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浙江省杭州市2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．比 B．立 C．秝 D．鼎
【答案】A
【分析】本题考查了平移的性质，平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答．
【详解】解：结合平移的性质，观察四个选项，
唯有是能用其中一部分平移得到的，
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：①不可以因式分解；
②可以用平方差公式进行因式分解；
③不可以因式分解；
④可以用完全平方公式进行因式分解；
⑤可以用完全平方公式进行因式分解．
故选：B．
4．已知是方程的一组解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了方程解的概念，掌握方程解的概念是解答本题的关键．
根据方程解的概念，将，代入方程即可求出的值．
【详解】解：是方程的一组解，
将，代入方程，得，
解得：，
故选：B．
5．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
【答案】C
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：，
分式方程两边同乘以得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：C．
6．已知关于，的方程组的解满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据二元一次方程组得解法得到，又，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用及整体思想是解题的关键．
【详解】解：
得：，
又∵，
∴，解得：，
故选：．
7．下列调查中，适合用抽样调查方式的是（ ）
A．旅客登飞机前的安检 B．了解全校同学每周的体育锻炼时间
C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．学校招聘教师，对应聘人员面试
【答案】C
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可．
【详解】解：A．旅客登飞机前的安检，事关重大，适合普查，不符合题意；
B．了解全校同学每周的体育锻炼时间，此调查适合普查，不符合题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，符合题意；
D．学校招聘教师，对应聘人员进行面试，由于工作量不大且普查收集的数据更加准确，此调查适合全面调查，不适合抽样调查，不符合题意；
故选：C．
8．对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（ ）”中应填的运动项目是（ ）
A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球
【答案】B
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
根据足球的频数和百分比可得调查总人数，根据柱的高度从高到低排列的和扇形所占的百分比得出游泳的百分比是，求出骑自行车和篮球的人数为和，再根据柱的高度从高到低排列，即游泳人数排第三，得出第三个柱为游泳．
【详解】根据题意可得足球人数最少，占比，
故总人数为：(人)，
游泳的百分比是：，
游泳的人数是：(人)，
剩余的人数是： (人)，
∵柱的高度从高到低排列，
∴图中前两个柱一个为自行车，一个为篮球，应填的游泳，第三个柱为游泳，
故选：B．
9．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查从实际问题中抽取分式方程，理解题意是解题的关键．根据题中的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天植树x棵，
根据等量关系即可得到，
故选B．
10．如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ）
A．正方形的边长 B．正方形的边长
C．正方形的边长 D．正方形的边长
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，
设正方形的边长分别为，正方形的边长为，
则，，，，，，
∴，，
∴
故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。）
11．因式分解：
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
【详解】解：；
故答案为：
12．若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则 ．
【答案】
【分析】本题根据完全平方公式的结构特征进行分析，两倍的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾的两位数的情况下，对中间项2倍乘积要分正负两种情况，这点特别注意．根据首末两项分别是和2的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
13．近年来，西溪湿地南迁的候鸟种群越来越多．为监测西溪湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤200只．在这次调查中，样本容量是 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了样本容量的定义，解题的关键是熟练掌握样本容量指一个样本的必要抽样单位数目，注意样本容量不带单位．根据样本容量的定义进行解答即可．
【详解】解：鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，则本次抽样调查的样本容量是30．
故答案为：30．
14．某地区空气中的平均浓度为，数用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
15．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意列出方程组即可求解，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得：，解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：．
16．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由折叠得，根据，得到，由折叠的性质得到，即，再根据求出，代入数值即可求出答案．
【详解】解：根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
又∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵，，，
∴，
将代入上式，即，
解得，
故答案为．
三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分）
17．解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解．
【分析】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
18．先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，．
【分析】本题考查的是分式的化简求值．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，，
，，
时，原式．
19．为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
(1)频数表中，___________，___________，___________．
(2)把频数直方图补充完整．
(3)若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
【答案】(1)、、
(2)见解析
(3)人
【分析】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体，
（1）根据频数=总数×频率、各组人数之和等于总人数求解即可；
（2）根据所求、的值即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中短跑成绩小于或等于秒的人数所占比例即可．
【详解】（1）解： ，，，
故答案为：、、；
（2）补全图形如下：
（3）人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人．
20．某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同．
(1)求甲、乙两种糖果的售价；
(2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案．
【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元
(2)2
【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可；
（2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可．
【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴（元），
答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元．
（2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，
由题意得，，
即，
∵a、b均为正整数，
∴或，
答：共有2种购买方案．
21．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)20
(2)6
(3)3或
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键．
（1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算．
【详解】（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
22．一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边，碰到上的点P后反弹而滚向桌边，碰到上的点Q后反弹而滚向点R．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．
(1)判断并直接写出和的位置关系．
(2)猜想是否平行于？说明理由．
(3)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)，见解析；
(3)
【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1 ）先证明，进而可证；
（2 ）先证明，结合角平分线的定义可得，从而；
（3 ）先求出，从而，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2），
理由：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法：
解：，
是非负数
当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最小值；
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3)5
【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可；
（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最大值即可．
【详解】（1）解：，
∵是非负数，
∴当时，的值最小，最小值为2，
∴的最小值为2；
（2）解：
，
，
．
的最小值是．
（3）解：，
，
∴
，
，
．
的最大值．
24．如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．

(1)如图①，若，求的度数．
(2)如图②，若，平分，求的度数．
(3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据平角的定义和已知角求解即可；
（2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案；
（3）根据t的取值范围分别进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2），
,
平分，
∴，
∴；
（3）由得
当时，，
解得，（舍）；
当时，，
解得，；
当时，，
解得（舍）；
当时，，
解得，，
综上所述，或．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A．比 B．立 C．秝 D．鼎
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知是方程的一组解，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
5．若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
6．已知关于，的方程组的解满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列调查中，适合用抽样调查方式的是（ ）
A．旅客登飞机前的安检 B．了解全校同学每周的体育锻炼时间
C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．学校招聘教师，对应聘人员面试
8．对若干名青少年进行“你最喜爱的运动项目”的问卷调查，得到如下不完整的扇形统计图图及条形统计图图（柱的高度从高到低排列）条形统计图不小心被撕掉了一块，则图的“（ ）”中应填的运动项目是（ ）
A．足球 B．游泳 C．骑自行车 D．篮球
9．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ）
A．正方形的边长 B．正方形的边长
C．正方形的边长 D．正方形的边长
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。）
11．因式分解：
12．若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则 ．
13．近年来，西溪湿地南迁的候鸟种群越来越多．为监测西溪湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤200只．在这次调查中，样本容量是 ．
14．某地区空气中的平均浓度为，数用科学记数法表示为 ．
15．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个．
16．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ．
三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分）
17．解方程（组）：
(1)； (2)．
18．先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
19．为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
(1)频数表中，___________，___________，___________．
(2)把频数直方图补充完整．
(3)若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
20．某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同．
(1)求甲、乙两种糖果的售价；
(2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案．
21．对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
(3)若，，求的值．
22．一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边，碰到上的点P后反弹而滚向桌边，碰到上的点Q后反弹而滚向点R．如果，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于．
(1)判断并直接写出和的位置关系．
(2)猜想是否平行于？说明理由．
(3)若，求的度数（用含α的代数式表示）．
23．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法：
解：，
是非负数当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最小值；
(3)若，求的最大值．
24．如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．

(1)如图①，若，求的度数．
(2)如图②，若，平分，求的度数．
(3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值．

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