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北师大版2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷（1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若ab，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣b0 B．a﹣2b﹣2 C．a b D．﹣2a﹣2b
4．正六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）

A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点
6．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．每一个角都是钝角或直角 B．有两个角是钝角或直角
C．没有一个角是钝角或直角 D．有两个或两个以上的角是钝角或直角
7．在中考备考阶段，学校准备为九年级各班制作特色标语来鼓舞士气，已知九年级共有12个班，每班需要菱形特色标语2幅，现将此项任务委托给文印店，因为急需，所以文印店提高工作效率，每小时比原来多制作0.6幅，结果提前两个小时完成了任务，求文印店实际每小时制作几幅标语？设文印店实际制作标语是x幅/小时，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，已知，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
10．在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
12．若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ．
13．若分式方程有增根,则等于 .
14．已知，，则的值为 ．
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则 ．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算
(1)解不等式组：．
(2)解分式方程：
18．先化简，再求值：（1）÷，其中x是从0，1，2，3中选取的一个合适的数．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．
(1)将向下平移5个单位长度得到；
(2)将绕点顺时针旋转后得到，并写出点的坐标．
20．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
21．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
22．时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型．
根据以下素材，探索解决任务：
机器人模型购买方案设计
素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元
素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同
素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元
问题解决
任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案．
23．课本再现
三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：，分别是的边，的中点．
求证：，且．
知识应用
（2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形．
②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
24．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024-2025学年八年级数学下学期期末测试卷（1）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的方法和结果为积的形式逐一判断即可．
【详解】解：A：为整式的乘法，故此选项错误；
B：，故此选项正确；
C：为平方差公式，结果为差的形式，故此选项错误；
D：，故此选项错误；
故答案选B
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差和完全平方差公式是解题的关键．
3．若ab，则下列不等式中成立的是（　　）
A．a﹣b0 B．a﹣2b﹣2 C．a b D．﹣2a﹣2b
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，则本选项错误；
B、∵a＜b，
∴a﹣2＜b﹣2，则本选项正确；
C、∵a＜b，
∴，则本选项错误；
D、∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，则本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题关键．
4．正六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，正六边形的内角和为，据此求解即可．
【详解】解：正六边形的内角和为，
故选：C．
5．如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）

A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
6．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（ ）
A．每一个角都是钝角或直角 B．有两个角是钝角或直角
C．没有一个角是钝角或直角 D．有两个或两个以上的角是钝角或直角
【答案】C
【分析】根据“反证法中第一步是假设结论不成立，反面成立．”即可解题.
【详解】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：C．
【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．在中考备考阶段，学校准备为九年级各班制作特色标语来鼓舞士气，已知九年级共有12个班，每班需要菱形特色标语2幅，现将此项任务委托给文印店，因为急需，所以文印店提高工作效率，每小时比原来多制作0.6幅，结果提前两个小时完成了任务，求文印店实际每小时制作几幅标语？设文印店实际制作标语是x幅/小时，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键．设文印店实际制作标语是x幅/小时，则文印店原来制作标语是幅/小时，根据结果提前两个小时完成了任务，列出方程分式即可．
【详解】解：设文印店实际制作标语是x幅/小时，则文印店原来制作标语是幅/小时，由题意，得
，
即，
故选：A．
8．如图，在中，已知，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活灵活运用相关性质成为解题的关键．
利用平行四边形的性质和角平分线的性质得到是等腰三角形，进而求出，再求得的长即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵平分交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可以直接判断本题的答案．
【详解】解：结合图象，当时，
函数在函数的下方，
即不等式的解集是；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者x轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查．
10．在中，已知 ，，的垂直平分线分别交，于点，，点和点分别是线段和边上的动点，则 的最小值为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，由垂直平分，得，则，当点三点共线，且时，有最小值，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴，
∴当点三点共线，且时，有最小值，
如图，
∵，
∴，，
由勾股定理得：，
∴有最小值，
故选：．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】直接提公因式分解因式，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分解因式，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．
12．若关于x的不等式的解集为 ，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】关键不等式的性质，解答即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】关于x的不等式的解集为 ，
故，
解得，
故答案为：．
13．若分式方程有增根,则等于 .
【答案】4
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：方程两边都乘以（x-2），得
，
∵原方程的增根是，
把增根代入，得：，
∴，
故答案为4.
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查代数式求值，公式法因式分解，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
当，时，原式．
故答案为：．
15．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PEAD，
同理，PFBC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则 ．
【答案】7
【分析】连接AE，BE，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，证明△ADE≌△BDE，△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC即可．
【详解】连接AE，BE，
∵AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°，DE=DE，
∴△ADE≌△BDE，
∴AE=BE．
过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵，,
∴∠ACE=∠GCE，
∵EF⊥AC，EC=EC
∴EF=EG，
∴△AFE≌△BGE，△EFC≌△EGC，
∴AF=BG，CF=CG，
∴AF=BG=BC+CG=BC+CF=BC+AC-AF，
∴2AF=BC+AC，
∵AC=8，BC=6，
∴AF=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握三角形全等的判定好性质是解题的关键．
三．解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每题10分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算
(1)解不等式组：．
(2)解分式方程：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键．
（1）先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可；
（2）先将分式方程化为整式方程求解，再检验方程的解即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：；
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
∴是原分式方程的解．
18．先化简，再求值：（1）÷，其中x是从0，1，2，3中选取的一个合适的数．
【答案】，-2
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1-）÷
=
=
=，
当x=2时，原式==-2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求得的方法．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．
(1)将向下平移5个单位长度得到；
(2)将绕点顺时针旋转后得到，并写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了作图，平移和旋转作图，熟悉平移和旋转性质是解题的关键．
（1）利用平移的性质可直接作出．
（2）利用旋转的性质以及网格的特点可直接作出，然后写出点的坐标即可．
【详解】（1）（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求
20．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【详解】解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
21．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF，
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
【答案】①见解析②22
【分析】①利用平行四边形的性质∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，结合AF＝DF，可判定△ABF≌△DEF，即可得出AB=DE；
②利用角平分线以及平行线的性质，即可得到AF=AB=3，进而得出BC=AD=6，CD=AB=3，依据△ABF≌△DEF，可得DE=AB=3，EF=BF=5，进而得到△BCE的周长.
【详解】
解：如图①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.
22．时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型．
根据以下素材，探索解决任务：
机器人模型购买方案设计
素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元
素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同
素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元
问题解决
任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案．
【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可；
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可．
【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元．
根据题意，，解得，
经检验，是原方程的根，
．
答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元．
（2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，
，
解得．
又型机器人模型要尽可能的多，
取最大值15，此时．
答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台．
23．课本再现
三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：，分别是的边，的中点．
求证：，且．
知识应用
（2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形．
②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）①3；②见解析
【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质．
（）延长到点，使，连接，，．证明四边形是平行四边形，可得，且，再证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得结论；
（）①连接，由三角形中位线的性质得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
②连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证．
【详解】解：（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，．
，，
四边形是平行四边形，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，且．
又，
，且．
（2）①如图，连接，
∵，，分别是，，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形．
故答案为：3；
②证明：如图2，连接．
，，，分别是四边形各边的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
24．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，由（1）可得推出，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，得到为直角三角形，设，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．

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