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10.2.2 加减消元法
数学人教版（2024）七年级下册
　　某种瓶装饮料有 A，B 两种包装盒，1 个 A 包装盒和 1 个 B 包装盒能装 6 瓶，2 个 A 包装盒和 1 个 B 包装盒能装 8 瓶．A，B 两种包装盒分别能装多少瓶？
　　解：设 A 种包装盒能装 x 瓶，B 种包装盒能装 y 瓶．
　　根据题意，可列方程组
　　你能用代入法解这个方程组吗？
　　由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入②，得 2x＋6－x＝8．
　　解这个方程，得 x＝2．
　　把 x＝2 代入③，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
思想：消元
方法：代入法
　　前面我们用代入法求出了方程组 的解，仔细观察，你能发现新的消元的方法吗？
　　思考：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？
　　两个方程中 y 的系数相等．
问题
　　思考：利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
　　用②－①可消去未知数 y，得 (2x＋y)－(x＋y)＝8－6．
　　解：②－①，得 2x－x＝8－6，
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2代入①，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
依据：等式的性质1
　　思考：①－②也能消去未知数 y，求出 x 吗？
　　用①－②也能消去未知数 y，得 (x＋y)－(2x＋y)＝6－8．
　　解：①－②，得 x－2x＝6－8，
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2 代入①，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
　　联系前面的解法，想一想怎样解方程组
问题
　　思考：此题中未知数 y 的系数有什么新的关系？
　　思考：利用这种关系你能想到什么办法消元？
　　两个方程中 y 的系数互为相反数．
　　用①＋②可消去未知数 y，得 (3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．
依据：等式的性质1
　　解：①＋②，得 15x＋3x＝2.8＋8，
　　解得 x＝0.6．
　　把 x＝0.6 代入①，得 y＝0.1．
　　所以这个方程组的解为
思考
　　这两个方程组的特点分别是什么？如何实现消元？依据是什么？
　　y 的系数相同，通过两方程相减实现消元，依据是等式的性质1．
　　y 的系数互为相反数，通过两方程相加实现消元，依据是等式的性质1．
　　当两个二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法这种方法叫作加减消元法，简称加减法．
加减消元法
加减消元法的依据是等式的性质．
　　用加减消元法解方程组
问题
　　思考：直接加减是否可行？为什么？
　　这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元．
　　用加减消元法解方程组
问题
　　在方程两边乘适当的数，变形成同一未知数在两个方程中的系数相反或相等．
　　思考：怎样对方程变形，使两个方程中某个未知数的系数相反或相同，进而使用加减消元法？
　　以用加减法消去未知数 y 为例，
　　解：①×2，得 8x－6y＝30．③
　　②×3，得 9x＋6y＝21．④
　　③＋④，得 17x＝51，解得 x＝3 ．
　　把 x＝3 代入①，得 y＝－1．
　　所以这个方程组的解为
思想：消元
方法：加减法
把 x＝3 代入②可以解得 y 吗？
　　思考：如果用加减法消去 x 应如何解？解得的结果一样吗？
　　解：①×3，得 12x－9y＝45．③
　　②×4，得 12x＋8y＝28．④
　　③－④，得 －17y＝17，解得 y＝－1．
　　把 y＝－1 代入①，得 x＝3．
　　所以这个方程组的解为
归纳
　　当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可以先在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，从而实现消元．
　　例如，　　　　　　可变形为
归纳
　　当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，再加减消元．
　　例如，　　　　　　可变形为
　　解：①＋②，得 2x＋x＝10＋5，
　　解得 x＝5．
　　把 x＝5 代入②，得 y＝0．
　　所以这个方程组的解为
　　例1　用加减法解方程组
　　解：②×2，得 2x－4y＝8．③
　　解得 x＝6．
　　把 x＝6 代入②，得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　例2　用加减法解方程组
　　①＋③，得 2x＋2x＝16＋8，
　　例3　用加减法解方程组
　　解：①×3，得 9x＋12y＝48．③
　　②×2，得 10x－12y＝66．④
　　③＋④，得 19x＝114，解得 x＝6．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝6 代入①，得 y＝－ ．
如果用加减法消去 x 应如何解？
　　加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
　　（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
加减法解二元一次方程组
一般步骤
基本思路
10.2.2 加减消元法
（第2课时）
　　用加减法解方程组
　　解：①×2，得 4x－10y＝－6．③
　　③＋②，得 －9y＝－9，
　　解得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝1 代入②，得 x＝1．
　　用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
变形
使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
加减
求值
回代
写解
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中，求出另一个未知数的值；
将两个未知数的值用“{”联立在一起．
　　上节课我们学习了加减消元法解二元一次方程组，由此我们能够解决哪些实际问题呢？本节课我们将学习加减法解二元一次方程组在实际生活中的简单应用．
问题
　　思考：本题中有哪些未知量？
　　 每头牛、每只羊的值金数．
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
问题
　　思考：本题中有哪些相等关系？
　　5×每头牛的值金数＋2×每只羊的值金数＝ 10 两；
　　2×每头牛的值金数＋5×每只羊的值金数＝ 8 两．
思考
　　如何用二元一次方程组表示上面的两个相等关系？
　　分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两”可列方程组
问题
　　解：设 每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两．
　　根据问题中的相等关系，列得方程组
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
　　①×2，得 10x＋4y＝20．③
　　②×5，得 10x＋25y＝40．④
　　答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两.
　　所以这个方程组的解是
　　④－③，得 21y＝20， y＝ .
把 y＝ 代入①，得 x＝ .
　　列二元一次方程组解决实际问题，需要从实际问题中找出两个相等关系，要根据相等关系选择适当的设未知数的方法，如直接设未知数、间接设未知数、设辅助未知数等．注意单位统一及检验所得到的解是否与实际意义相符合．
　　例　某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑、白两种颜色的文化衫共 140 件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
项目 批发价/元 零售价/元
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
　　假设文化衫全部售出，共获利 1 860 元，求黑、白两种文化衫各多少件．
　　分析：根据题意，设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y 件．根据题目中的数量关系可得：黑色文化衫件数与白色文化衫件数之和是 140，即______________；每件黑色文化衫的利润是____________元，每件白色文化衫的利润是____________元，两种文化衫共获利 1 860 元，即____________________________．联立两式构建二元一次方程组，进而求出x，y 的值．
x＋y＝140
25－10＝15
20－8＝12
(25－10)x＋(20－8)y＝1 860
　　解：设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y 件．
　　根据题意列方程组，得
　　去括号，得
　　解得 x＝60．
　　所以这个方程组的解为
　　答：黑色文化衫 60 件，白色文化衫 80 件．
　　①×12，得 12x＋12y＝1 680．③
　　把 x＝60 代入①，得 y＝80．
　　②－③，得 3x＝180，
归纳
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
设未知数
列方程组
解方程组
加减消元法
实际问题的答案
检验
①变形
②加减
③求值
④回代
⑤写解
加减法解二元一次方程组的简单应用
基本思路
找出相等关系
根据相等关系列出二元一次方程组
解二元一次方程组

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