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北师大版2024-2025学年八年级（下）期末数学测试试卷
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·陕西西安·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（3分）（24-25八年级·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．
4．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）下面是嘉嘉和淇淇对于问题“已知，求的值．”进行求解时的过程，其中判断正确的是（ ）
嘉嘉：∵， ∴， ∴． 淇淇：∵， ∴可设，， ∴．
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
5．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期末）老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（ ）
A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形
C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形
6．（3分）（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为2.5，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．7
8．（3分）（24-25八年级·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）已知，，则与的大小关系是 ．
12．（3分）（24-25八年级·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ．
13．（3分）（24-25八年级·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为 ．
15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °．
16．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）
(1)
(2)
18．（6分）（24-25八年级·河北邯郸·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
19．（8分）（24-25八年级·山东青岛·期末）（1）计算：；
（2）解方程：；
（3）已知，求的值．
20．（8分）（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
21．（10分）（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号）
22．（10分）（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
(2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
23．（12分）（24-25八年级·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．
【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．

24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2024-2025学年八年级（下）期末数学测试试卷
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·陕西西安·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D．
2．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查判断命题的真假，根据不等式的性质，等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：若，，不能得出，如，，但，故A选项是假命题；
当时，若，则，故B选项是假命题；
若，则，故C选项是假命题；
若，则，故D选项是真命题；
故选D．
3．（3分）（24-25八年级·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：A．
4．（3分）（24-25八年级·河北唐山·期末）下面是嘉嘉和淇淇对于问题“已知，求的值．”进行求解时的过程，其中判断正确的是（ ）
嘉嘉：∵， ∴， ∴． 淇淇：∵， ∴可设，， ∴．
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】C
【分析】此题考查了分式的求值，根据分式的性质计算即可作出判断．
【详解】解：嘉嘉：∵，
∴，
∴
故嘉嘉正确；
淇淇：∵，
∴可设，，
∴．
故淇淇正确；
综上可知，两人都正确，
故选：C
5．（3分）（24-25八年级·河北沧州·期末）老师在黑板上画出了如图所示的4个三角形，则下列判断正确的是（ ）
A．①不是等腰三角形 B．只有②是直角三角形
C．③是等边三角形 D．只有④是直角三角形
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理判定直角三角形．根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：图①中，另一个角为，因此该三角形中有两个角相等，该三角形是等腰三角形；
图②中，另一个角为，因此该三角形是直角三角形；
图③中，有两条边相等，又有一个内角是，从此该三角形是等边三角形；
图④中，因为，所以该三角形是直角三角形．
综上，判断正确的是C选项．
故选：C
6．（3分）（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在中，，，点是线段上任意一点，则的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，过点A作于，根据等腰三角形的性质求出，再确定的取值范围，再根据勾股定理求出，再根据可得最小值与最大值，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作于，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，，
则，
∴在中，，
当点与点重合时，的最小值为，
当点与点或点重合时，有最大值为，
∴的长可能是，
故选：C．
7．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，中，，平分，交于点，连接，点，分别是和的中点，若的长为2.5，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
∴，
故选：B．
8．（3分）（24-25八年级·福建福州·期末）已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案．
【详解】解：将方程转化为：，
方程的两根分别为m，，
，，
由，解得：，
由，解得：，
方程的根是：，，
故选：．
9．（3分）（24-25八年级·江西景德镇·期中）已知非负数 x，y，z 满足..，设 ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围．
【详解】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故选：C．
【点睛】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．
10．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】①根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数，进而可对结论①进行判断；
②证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；
③根据含有角的直角三角形的性质得当时，则AFEF，此时，则，但是根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断；
④过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断；
⑤在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，，进而再证明是等边三角形得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵和是等边三角形，
∴，，，
又∵，
∴，
；故结论①正确；
②连接，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故结论②成立；
③连接，如图2所示：
∵，
∴当时，则，
∴，
∴，
根据已知条件无法判定，故结论③不正确；
④过点A作于点M，于点N，如图3所示：
∵，
∴，
即，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∴，
∴点A在的平分线上，
∴平分，故结论④正确；
⑤在上截取，连接，设与交于点H，如图4所示：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）已知，，则与的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：
，，
，
故答案为： ．
12．（3分）（24-25八年级·甘肃陇南·期末）已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式方程求解，解决本题的灌浆是将x的值代入方程，列出关于k的方程．
根据题意，将代入分式方程，关于k的方程，求出即可.
【详解】解：将代入分式方程可得：
，
∴，
解得
故答案为：2
13．（3分）（24-25八年级·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点．熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．（3分）（24-25八年级·浙江杭州·期末）已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解与轴的交点坐标，再结合题意画出图象，结合图象可得答案.
【详解】解：∵，
当，解得：，
∴与轴的交点为，
∵函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，
如图，
∴时，
∴；
故答案为：
15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求．
【详解】解：如下图所示，连接，
点与点关于直线对称，
是的垂直平分线，
，
又 和为两个全等的等腰直角三角形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
16．（3分）（24-25八年级·河南平顶山·期末）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【分析】连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，由平行四边形性质可得，，可证明 ，再由全等三角形性质得，，则，求得，，，推得，由，求得，则中位线的长度即可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，
则，
四边形是平行四边形，
，，
，，
点、分别是、的中点，
，，，
在和中，
，
，
，，
，点、分别是边、的中点，
，，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、等角对等边，解题关键是正确地作出辅助线帮助求解．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组：
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
18．（6分）（24-25八年级·河北邯郸·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（8分）（24-25八年级·山东青岛·期末）（1）计算：；
（2）解方程：；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，分式的求值：
（1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（3）根据，得到，进而求出，将代数式因式分解后，利用整体代入法进行求值即可．
【详解】（1）解：原式
=
=；
（2）；
解：方程两边同乘，得，
∴，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
．
20．（8分）（24-25八年级·湖北省直辖县级单位·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析，，
(2)画图见解析，点
(3)
【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，数形结合是解题的关键．
（1）由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，并写出点，的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，；
（2）如图所示，即为所求，点；
（3）．
21．（10分）（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)底边的长为或．
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”；
（2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长．
【详解】（1）解：如图，取的中点D，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：
如图，当腰上的中线时，则，过B作于E，
∵，
∴，，
∴，
∴中，，
∴中，；
如图，当底边上的中线时，则，且，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，底边的长为或．
22．（10分）（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
(2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
(2)停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
（1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解．
【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元．
根据题意，得．
解得：．
经检验，是所列分式方程的解且符合题意．
则．
所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元．
（2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个．
根据题意，得，
解得．
为整数，
，15或16．
该停车场有3种购买方案．
方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个．
型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）．
23．（12分）（24-25八年级·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：；
【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度；
【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．
【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．

【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080
【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论；
尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则 ，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案；
拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则 ；
提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案．
【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：

由三角形外角性质得：，
；
尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：

由“建立模型”得：，
，
，
在中，，
，
故答案为： 180 ；
拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：
，
，
在中，，
，
由“尝试应用”得：，
；
提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，
∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：．
故答案为： 1080 ．
24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形；
(3)如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得．
（2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论．
（3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由 求解即可．
【详解】（1）解：如图，
∵
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∴．
（2）证明：取的中点H，连接，，
由（1）可知：四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形．
（3）解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图，
∵，
∴，，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

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