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北师大版2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷（2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义判断即可．
【详解】，，都是整式，是分式．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，理解并掌握分式的概念是解题的关键．
2．下列图形中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据中心对称图形的定义进行判断即可.
详解：A. 将此图形绕某一点旋转正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；
B. 将此图形绕任一点旋转都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；
C.将此图形绕任一点旋转都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；
D. 将此图形绕任一点旋转都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形.
故选A.
点睛：考查中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A． B． C． D．以上
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组的应用，根据题意，设大棚温度为，则，再根据一元一次不等式组的方法，求出这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜即可．
【详解】解：设大棚温度为，
则，
解得，
∴这时应该把大棚温度设置在最适宜．
故选：B．
4．下列分解因式正确的是(　　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解定义逐项分析即可；
【详解】A.等式两边不成立，故错误；
B.原式=，故错误；
C.正确；
D.原式=，故错误；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的判断，准确应用公式是解题的关键．
5．如图，将沿的方向平移1cm得到，若的周长为6cm，则四边形的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【答案】B
【分析】先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，再根据四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF即可得出结论．
【详解】∵将周长为6的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=6，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
6．下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．三角形中任何两边的和大于第三边
C．三角分别相等的两个三角形全等
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
【答案】B
【分析】根据平行线的性质定理、三角形的三边关系定理、三角形全等的判定定理、直线平移的规律依次判断即可．
【详解】解：A、两直线同位角相等，所以A是假命题；
B、三角形中任何两边的和大于第三边是真命题；
C、三角分别相等不能判定两个三角形全等，故C是假命题；
D、直线向下平移2个单位可得到的一次函数是y=2x-5,故D是假命题，
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：C．
8．如图是某小区一住户客厅背景墙上的装饰框，外围是一个正八边形，该正八边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，n边形内角和为，据此求解即可．
【详解】解：，
∴该正八边形的内角和为，
故选：C．
9．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意知为的中位线，再根据平行四边形的性质求得，从而求得．
【详解】四边形是平行四边形
点，分别是，的中点
故选C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的关键．
10．如图，在等边中，点是的中点，点为上一动点，设，图1中线段的长为，若与的函数关系的图象如图2所示，则等边的周长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解：先由图2得出y的最小值，然后结合图1分析可知，当P点运动到DP⊥AB时，DP长为最小值，从而求出BD，根据D为BC的中点，即可求出BC，即可求出答案．
【详解】解：由图2可得y最小值＝，
∵△ABC为等边三角形，分析图1可知，当P点运动到DP⊥AB时，DP长为最小值，
∴此时DP＝，
∵∠B＝60°，
∴sin60°＝，
解得BD＝2，
∵D为BC的中点，
∴BC＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴等边△ABC的周长为12，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出BD的长是解题关键．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．当 时，分式的值为零．
【答案】0
【分析】本题主要考查分式为0的情况，关键在于分式的分母不能为0．
要使分式的值为0，则必须分式的分子为0，分母不能为0，进而计算的值．
【详解】解：由题意得，且，
解得：．
故答案为：0．
12．因式分解：2x3y﹣8xy3＝ ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式：分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式相结合进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
13．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000
发芽的频数m 9 44 92 461 928 1396 1866 2794 3728 4646
发芽的频率（精确到0.001 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 0.932 0.929
则估计这种绿豆发芽的概率为 （精确到0.01）
【答案】0.93
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
14．如图，已知函数与函数的图像交于点P，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】观察图像可得当时，函数的图像位于函数的图像的下方，即可求解．
【详解】解：观察图像得：当时，函数的图像位于函数的图像的下方，
∴不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．
15．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到，再根据两点之间线段最短，可以得到的最小值就是的值，然后根据勾股定理可以求得的值，从而可以解答本题．
【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，，如图所示，
则，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值就是的值，
即的最小值就是的值，
∵，，，
∴，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出的最小值就是的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
16．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：2．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解方程或不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解分式方程，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握分式方程和不等式组的解法是解答本题的关键．
（1）两边都乘以，化为整式方程求解，再检验即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【详解】（1）解：，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）解：，
解： 解不等式①得，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
把代入上式，得原式；
19．如图，在中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线交边于点M；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握作角平分线的方法以及角平分线的性质定理是解题的关键．
（）首先以为圆心，适当长度为半径作圆弧，分别交边和于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径作圆弧，在内部交于一点，连接点与该点的射线，交边于点M，射段即为所作；
（）过点M作于点D，根据角平分线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，射段即为所求；
（2）解：如图，过点M作于点D，
平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．

(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）；
(2)若，，求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
【答案】(1)
(2)
(3)，图形见解析
【分析】本题考查因式分解的应用：
（1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果；
（2）利用（1）中结论求解即可；
（3）根据多项式，由2个边长为的小正方形和7个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：；
（2），，，
．
；
（3）如图所示，
．
21．某商店计划购进、两种型号的保温水杯进行销售，若购进型号保温水杯和型号保温水杯各6个共花费150元，购进型号保温水杯4个和型号保温水杯3个共花费85元．
(1)求购进型号保温水杯和型号保温水杯的单价；
(2)若该商店购进了、两种型号保温水杯共100个，其中型号保温水杯售价为18元，型号保温水杯售价为25元，设购进型号保温水杯个，获得总利润为元．
①求关于的函数关系式．
②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【答案】(1)购进型号保温水杯单价为元，型号保温水杯的单价为元
(2)①；②购进种保温杯个，型号保温杯个，可以获得最大利润，最大利润为元．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）①根据题意，写出函数关系式即可；
②根据所获利润不低于进货价格的，列出不等式进行求解．
【详解】（1）解：设购进型号保温水杯单价为，型号保温水杯的单价为，
，
解得：，
答：购进型号保温水杯单价为元，型号保温水杯的单价为元；
（2）解：①设购进型号保温水杯个，故购进型号保温杯个，
；
②所获利润不低于进货价格的，
，
解得，
为整数，
时，，
，
答：购进种保温杯个，型号保温杯个，可以获得最大利润，最大利润为元．
22．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
（2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是中点，
，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
23．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)或1或
【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键．
（1）根据定义进行判断即可；
（2）将化为，然后化成带分式的形式即可；
（3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可．
【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，，
是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：原式，
原分式的值为正整数，且x为整数，
或2或，
或1或．
24．【问题发现】
（1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为______； 的度数为______．
【类比探究】
（2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图，，，，，请直接写出的值．
【答案】 ，
，，理由见解析
8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系．
根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、；
根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得；
过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得．
【详解】解：和均为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
，
，
，
；
故答案为：，；
，，
理由如下： 和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
；
，
，
；
如下图所示，过点作交于点，
由知，
，，
又，
，
在中，，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷（2）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．农户利用“立体大棚种植技术”把茄子和丝瓜进行混种．已知茄子齐苗后棚温在最适宜，播种丝瓜的最适宜温度是．农户在茄子齐苗后在同一大棚播种了丝瓜，这时应该把大棚温度设置在下列哪个范围最适宜（ ）
A． B． C． D．以上
4．下列分解因式正确的是(　　　)
A． B．
C． D．
5．如图，将沿的方向平移1cm得到，若的周长为6cm，则四边形的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
6．下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．三角形中任何两边的和大于第三边
C．三角分别相等的两个三角形全等
D．直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象
7．如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
8．如图是某小区一住户客厅背景墙上的装饰框，外围是一个正八边形，该正八边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，在等边中，点是的中点，点为上一动点，设，图1中线段的长为，若与的函数关系的图象如图2所示，则等边的周长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．当 时，分式的值为零．
12．因式分解：2x3y﹣8xy3＝ ．
13．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 4000 5000
发芽的频数m 9 44 92 461 928 1396 1866 2794 3728 4646
发芽的频率（精确到0.001 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 0.932 0.929
则估计这种绿豆发芽的概率为 （精确到0.01）
14．如图，已知函数与函数的图像交于点P，则不等式的解集是 ．
15．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ．
16．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解方程或不等式组：
(1)； (2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，，．
(1)尺规作图：作的角平分线交边于点M；
(2)若，求线段的长．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．

(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）；
(2)若，，求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
21．某商店计划购进、两种型号的保温水杯进行销售，若购进型号保温水杯和型号保温水杯各6个共花费150元，购进型号保温水杯4个和型号保温水杯3个共花费85元．
(1)求购进型号保温水杯和型号保温水杯的单价；
(2)若该商店购进了、两种型号保温水杯共100个，其中型号保温水杯售价为18元，型号保温水杯售价为25元，设购进型号保温水杯个，获得总利润为元．
①求关于的函数关系式．
②要使销售保温水杯的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该商店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
22．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
23．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
24．【问题发现】
（1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为______； 的度数为______．
【类比探究】
（2）如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图，，，，，请直接写出的值．

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