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浙教版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·河南新乡·期中）若是方程的一组解，则（ ）
A． B．7 C．5 D．
2．（3分）（24-25七年级·江苏泰州·期中）若x，y满足，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（3分）（24-25七年级·湖南永州·期中）如果，那么代数式的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）某次考试中，班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法错误的是（ ）

A．组距为 B．该班的总人数为人
C．最低分为分 D．及格分率为
6．（3分）（24-25七年级·安徽芜湖·期中）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
8．（3分）（24-25七年级·湖北鄂州·阶段练习）已知关于x的分式方程 无解，实数m的值为 （ ）
A．－4 B．－10 C．－4或－10 D．±1
9．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2021
10．（3分）（24-25七年级·河南开封·期中）如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（24-25七年级·四川成都·阶段练习）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
13．（3分）（24-25七年级·四川成都·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
14．（3分）（24-25七年级·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
15．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
16．（3分）（24-25七年级·浙江温州·周测）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·重庆万州·阶段练习）化简或解方程：
(1)；
(2)．
18．（6分）（24-25七年级·广东深圳·期中）分解因式：
(1)；
(2)先因式分解，再计算求值：，其中．
19．（8分）（24-25七年级·山西运城·阶段练习）已知，求代数式的值．小华的解法如下：
解：原式…………………………①
………………………………②
．……………………………③
由，得，……………………………………④
所以原式．…………………………………⑤
根据小华的解法解答下列问题：
(1)小华的解答过程在第______步上开始出现了错误．
(2)请你借鉴小华的解题方法，写出此题正确的解答过程．
20．（8分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
21．（10分）（24-25七年级·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只．
①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）．
②根据题意，列出一个含有x，y的方程________．
(2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由．
22．（10分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）八年级（1）班40名学生某次环保知识测试的成绩如下（单位：分）：
．
老师按10分的组距分段，计算出每个分数段学生成绩出现的频数，填入下表：
成绩段
频数记录 正 正正 正
频数 2 9 14 5
频率 0.050 0.225 0.350
(1)请把频数分布表和频数分布直方图补充完整．
(2)请帮助老师统计这次环保知识测试的及格率（60分及60分以上为及格）和优秀率（90分及90分以上为优秀）．
(3)设测试成绩为x分，当时，将成绩记为A级；当时，将成绩记为B级；当时，将成绩记为C级．请用扇形统计图表示分布情况．
23．（12分）（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
24．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·河南新乡·期中）若是方程的一组解，则（ ）
A． B．7 C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程解的定义，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．
把方程的解代入得，从而确定，整体代入计算即可．
【详解】是方程的一个解，
，
，
，
故选：B．
2．（3分）（24-25七年级·江苏泰州·期中）若x，y满足，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，熟练掌握平方差公式和整体代入法是解题的关键．将两个等式相减，整理得到，结合，得到，再利用整体法代入求值即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．（3分）（24-25七年级·湖南永州·期中）如果，那么代数式的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键．
先将括号里通分，进行加法计算，再进行分式乘法运算，再把分子分解后约分得到，最后利用进行整体代入计算即可．
【详解】解：原式=
∵
∴
∴原式，
故选：B．
4．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）某次考试中，班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法错误的是（ ）

A．组距为 B．该班的总人数为人
C．最低分为分 D．及格分率为
【答案】C
【分析】根据统计图的数据一次判断即可．
【详解】解：A：根据统计图可以得到组距为10，该选项不符合题意；
B：总人数为，该班的总人数为人，该选项不符合题意；
C：根据统计图可以得50分到60分之间的人数为4人，并不能得到最低分为50，该选项符合题意；
D：大于等于60分的人数为36人， ，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查统计图，解题的关键是能够从统计图中得到正确的数据进行分析．
6．（3分）（24-25七年级·安徽芜湖·期中）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则，再求出，则，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
，
∴，
∴，
故选：D．
7．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义、几何图形中的角的计算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
由于则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到可判定A选项；利用可得，则，即平分即可判定B选项；利用，可计算出，则可判定C选项；根据，即可判定D选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即B选项正确，不符合题意；
，
，
，
∴，即C选项正确，不符合题意；
，而，即，即D选项错误，符合题意．
故选D．
8．（3分）（24-25七年级·湖北鄂州·阶段练习）已知关于x的分式方程 无解，实数m的值为 （ ）
A．－4 B．－10 C．－4或－10 D．±1
【答案】C
【分析】由分式方程有意义有，方程无解即系分式方程求得的解刚好是，进而求得m的值．
【详解】解：分式方程两边同乘以，得：；
解得：，
由分式方程有意义，有：
，即；
∵分式方程无解，
∴；
解得或．
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的求解，明白方程无解即方程的解刚好使得分式方程无意义是解题的关键．
9．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．2021
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则有，
解得：，
∴，
故选：B．
10．（3分）（24-25七年级·河南开封·期中）如图，大长方形是由正方形A、B和长方形①、②、③组成，若长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，则正方形A、B的边长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，整式的加减法，列代数式，表示出两个正方形边长之间的数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长，得到方程组解出a、b，即可求出正方形A、的边长之比．
【详解】解：设正方形A的边长为，正方形的边长为，
则长方形②的宽为，长为；
长方形①的长为，宽为 ，
∵长方形①的周长为25，长方形②的周长为13，
，
解得：，
则正方形A、B的边长之比是
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且且
【分析】根据使分式有意义的条件：分式的分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，，，
∴x的取值范围是且且．
故答案为：且且．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键．
12．（3分）（24-25七年级·四川成都·阶段练习）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
【答案】我爱西区
【分析】将题干算式因式分解，后于所对应汉字对应即可求解．
【详解】解：
，
∵5对应“我”，对应 “区”，对应“西”， 对应“爱”，
∴可能的密码信息是：我爱西区，
故答案为：我爱西区．
【点睛】本题考查因式分解，且与现实生活联系创新，正确分解并于所对应汉字对应为关键．
13．（3分）（24-25七年级·四川成都·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出，可得，然后结合已知可得答案．
【详解】解：，
得：，
∴，
∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，
∴，
故答案为：．
14．（3分）（24-25七年级·福建漳州·期中）若成立，且、、均为整数，则满足条件的的值有 个．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键将已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】 ，
因为，
可得：，
因为、、为整数，
所以满足条件的的值为，，
即满足条件的的值为，，，共个，
故答案为：
15．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
【答案】或或或
【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，此时停止运动，
，解得：；
④当时，此时停止运动，
，解得：，
综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行，
故答案为：或或或．
16．（3分）（24-25七年级·浙江温州·周测）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
【答案】15
【详解】解：依据调和数的意义，
有－＝－，
解得x＝15，
经检验：x=15为原方程的解，
故答案为15.
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·重庆万州·阶段练习）化简或解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键．
（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得；
（2）方程两边同乘以化成一元一次方程，解方程可得的值，然后进行检验即可得．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
方程两边同乘以去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验，当时，，
所以是方程的解．
18．（6分）（24-25七年级·广东深圳·期中）分解因式：
(1)；
(2)先因式分解，再计算求值：，其中．
【答案】(1)
(2)；-8
【分析】（1）先提公因式，再用因式分解即可．
（2）先因式分解，再求值即可．
【详解】（1）
；
（2）
当时，原式=
．
【点睛】本题考查因式分解及整式混合运算，选择正确的分解方法是求解本题的关键．
19．（8分）（24-25七年级·山西运城·阶段练习）已知，求代数式的值．小华的解法如下：
解：原式…………………………①
………………………………②
．……………………………③
由，得，……………………………………④
所以原式．…………………………………⑤
根据小华的解法解答下列问题：
(1)小华的解答过程在第______步上开始出现了错误．
(2)请你借鉴小华的解题方法，写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式求值，正确的计算是解题的关键．
（1）直接利用整式的混合运算法则判断即可；
（2）直接利用整式的混合运算法则计算，进而将已知代入求出答案．
【详解】（1）解：小华的解答过程在第②步上开始出现了错误，
故答案为：②；
（2）解：
．
由，得，
所以原式．
20．（8分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键．
（1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答；
（2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答；
【详解】（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴
21．（10分）（24-25七年级·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题．
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只．
①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）．
②根据题意，列出一个含有x，y的方程________．
(2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
(3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由．
【答案】(1)①，；②
(2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
(3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解．
（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
买了只小鸡，买小鸡花了文钱．
故答案为：；．
②根据题意得：．
故答案为：．
（2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只，
根据题意得：，
解得：，
．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
（3）解：根据题意得：，
化简得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，舍去．
故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
22．（10分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）八年级（1）班40名学生某次环保知识测试的成绩如下（单位：分）：
．
老师按10分的组距分段，计算出每个分数段学生成绩出现的频数，填入下表：
成绩段
频数记录 正 正正 正
频数 2 9 14 5
频率 0.050 0.225 0.350
(1)请把频数分布表和频数分布直方图补充完整．
(2)请帮助老师统计这次环保知识测试的及格率（60分及60分以上为及格）和优秀率（90分及90分以上为优秀）．
(3)设测试成绩为x分，当时，将成绩记为A级；当时，将成绩记为B级；当时，将成绩记为C级．请用扇形统计图表示分布情况．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)见解析
【分析】本题主要考查的是频数直方分布图以及图表分析能力，扇形统计图，掌握频数直方分布图以及图表有关知识是解题关键．
（1）根据图表频数可得出划记数与根据表格画出频率直方图即可；
（2）已知人数共有40人，根据及格与优秀的要求分别求出及格与优秀人数，利用及格率与优秀率公式计算即可；
（3）根据各个等级人数，计算出其在扇形中的圆心角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，：
成绩段
频数记录 正 正正 正正 正
频数 2 9 10 14 5
频率 0.050 0.225 0.25 0.350 0.125
补充频数分布直方图，如下：
（2）由题可知及格人数为38人，则及格率为，
优秀人数为5人，则优秀率为；
（3）由题意可知级人数为12人，则在扇形中的圆心角为，
级人数为23人，则在扇形中的圆心角为，
级人数为5人，则在扇形中的圆心角为，
画出扇形统计图，如下：
23．（12分）（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键．
（1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案；
（2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案；
（3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴
，
∴；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，
∴为整数，即为整数，
又∵
∴或，
∴或；
（3）解：∵
∴
，
∴．
24．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，进而得出，则，即可得证；
（2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解；
（3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点作，
设，
∵
∴
设
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵
∴
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
设
∵与的角平分线交于点，
设
如图所示，
∵
由（1）可得，
∴
；
如图所示，
由（1）可得，
∴
如图所示，
由（1）可得，
∴
综上所述，或或

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