如图，在 中，
，，，点 在边
上，把沿直线折叠，使得点 的
对应点落在的延长线上，则 ___.
3
（第9题）
【点拨】在中， ，
， ，所以
.所以
.由折叠得， ，
，所以
.设 ，
则.在中， ，
即，解得，所以 .
返回
10. 如图①是第七届
国际数学教育大会 会徽
图案，它是由一串有公共顶点 的
直角三角形（如图②）演化而成的. 图②中的
，若 代表
的面积，代表的面积，以此类推，则
的值为__.
【点拨】由勾股定理得
，
，
，
，，所以 , 所以
.
返回
11. 在中，， ，高
，则 的周长为________.
84或64
【点拨】（1）当高在 的内部时，如图①.
在中，，所以 .在
中，，所以 .
所以，此时 的周长是
；
（2）【点拨】当高在 的外部时，如图②.
在中， ，所以
.
在中，，所以 .
所以，此时 的周长是
.
综上所述， 的周长是84或64.
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12. 如图，在
中， ， ，
，动点从点出发沿射线
以 的速度运动，设运动的时间为 .
（1）当点运动到的中点时， 的值是___；
2
（2）连接，内，若，求 的长；
【解】在 中，由勾股定理易得
,当点到达点 时，
，所以内，点在线段
上.由题意得 .因为
，所以.在 中，根据勾股
定理可得，即 ，解
得，所以 .
（3）当为直角三角形时，求 的值.
①当 时，点和点 重合，
此时 ；
②当 时，点在线段 的延
长线上，如图.因为， ，所以
.在 中，根据勾股定理可得
，在 中，根据勾
股定理可得 ，
所以 ，解得
.
综上，或 .
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13. 【阅读理解】
定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离
的比值称为三角形这条边的“中偏度值”，例如：图①中，
和分别为的边上的高和中线， ，
，则的边的“中偏度值”为 .
【尝试应用】
（1）如图②，在
中， ，
， ，求
的边 的“中偏度值”；
【解】作的中线，高线 ，如图.
因为 ，， ，所
以由勾股定理易得 .
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以由勾股定理易得
.
因为为边 上的中线，
所以 ，
所以 ，
所以的边的“中偏度值”为 .
【拓展延伸】
（2）如图③，点为直线上方一点，点到直线 的距离
，点在直线上，且，若点在直线 上，
且，求的边 的“中偏度值”.
①当在 外部时，作
的中线 .
在 中，由勾股定理易
得，在中，由勾股定理易得 ，所以
.
因为为的中线，所以 ，
所以 ，
所以的边的“中偏度值”为 ；
②当在 内部时，作
的中线 .
同①知， ，所
以 .
因为为 的中线，
所以，所以 ，
所以的边的“中偏度值”为 .
综上所述，的边的 “中偏度值”为6或 .
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第一章 勾股定理
☆问题解决策略:反思
（第1题）
1. 教材P16问题 如图，圆柱高 ，底
面半径为，一只蚂蚁从点爬到点 处吃食，
它沿圆柱侧面爬行的最短路程 取3 约是
( )
B
A. B.
C. D. 无法确定
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（第2题）
2. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形
的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点 到
顶点缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为 ，
底面边长为 ，则这圈彩带的长度至少为
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2025郑州金水区期末］如图，正方体的棱
长为，是正方体的一个顶点， 是侧面
正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面
上爬行，从点爬到点 的最短路径的平方是
____ .
10
返回
（第4题）
4. 如图是某滑雪场 型池的示
意图，该 型池可以看作是一个长方体去掉一
个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面
是半径为3的半圆，其边缘 ，
点在上，.一名滑雪爱好者从 点
滑到点时，他滑行的最短路程约为____
取 .
15
返回
5.如图，四边形是一块长方形地面， ，
，中间有一堵墙，高，蚂蚁从点 爬
到点，必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬____ .
26
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6.如图，小区与公路的距离米，小区与公路 的
距离米，已知 米.
（1）政府准备在公路边建造一座公交站台，使到， 两
小区的路程相等，求 的长；
【解】如图①，连接, ,根据题意
得 ，
所以 .
设米，则 米，
在中， ,
在中， .
所以 ，
解得,即 的长为475米.
（2）现要在公路旁建造一利民超市，使到， 两小区的
路程之和最短，求出最短路程.
如图②，作点关于直线的对称点 ，连
接，交直线于点，点 即为利民超
市的位置.
连接,则 ，
所以 .
作交的延长线于点 ，
在中， 米，
（米），
所以 ,
所以 米，即最短路程为1 000
米.
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7.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上
（如图为其示意图），有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地
盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为 的中点），
柱身高约16米，则雕刻在石柱上的龙至少为______.
20米
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8.［2025青岛期中］如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一
个组合体，蚂蚁从左下角点爬到右上角点 的最短路线长的
平方是____.
41
（第8题）
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（第9题）
9.如图，一个圆柱形容器的高为 ，底面半
径为，在容器内壁中点 处有一只蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相
对的点 处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为____
.（容器厚度忽略不计）
15
【点拨】如图，将圆柱形容器侧面展开，作点
关于直线的对称点，连接，易知
为壁虎捕捉蚊子的最短距离.由题意易得,
在 中，由勾股定理得
，所以 .即
壁虎捕捉蚊子的最短距离为 .
， .
返回
10. 如图，一圆柱高 ，底面周长是
，一只螳螂在的中点处，一只昆虫在 的某处，
螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫，螳螂共
爬行了，那么此时昆虫离点 的距离为多少厘米？
【解】 沿 把圆柱的侧面展开，如图所示.
①设昆虫在边上的处，过作 的垂线，
垂足为，连接，则 为最短爬行距离，根
据题意知， ,
.易得 ,
,所以由勾股定理得 .
所以易得 ；
②设昆虫在边上的处，过作 的垂线，
垂足为，连接，则 为最短爬行距离，
同理可得， ，所以易得
.综上
所述，昆虫离点的距离为或 .
返回
11.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高 ，
水深，在水面线上紧贴内壁 处有一粒食物，
且，一只小虫想从水缸外的 处沿水缸壁爬到水缸
内的 处吃掉食物.
（1）小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的
路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注.
【解】如图，作点关于 所在直线的对称点
，连接，交于点，连接 ,则
为最短路线.
（2）求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）.
因为， ，
所以 .
在中， ，
， ,所以
.
由对称性可知 ，
所以 .
故小虫爬行的最短路程长为 .
返回
12.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆
柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝.
（1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧
面展开图是___.
A. B. C. D.
A
（2）金属丝的长为____.
20
（3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为
，底面周长为 ，在杯内壁离
杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，
且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁
处到内壁 处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【解】如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于
的对称点，连接交于点 ，易知
为最短路程.作，交 的延长线
于点 .
易得 ,
.在 中，由勾
股定理得,即蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬行的
最短路程为 .
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第一章 勾股定理
全章热门考点整合应用
考点1 勾股定理
（第1题）
1. 如图，在四边形 中，
， ，
，，则 的长为( )
B
A. 20 B. 25 C. 35 D. 30
返回
（第2题）
2. 如图，在长方形 中，
， ，将此长
方形折叠，使点与点 重合，折
痕为，则 的长度为( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. ［2025烟台期中］有一个边长为1的正方形，经过一次“生
长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中三
个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，
如图②.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你计
算“生长”了10次后的图形中所有正方形的面积之和为( )
A
①
②
A. 11 B. 55 C. 66 D.
返回
考点2 直角三角形的判定
4. 下列由三条线段，，构成的三角形 中：
；，， ；
；， ，
为大于1的整数 ，其中是直角三角形的是( )
B
A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
返回
5. 如图，在 的网格中，每个小正方
形的边长均为1，点，， 都在格点上，
则下列结论错误的是( )
C
A. B.
C. 的面积为10 D. 点到直线 的距离是2
返回
6.如图，在四边形中， ，
，，， .
（1）连接，求 的长；
【解】因为在中， ，
，，所以 ，所以
.
（2）求 的面积.
因为，， ，
所以 ，
所以是直角三角形，且 ，
所以 的面积为
.
返回
考点3 勾股数
7. 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如
的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满
足该方程的正整数的解称为勾股数.如 就是一组
勾股数.
（1）请你再写出两组勾股数：________，_______________
_________；
（答案不唯一）
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图
曾指出：如果表示大于1的整数，， ，
，那么以，， 为三边长的三角形为直角三角形，
即 为勾股数.请你加以说明.
【解】因为，所以 为勾股数.
返回
考点4 勾股定理的应用
8.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为
的楼顶上.师傅在楼底水平面上距离楼房
9米的处拉紧绳子（绳长 ），并标记，
然后沿方向向前走7米到 处，拉紧绳
子（绳长），量得绳长比绳长 长5米，求楼的高度
.
【解】设米，则 米.
在 中，
，在
中，
解得.所以. 所以楼的高度 为12米.
，所以 ，
返回
思想1 转化思想
（第9题）
9.如图，这是一个台阶的示意图，每
一层台阶的高是、长是 、
宽是，一只蚂蚁沿台阶从点 出
发爬到点 ，其爬行的最短线路的长
度是_____ .
130
返回
思想2 方程思想
（第10题）
10.［2025泰州期中］如图，已知三角形
纸片， ， ，
，沿过点 的直线将纸片折叠，使
点落在边上的点 处；再折叠纸片，
使点与点重合，折痕与的交点为 ，
则 的长是___.
（第10题）
【点拨】由折叠的性质可得 ，
，， .因为
，所以 ，所以
，所以
.设
，则.在 中，由
勾股定理得，即 ，解得
，所以 .
返回
思想3 数形结合思想
11.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，
创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如
图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小
正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积
为25，每个直角三角形两直角边的和为7，求中间小正方形
的边长.
【解】设直角三角形的两直角边中较长边为 ，
较短边为，所以大正方形的面积为 .由
题意得， .因为
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以小正方形的边长为1.
返回
思想4 分类讨论思想
12.如图，点为直线上的一个动点， 于
点，于点，点在点 右侧，并且点
，在直线的同侧，， ，
当长为多少时， 为直角三角形？
【解】过点作于点 ，
则易得四边形 为长方形，所以
， ，所以
.由勾股定理得，
，.当
时，点在点 的左侧，此时
.由勾股定理得
，所以
，
解得 ；
当 时，点在线段 上，此时
.
由勾股定理得 ，所以
，
解得 ；
当 时，易知点在线段 上，
此时 .
由勾股定理得 ，所以
，
所以,所以 .
综上，当长为6或4或时， 为直
角三角形.
返回(共20张PPT)
第一章 勾股定理
专题2 勾股定理中的常见模型
模型1 勾股树
【模型展示】
图示 ____________________ ____________________ ________________________ ____________________
条件 作正方形 作半圆 作等腰直角三 角形 作等边三角形
结论 （第1题）
1. ［2025杭州萧山区期中］如图，在
中，分别以这个三角形的三边
为边向外侧作正方形，面积分别记为
，，，若 ，则图
中阴影部分的面积为( )
A
A. 6 B. 12 C. 10 D. 8
返回
（第2题）
2. 如图，分别以 的三边为斜边
向外作，， ，
且，， ，
，这三个
直角三角形的面积分别为，， ，
且，，则 ( )
A
A. 25 B. 28 C. 30 D. 35
返回
3. 如图，中， ，分别以
各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉
底月牙”，当， 时，阴影部分的面积为____.
12
返回
模型2 赵爽弦图
【模型展示】
图示 _________________________________
条件
结论
续表
4.［2025成都武侯区月考］如图，四个全等
的直角三角形围成一个大正方形 ，中
间阴影部分是一个小正方形 ，这样就
组成一个“赵爽弦图”，若， ，
则正方形 的面积为___.
1
返回
5.勾股定理被记载于我国古代的数学著作
《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，图②是由弦图变化得到的，它是由
八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 ，
正方形，正方形的面积分别为，， ，若
，求正方形 的面积.
【解】 设八个全等的直角三角形的两
直角边长分别为， ，则
， ，
.因为 ，
所以 .所以
.所以，即正方形 的面积为8.
返回
模型3 风吹树折
【模型展示】
图示 ___________________________________________________
条件
结论
续表
6. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”
问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四
尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原
高1丈（如图，1丈 尺），一阵风将竹
C
A. 4.55尺 B. 5.45尺 C. 4.2尺 D. 5.8尺
子折断，竹稍抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？
则折断处离地面的高度为 ( )
返回
7. 《九章算术》是我国古代最
重要的数学著作之一，其中记载了这样一个
问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，
引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”
译文：今有一竖立着的木柱（如图），在木
柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地
面的部分尚有3尺.牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时绳索
用尽（绳索头与地面接触）.问绳索长是多少尺？
【解】 设绳索的长为尺，则木柱 的
长为 尺.
在 中，由勾股定理得
，
即，解得 .
所以绳索的长是 尺.
返回
模型4 出水芙蓉
【模型展示】
图示 ________________________________
条件
结论
8.如图，一个底面直径为 的杯子，在它的正
中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外 ，当
筷子倒向杯壁时（筷子底端不动）， 筷子顶端
刚好触到杯口，则筷子长度为____ .
8.5
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9. 教材P13例 《九章算术》卷九“勾股”中
记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引
葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意
是：如图，水池底面的宽丈，芦苇 生
长在的中点处，高出水面的部分 尺. 将芦苇向池
岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ，求
水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）.
（1）水池的深度 为____尺；
12
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》
作注解时，更进一步地给出了这类问题的一
般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：
若已知水池宽 ，芦苇高出水面的部
分 ，则水池的深度
可以通过公式 计算得到.
请说明刘徽解法的正确性.
【解】因为，，，
为 的中点，
所以， .
在 中，由勾股定理得
，
即，解得 .
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 验证并应用勾股定理
1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用
代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证
明勾股定理的有( )
D
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
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2. 如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知
米，米.为了避免行人继续踩踏草坪
走线段，小梅分别在， 处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( )
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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3. 2024年11月4日，神舟
十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着
陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模
●蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如
10米
图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点处
米，空中点 处有一只风筝，无人机上的测距仪测
得米，点与点之间的水平距离 米，已知
于点，，则风筝离地面的高度 是______.
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4.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，
其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，
图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图①
中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 .
（1）请用含，，的代数式分别表示， ；
【解】 ，
.
（2）请利用达·芬奇的方法验证勾股定理.
由题意得，所以 .
所以 .
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（第5题）
5. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露在
水上的鱼线长为 ，某钓鱼者想看看
鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置，
此时露在水面上的鱼线的长度为 ，
若，，三点在同一直线上，则 的
长为( )
C
A. B. C. D.
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（第6题）
6. 一辆装满货物、宽为1.6米的卡车，欲通过
如图所示的隧道（隧道上半部分是以 为直
径的半圆），则卡车的高度必须低于( )
B
A. 3.0米 B. 2.9米 C. 2.8米 D. 2.7米
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7.［2025盐城期中］第二十四届国际数学家大会
会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家
赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角
40
形 和中间一个小正方形
拼成的大正方形中，连接，.若 的面
积是面积的9倍，小正方形 的面积是16，则大正
方形 的面积为____.
【点拨】设 ,
.由题意得
,
.因为 的面积
是面积的9倍，所以,所以 .因为小正
方形的面积是16，所以.所以 .所
以, .所以大正方形 的面积
.
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8.［2025成都外国语学校期中］如图，某
沿海城市 接到台风预警，在该市正南方
向的处有一台风中心，沿 方向
以的速度移动，已知城市到
的距离为 .
（1）台风中心经过多长时间从 点移动到
点？
【解】由题意可知， ，
， ，所以由勾
股定理易得 .
因为 ，
所以台风中心经过从点移动到 点.
（2）如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风
的影响，那么 市受到台风影响的时间为多少小时？
如图，在射线上取点， ，使得
.
又因为，所以 .
在中，由勾股定理易得 ，
所以 .
因为 ，
所以市受到台风影响的时间为 .
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9.综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图
①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个正方
形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有
两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与
一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到
等式，化简便得结论 .这
里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，
我们称之为“双求法”.
【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把
两个全等的直角和 如图②放置，
，， ，
，显然 .
（1）连接，，请用，，分别表示出四边形 ，
梯形， 的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，验证勾股定理 .（对角线互相垂直的四边
形的面积等于对角线乘积的一半）
【解】
，
，
.
由图可知 ，即
，
整理得 .
【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：
（2）如图③，在中， ，是 边上
的高，，，求 的长；
在中， ，， ,
，所以 .
因为是边上的高， ,
所以 ，即
，所以 .
（3）如图④，在中，是边上的高， ，
，，求 的长.
设，则 .
在中， ；
在中， ，
所以 ，
解得，所以 .
返回(共24张PPT)
第一章 勾股定理
第一章综合素质评价
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1. 下列各组数中，是勾股数的是( )
A
A. 6，8，10 B. 10，15，18
C. ,, D. ，，
2. 在中， ，，则 的大
小为( )
B
A. B. C. D.
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3. 教材P8习题 如图①，小
霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在
绳子上打了一个结，然后将绳子拉到
离旗杆底端12米处，发现此时绳子底
A
A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 24米
端距离打结处6米，如图②，则滑轮到地面的距离为( )
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（第4题）
4. 杜甫曾经哀叹“茅屋为
秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，
不然也不会如此绝望.现在我们来看一茅屋
的屋顶剖面（如图），它呈等腰三角形，
C
A. 2.5米 B. 6米 C. 4米 D. 8米
如果屋檐米，横梁米，那么在横梁 上
的任意一点处要支一根木头顶住屋顶 处，这根木头的长度
可能是 ( )
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（第5题）
5. ［2025郴州二模］如图所示为雷达图，规
定：1个单位长度代表，以点 为原点，
过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心
圆平均分成十二等份．一艘海洋科考船在点
处用雷达发现，两处鱼群，那么， 两
处鱼群的距离是( )
C
A. B. C. D.
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（第6题）
6. 如图，在正方形网格内，，，， 四点
都在格点上，则 ( )
B
A. B. C. D.
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（第7题）
7. 斜拉桥是我国流行的桥型
之一，大跨径斜拉桥已居世界第一.如图，
，
，如果最长的钢
索，那么钢索， 的长
分别是( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
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（第8题）
8. 欧几里得的《几何原本》中给出一种证
明勾股定理的方法.如图，在 中，
，四边形、四边形 、
四边形和四边形 都是正方形.若
的面积为3，正方形 的面积为13，
则正方形 的面积为( )
C
A. 16 B. 19 C. 25 D. 37
（第8题）
【点拨】设，， .因为
的面积为3，所以 ，所以
.因为正方形 的面积为13，所以
.在 中，
.易知正方形 的面
积为，把与 代
入，得,所以正方形 的面积
为25.
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二、填空题（每题5分，共20分）
9.长方体木箱的长、宽、高分别为，， 则能放
进木箱中的直木棒最长为____ .
13
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（第10题）
10.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，
甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行，甲、乙轮船每小时分别航行 和
，后两轮船分别位于点, 处，且
北偏东 （或东偏北）
相距.如果知道甲轮船沿北偏西 方向航行，则乙
轮船沿____________________________方向航行.
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11.如图，在中， ，， ，
是边的中点，是边上一点，连接，.将
沿翻折，点落在上的点处，则 __.
（第11题）
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（第12题）
12.［2025深圳期中］如图，在 中，
，， ，以三角形各边
为直径作半圆，其中两半圆交于点 ，阴
影部分面积分别记作和，则， 之间应
满足的等式是___________.
（第12题）
【点拨】在 中，由勾股定理得
，所以
.所以 .
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三、解答题（共48分）
13.（12分）如图，在中， ，
，，，求 的
面积；
【解】因为，， ，所
以 ，所以
为直角三角形， ，所以
.在中，由勾股定理得 ，
所以 ，
所以 .
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14.（16分）已知某植物绕着树干向上生长
（树干粗细均匀）.
（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）
为，绕一圈升高（即圆柱的高） ，
则它绕一圈的最短长度是多少？
【解】如图，将圆柱的侧面展开.
由题意可得， ,
所以 ，
所以 .
所以植物绕一圈的最短长度为 .
（2）如果树干的周长为 ，绕一圈的最短长
度是 ，绕10圈到达树顶，则树干高为多少？
树干周长为，即 ，
绕一圈的最短长度是，则 .
因为 ，
所以 ，所以树干高为
.
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15.（20分） 如图，在 中，
，，，点从点 出发，
以的速度沿 运动，设运动时间为
．
（1）若点在上，则线段 的长为
___________；（用含 的式子表示）
（2）点在运动过程中，若是以 为底边的等腰三角
形，求 的值．
【解】由题意易得当点 在
边上时，易得 ，所以
．②当点在边上时，过点 作
于点，则 .
因为 ，
所以 .
所以在 中，由勾股定理得
.
所以，即.所以 .
综上所述，的值为3或 .
返回(共30张PPT)
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首
尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的
是( )
C
A. 5，9，12 B. 5，9，13
C. 5，12，13 D. 9，12，13
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2. 在中，，，所对的边分别为，， ,下列
条件中，不能判定 为直角三角形的是( )
D
A.
B.
C. ，，
D. ，，
3. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定
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（第4题）
4. 如图，在由小正方形组成的 网
格中，每个小正方形的顶点称为格点.
点，，，，， 均在格点上，
其中点，，，能与点， 构成
一个直角三角形的是( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
5. 已知中，， ，
，当___时， .
4
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6.如图，中，，，， 为直线
上一动点，连接，则线段 的最小值是 ___.
（第6题）
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7.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明
理由；
【解】 是直角三角形.
理由：因为 ，米， 米，
所以由勾股定理得米.又因为米， 米，
所以，所以 是直角三角形,
.
（2）求图中阴影部分土地的面积.
图中阴影部分土地的面积
（平方米）.
将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形
面积和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角
形，如角度，三边长度等.
. .
. .
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8. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第
三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是
( )
C
A. B. C. D.
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9. 如图，在中， ，
，边上的中线，则 的面积为( )
B
（第9题）
A. 30 B. 24 C. 20 D. 48
（第9题）
【点拨】延长到，使 ，连接
.因为为 边上的中线，所以
.又因为 ，所以
，所以， ,所以
.又因为， ，所以
，所以为直角三角形， ，
所以 .
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（第10题）
10. 如图所示的是 的正方形网格，每
个小正方形的顶点称为格点.线段，
的端点均在格点上，且交于点 ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
【点拨】设小正方形的边长为1.如图，取格
点，连接，，易知 ，所以
.由勾股定理得
所以，.所以 是等腰直角三
角形.所以 .所以 .
， ，
，
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11. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的
三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数
学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中， 均小于
，，，是大于1的奇数，则
___（用含 的式子表示）.
【点拨】由题意得
.因为 是大于1
的奇数，所以 .
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12. 如图所示，在 中，
，且周长为，点 从
点开始沿边向点以 的速度移动；
点从点开始沿边向点以 的速度
18
移动，如果同时出发，则时，的面积为____ .
【点拨】根据题意设 ，
，.因为周长为 ，
所以 ，即
，解得 ，所以
，， .所以
，所以 是直角三角形，
.时， ，
，所以
.
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13.如图，已知在正方形中，是的中点，在 上，
且 .
（1）请你判断与 的位置关系，并说明理由；
【解】 .理由如下：
设正方形的边长为.在正方形
中， ,
.
由题意可得,, .
在中， ，
在中， ，
在中, ,
所以.
所以为直角三角形，且 ,
即 .
（2）若此正方形的面积为16,求 的长.
因为正方形的面积为16,所以 .
所以.所以 .
返回
14. 定义：如图，点，把线段 分割成
，，，若以，， 为边的三角形是一个直
角三角形，则称点，是线段 的勾股分割点.
（1）若，，，则点， 是线段
的勾股分割点吗？请说明理由；
【解】点,是线段 的勾股分割点.
理由如下：因为 ，
，
所以，所以以，， 为边的三角
形是一个直角三角形，
所以点，是线段 的勾股分割点.
（2）已知为直角边，若，，求 的长.
设，则 .
①当为斜边时，有 ，
即，解得 ；
②当为斜边时，有 ，
即，解得 .
综上所述， 的长为12或13.
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15. 如图是某区域仓储
配送中心的示意图， 区为商品入库
区，区，区是配送中心区.已知，
两个配送中心区相距，， 区相
甲方案：从区直接搭建两条传送带分别到区， 区；
距，，区相距 ，为了方便商品从入库区分拣
传送至配送中心区，现有两种搭建传送带的方案.
乙方案：在区， 区之间搭建一条传送
带，再从区搭建一条垂直于 的传送带，
两条传送带的连接处为中转站 区
（接缝忽略不计）.
（1）请判断此平面图形 的形状
（要求写出推理过程）.
【解】由题意可知 ，
， .因为
，
所以.所以 是直角三角形，且
.
（2）甲、乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？
请通过计算说明.
由（1）可知 是直角三角形，且
.
又因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
因为 ，
所以甲方案所搭建的传送带较短.
返回(共13张PPT)
第一章 勾股定理
专题1 利用勾股定理解决折叠问题
类型1 三角形中的折叠问题
（第1题）
1. 如图，中，， ，
，将折叠，使点与 的
中点重合，折痕为，则线段 的长为
( )
A
A. 4 B. 3 C. 2 D. 5
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2.［2025南京秦淮区期中］如图，将三角形纸片沿 折
叠，使点落在边上的点处.， ，则
的值为___.
9
（第2题）
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类型2 长方形中的折叠问题
（第3题）
3. ［2025深圳盐田区期中］如图，在长方形
纸片中，， .把纸
片沿对角线折叠，点落在点处， 交
于点，则重叠部分 的面积为
( )
B
A. B. C. D.
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4.如图，在长方形中，，，点为 的
中点，将沿所在直线折叠，使点 落在长方形内的
点处，连接，则 的长为___.
（第4题）
（第4题）
【点拨】连接交于,易得 ,
.因为，点为 的中点，所
以.又因为，所以在 中，
，所以 ,所以易
得，所以.因为 ，所
以易得 ，所以根据勾股定理得，
.所以 .
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5.如图，长方形中，，，在边 上取
一点，将折叠后点恰好落在边上的点 处.
（1）求 的长；
【解】在长方形 中，
， ，
.
由折叠知，， .
在中，根据勾股定理得， ,
所以 .
设，则 .
在 中，根据勾股定理，得
,
即，解得，所以 .
（2）边上是否存在一点 ，使得
的值最小？若存在，请求出最小值
的平方；若不存在，请说明理由.
存在.延长至使，连接
交于点,易知此时的值最小，为 的长.在
中，根据勾股定理，得
, 即 的最
小值的平方为221.
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类型3 正方形中的折叠问题
6.如图，正方形纸片的边长为12，点
是上一点，将沿折叠，点 落
在点处，连接并延长交于点 ，若
，求 的长.
【解】设与交于点 .
由折叠可知， ，所以
.
因为四边形 是正方形，
所以， .
所以 .
所以 .
所以 .
所以, .
在中，由勾股定理易得 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
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