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浙教版2024-2025学年八年级（下）期末数学模拟试卷
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意；
故选D．
2．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
把代入一元二次方程关于a的方程求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根，
∴，解得：或2．
故选：B．
3．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．（3分）（24-25八年级·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（）
小组项目 甲 乙 丙 丁
色 7 7 9 8
形 8 8 8 8
味 8 9 7 7
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】B
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的概念分别计算出四人的平均得分，从而得出答案．
【详解】解：甲组的平均得分为（分，
乙组的平均得分为（分，
丙组的平均得分为（分，
丁组的平均得分为（分，
获得最高分的是乙组．
故选：B．
5．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（ ）
A．5∶2 B．2∶1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出，证明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解．
【详解】∵、、、是四个全等的直角三角形，
∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90°
∴四边形ABCD是正方形
∵BE：AE=1:2
∴BE=HE=DG
∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB
∴△HGM≌△EBM
∴BM=GB，故BG：MG=2:1
又BFDH，BE=DG
∴四边形 是平行四边形
∴BGDE
∵AECG
∴四边形 是平行四边形
∵平行四边形与平行四边形的高相等
∴四边形和四边形的面积比为BG：MG=2:1
故选B．
【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．
6．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　）
A． B．1 C．或 D．或1
【答案】A
【分析】该题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识点，根据方程解的定义判断出，构建关于a的方程求解即可．
【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根，
，
，
，
，
∴或，
当时，一元二次方程为，此时方程无解，舍去．
．
故选：A．
7．（3分）（24-25八年级·广东茂名·期末）如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，再根据四边形是平行四边形求得，然后根据可得，即；进一步得到反比例函数为、直线解析式为，再将代入求得满足题意的x，然后将代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴
∴，
∵
∴，即，
∴，
∴反比例函数为，
设直线解析式为，
把，代入可得：
，解得：，
∴直线解析式为，
将代入可得：，解得：，
∵点E在第一象限，
∴，
把代入，
解得：，
则点E的纵坐标为∶
故选∶A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、平行四边形的性质等知识点，正确求得反比例函数和直线解析式是解答本题的关键．
8．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先得出是菱形，从而得到，由得出，再证明，从而得到，，又由推导，从而求出，，最后利用即可得到结论．
【详解】解：在中，，
∴是菱形，
，
，
，
，
，
，是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，待定系数法求解析式．
过点E作于点F，由矩形的性质与三角形中位线的性质得到，设点A的坐标为，点E的坐标为，则，得到．根据，推出，即可解答．
【详解】解：过点E作于点F，
∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点A的坐标为，点E的坐标为，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定②正确；根据三角形底和高之间的关系和平行四边形的性质确定和，进而得到，可判断③不正确．
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．故①正确．
②如下图所示，连接，，
∵是中点，
∴．
∵、分别是、中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴故②正确．
③如上图所示：∵是中点，
∴．
∵是中点，
∴．
∵平行四边形的对角线、交于点，
∴是中点，．
∴．
∵是中点，是中点，
∴．
∴．故③不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：八边形的内角和为：，
故选：．
12．（3分）（24-25八年级·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的加法，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，再对通分化简，代入即可．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级·河南新乡·期中）图，在矩形中，，，为的三等分点（），是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点运动秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点恰好落在边上，则的值为 ．
【答案】或7
【分析】由是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，可知，需要分类讨论，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理，即可求解．
【详解】设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点，
①如图1，过点作交于点，在上，
可得四边形为矩形，
∴，，
∵为的三等分点，，
∴由折叠可得．
在中，由勾股定理，得
，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理，得
，
解得，
∴．
故．
②如图2，过点作交于点，在上．
可得四边形为矩形，
∴，．
在中，由勾股定理，得
，
，
设，则，
则．
在中，由勾股定理，得
，
，即，
则，
综上所述，或7．
故答案为：或7．
【点睛】本题主要考查了动点问题、折叠问题、勾股定理、矩形的性质．
15．（3分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）在一次引体向上测试中，某小组名男生的成绩分别为：，，，，，，，，若这组数据的唯一众数为，则这组数据的中位数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了众数，中位数的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据这组数据的唯一众数为，可得，再将数据从小到大的顺序排列后，得到中间位置的第四个数和第五个数的平均数即为中位数．
【详解】∵在这组数据，，，，，，，中，有唯一众数为，
∴，
∴这名男生的成绩从小到大的顺序排列后为，，，，，，，，
处于中间位置的第四个数和第五个数分别是，，
∴这组数据的中位数为，
故答案为．
16．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 .
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的纵坐标相同，不妨设，，借助，求得答案．
【详解】解：轴，
、的纵坐标相同，
不妨设，，
，
，
．
故答案为：．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·福建泉州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可；
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
19．（8分）（24-25八年级·内蒙古通辽·阶段练习）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
(1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4个单位长度得到，画出．
(3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
20．（8分）（24-25八年级·广东珠海·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求I与R的函数关系式；
(2)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)用电器可变电阻应不低于3.6Ω
【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流与电阻之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）根据题意得出，即，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：设，
将，代入，得：，
∴；
（2）解：由题意可得：，即，
解得：，
∴用电器可变电阻应不低于．
21．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到．
【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键．
22．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期末）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元．
(1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率．
(2)将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元．
【答案】(1)
(2)元或元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，设平均每年成本的增长率为，根据前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元，列式，再解出的值，即可作答．
（2）根据将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套，列式，再解出的值，即可作答．
【详解】（1）解：设平均每年成本的增长率为，
依题意，得，
解得（负值已舍去），
∴平均每年成本的增长率为，
（2）解：设该套尺每涨价元，
依题意，得，
解得或；
∴（元）或（元），
∴今年售价定为元或元才能使销售额刚好为14万4千元．
23．（12分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式和点坐标；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由 的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据反比例函数的中心对称性求得B点的坐标；
（2）根据图象即可求解；
（3）分两种情况，根据“和谐点”的定义列方程解题即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点，
；
（2）解：观察图象，时，的取值范围是：或 ；
（3）解：设，则，
如图1，
当在点的下方时，则，
解得，
，
，
如图2，
当在点的上方时，，则，
解得 ，
，
，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
24．（12分）（2025·吉林长春·一模）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）．
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年八年级（下）期末数学模拟试卷
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·湖北随州·期中）下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2 D．0或
3．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25八年级·山西太原·期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为“世界面食之根”．为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼”活动．下面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是（）
小组项目 甲 乙 丙 丁
色 7 7 9 8
形 8 8 8 8
味 8 9 7 7
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
5．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（ ）
A．5∶2 B．2∶1 C． D．
6．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　）
A． B．1 C．或 D．或1
7．（3分）（24-25八年级·广东茂名·期末）如图，四边形是平行四边形，点B在x轴上，的延长线与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点，且与边交于点E．若，且，则点E的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（24-25八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，，，对角线交于点，为直角三角形，是斜边的中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，矩形的中心与点都在反比例函数的图象上，点，在轴上，若的面积为9，则的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
10．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点，则①；②；③．上述结论中正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．
12．（3分）（24-25八年级·四川凉山·期末）已知，则的值为 ．
13．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）已知是方程的两个根，则 ．
14．（3分）（24-25八年级·河南新乡·期中）图，在矩形中，，，为的三等分点（），是从出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点运动秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点恰好落在边上，则的值为 ．
15．（3分）（24-25八年级·河北石家庄·期末）在一次引体向上测试中，某小组名男生的成绩分别为：，，，，，，，，若这组数据的唯一众数为，则这组数据的中位数为 ．
16．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 .
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·福建泉州·期末）计算：．
18．（6分）（24-25八年级·江苏无锡·期末）解方程：
(1)；
(2)．
19．（8分）（24-25八年级·内蒙古通辽·阶段练习）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
(1)作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（_____），（_____）；
(2)把向上平移4个单位长度得到，画出．
(3)与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（_____）．
20．（8分）（24-25八年级·广东珠海·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求I与R的函数关系式；
(2)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
21．（10分）（24-25八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．（10分）（24-25八年级·河南郑州·期末）为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元．
(1)如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率．
(2)将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元．
23．（12分）（24-25八年级·河南郑州·期末）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式和点坐标；
(2)直接写出时的取值范围；
(3)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标．
24．（12分）（2025·吉林长春·一模）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

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