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浙江省杭州市2024-2025学年八年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的加法，乘法与除法运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的加法，乘法与除法运算的运算法则，化简二次根式的方法逐一计算判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、与不能合并，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（ ）
A．，都大于 B．，都大于等于
C．，都小于 D．，都小于等于
【答案】A
【分析】本题考查对反证明法的理解，用反证明法证明命题时，一般先假设结论不成立，再假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面有可能的情况，本题即是找出命题结论“至少有一个锐角不大于”的反面，得到最终答案．
【详解】解：由“至少有一个锐角不大于”的反面是“每一个锐角都大于”可知应先假设每一个锐角都大于．
故选：A．
4．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）
A． B．2 C．2或 D．4或
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得．
故选：A．
5．已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故选：B．
6．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得，，，根据两直线平行，内错角相等可推得，根据等角对等边可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得，结合直角三角形中两个锐角互余可得，推得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可列出方程，解方程求出的值，即可求解．
【详解】解：连接、，如图，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
设，则，
即，
在中，，
在中，，
即，，
解得：，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的定义，矩形的性质，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7．已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 ( )
A．若 ，则 B．若，则
C．若 ，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
由可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项一一分析即可；
【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二四象限，
当 时，
若 ，则且，或，故或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若 ，则且，或，故，故C正确；
若，则，则，故D错误；
故选：C．
8．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故选：B．
9．如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形正方形矩形菱形
C．平行四边形矩形平行四边形菱形
D．平行四边形菱形正方形矩形
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，可得四边形形状的变化情况．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键．
10．正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键．
分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
，是等腰直角三角形，
同理可得：，，都是等腰直角三角形，
于是：，，，，
，
．
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。）
11．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，解得，
故答案为：．
12．在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则 ．
【答案】6
【分析】题目主要考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，熟练掌握多边形的内角和与外角和的关系是解题关键．
利用多边形的内角和与外角定义列得方程，解方程求得n的值即可．
【详解】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
13．某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ．
【答案】乙
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
【详解】解：由题意可得，
甲的成绩为：
乙的成绩为：
丙的成绩为：
∵，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
14．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ；
（2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质．
（1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案．
【详解】（1）连接、
四边形为平行四边形
， ，，，，
，，
四边形，，，，，为平行四边形，
点P是平行四边形的对称中心，
点E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的，
设四边形面积为，则，
，，，
∴，
，
故答案为：；
（2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点间的距离公式、三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定是解决本题的关键．过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，然后证明．可得，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用两点间的距离公式即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，
点和关于轴对称，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积为，边长为，
，解得，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，三点共线时，取最小值，
的最小值的最小值.
故答案为：.
三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解；
（2）先利用乘法法则展开并计算二次根式的除法，再计算加减，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【详解】（1）解：，
，
，
即，；
（2）解：，
，
则或，
解得，．
19．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点C作于点E，则，证明是等腰直角三角形，得，再证明四边形CDBE是平行四边形，得，，则，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作于点E，
则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：
(1)根据图，完成表格：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
(2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
【答案】(1)表见详解
(2)八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐，理由见详解
【分析】（1）根据条形统计图给出的数据，把这组数据从小到大排列，找出最中间的数求出中位数，再根据众数、平均数的定义即可得出答案；
（2）根据方差的公式计算可得出两个班的方差，根据平均数和方差，再进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：∵八（1）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的中位数是分，众数是分，平均数分；
∵八（2）的成绩分别是，把这组数据从小到大排列为，
∴这组数据的众数是90分，
填表如下：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
（2）解：八（1）班参加比赛选手的成绩比较整齐；
理由如下：八（1）的成绩的方差为；
八（2）的成绩的方差；
∵两个班的平均分相同，均为，八（1）班的方差小，，
∴八（1）班选手的成绩总体上较整齐．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键．
（1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程；
（2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可．
【详解】（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
22．实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．

(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)矩形种植园一边的长15米
(2)不能围成面积为的矩形种植园
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键．
（1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可；
【详解】（1）解：设的长为x米，
则，
解得： ．
∵ ，
∴，
∴舍去， ．
答：矩形种植园一边的长15米．
（2）解：设的长为x米，
则 ， 化简得，
，
∴不能围成 ，
答：不能围成面积为的矩形种植园．
23．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
（）由正方形的性质可得，，，，，由“”可证 ，可得；
（）分两种情况：当与的夹角为时，当与的夹角为时，分别画出图形求出结果即可；
【详解】（1）证明：如图，作于，于，

∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，， ，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当与的夹角为时，如图，

∴，，
∴，
∵，
∴，
②当与的夹角为时，如图，
过作于点，过作于点，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
综上所述：或 ．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
24．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解；
（3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴
折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为，
，，
∴
四边形是平行四边形
又
四边形为菱形．
（2）解：点与点重合，
设，则，，
在中，，即，
解得，
点的坐标为；
（3）解：由(2)得坐标为，
设点坐标为，
点都在反比例函数的图象上，
，，
即：，
解得，
坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，
连结，
，，
四边形的周长，
当四点共线时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，把，，代入，得
，
解得，
直线的解析式为：，
令，即，得，
点的坐标为，点的坐标为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市2024-2025学年八年级（下）期末数学模拟试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共10分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（ ）
A．，都大于 B．，都大于等于
C．，都小于 D．，都小于等于
4．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）
A． B．2 C．2或 D．4或
5．已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 ( )
A．若 ，则 B．若，则
C．若 ，则 D．若，则
8．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
9．如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形正方形平行四边形矩形
B．平行四边形正方形矩形菱形
C．平行四边形矩形平行四边形菱形
D．平行四边形菱形正方形矩形
10．正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。）
11．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
12．在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则 ．
13．某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ．
14．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为 ．
15．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ；
（2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）．
16．如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ．
三、解答题（第17、18小题8分，第19、20小题各9分，第21、21、23小题各11分，第24小题13分，共80分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程
(1)；
(2)．
19．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
20．我市某中学八年级举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，其中八年级（1）、八年级（2）班派出的名选手的比赛成绩如图所示：
(1)根据图，完成表格：
中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
班
班
(2)请问，哪个班参加比赛选手的成绩比较整齐？为什么？
21．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
22．实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．

(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
23．四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
24．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．

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