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云南省2025年高三高考仿真考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
3.已知定义在上的函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
5.已知，设，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则正数的最小值是( )
A. B. C. D.
7.设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆的圆心在轴上，且圆与直线和都相切，点为直线：与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则( )
A. 若直线与圆相切，则
B. 当时，四边形的面积为
C. 的取值范围为
D. 若点，则为定值
10.某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立周年”为主题的知识测试，随机抽取了名学生的成绩单位：分进行统计，按成绩分成组：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
根据图中数据，下列结论正确的是( )
A. 这名学生成绩的极差介于至之间
B. 这名学生成绩的平均数小于中位数
C. 从名学生中随机抽取一名，其成绩不低于分的概率估计为
D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计为
11.函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是( )
A. 若是上的函数，则为上的函数
B. ，是上的函数
C. 是上的函数，则
D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为坐标原点，已知抛物线：的焦点到准线的距离为，点在上，点满足则直线斜率的最大值是______．
13.若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为______
14.某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与的误差不超过即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于件的概率不低于，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点．
求点到直线的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
16.本小题分
近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能，简称已然成为科技变革的核心驱动力有媒体称开启了我国新纪元某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，．
根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联
性别 男生 女生 合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计
网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．
求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望
假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得分，否则得分记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值．
参考公式与数据：，其中．
17.本小题分
已知椭圆：经过点，期左、右焦点分别为、，过的一条直线与椭圆交于、两点，的周长为
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、均异于点，证明直线与斜率之和为定值．
18.本小题分
现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
若是与的等比中项，求；
数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
求证：是和的减比中项；
当时，求证：．
19.本小题分
已知函数．
若，求在的值域
若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】由复数满足，
可知复数在复平面内对应点的轨迹为以、为两端点的线段，
而的几何意义为线段上的点到点的距离，
则的最大值是．
故选：．
3.【答案】
【解析】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以为周期的周期函数，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】
由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以．
故选：
5.【答案】
【解析】，；
，，，；
，，，，
综上，．
故选A．
6.【答案】
【解析】把函数的图象向左平移个单位长度，
所得到的图象对应的函数解析式为，
因为所得到的图象关于轴对称，
所以，即，
所以当时，．
故选：．
7.【答案】
【解析】如图：
的外接圆半径：．
设，，所以．
所以．
又，所以．
由得．
又，所以，
又，所以．
故选：
8.【答案】
【解析】依题意得，则，
不妨设在第一象限，准线与轴的交点为，
由抛物线的定义得，
所以在中，，
又在中，，，
所以，则，
解得，
则．
故选：．
9.【答案】
【解析】
因为圆的圆心在轴上，且与直线和都相切，
所以圆的标准方程为．
因为，是圆的切线，所以．
在中，．
对于，若直线与圆相切，则圆心到直线：的距离为，
即，解得，故A正确．
对于，当时，，又所以，
则，所以四边形的面积，故B错误．
对于，
．
因为，所以，
因为对勾函数在上单调递增，所以故C正确．
对于，由题意，知，，，，所以，，，四点共圆，
记此圆为圆，则为圆的直径，圆心，半径为，
圆的方程为因为是圆与圆的相交弦，
所以直线的方程为化简得，
所以直线经过定点因为，所以，
因为点在直线上，所以，即点在以为直径的圆上．
因为，，所以圆心为点，恰为点，半径为．
因为点在该圆上，所以为定值故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，，，
这名学生成绩的极差介于至之间，A错误；
对于，这名学生成绩的平均数；
，这名学生成绩的中位数为，
这名学生成绩的平均数小于中位数，B正确；
对于，这名学生中成绩不低于分的学生所占比例为，
从名学生中随机抽取一名，其成绩不低于分的概率估计为，C正确；
对于，记“从该校学生中随机抽取两名，这两名学生成绩都不低于分”为事件，“这两名学生中恰有一名学生成绩在内”为事件，
由选项C可知：，，
，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果．
【详解】若是上的函数，则有，．
设，则，
由得，，
，为上的函数，故A正确．
B.由题意得，，
对，，，即，
，是上的函数，故B正确．
C.若，则恒成立，即是函数，故C错误．
D. 由是上的函数，
得在上恒成立，
当时，，时，，
故时，，时，，
根据二次函数的性质可知，是函数的零点，
即，故．
记，，
由得，由得，
在上为减函数，在上为增函数，
故，即，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】由题意可得，，即，则抛物线：，
设，则，
可得，
点在抛物线上，，即，
则直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，由，
当且仅当，即时等号成立，可得；
当时，．
综上可知，直线的斜率的最大值为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】依题意，的展开式中只有第项的二项式系数最大，所以，
所以二项展开式的第项为，
令得，，
所以常数项为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为服从正态分布，，
所以，所以，所以，
所以，即每个零件合格的概率为．
因为合格零件不少于件的对立事件是合格零件件数为或，
且合格零件件数为或的概率为，
所以，即．
令，所以，即，
所以在上单调递减，而，，
所以不等式的解集为，所以的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】； ．
【解析】连接与交于点，设是的中点，连接，
是正方形，为正三角形，
，又面面，交线为，
平面，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
则，，
所以点到直线的距离；
设平面的法向量为，
则，
令则，
得，
又，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
得，
设面与面夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
16.【答案】因为，所以报名参加答题活动人数为，
又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为，
报名参加答题活动的女生人数为，又，所以样本中男生人数为，女生人数为，得到列联表为：
性别 男生 女生 合计
未报名参加答题活动
报名参加答题活动
合计
零假设为学生报名参加答题活动与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为，，，，，其中，
，所以的分布列为
所以，
，
以上两式相减得，
所以
每轮比赛甲得分的概率为，得分的概率为，
依题意可得，，当时，则，
因为，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
又且，所以数列是各项均为的常数列，则，
所以，解得
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
所以的最大值在为偶数时产生，又当为偶数时，
随着的增大而减小，所以当时，的最大值为．
17.【答案】Ⅰ由已知可知 的周长为，，得，
又椭圆经过点，得，
椭圆的方程为．
证明：Ⅱ由题设可设直线的方程为，，
化简，得，代入，得，
由已知，设，，，
则，，
从而直线，的斜率之和

，
故直线与斜率之和为定值．
18.【答案】由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得，
则，即有，，，而，
因此，由是与的等比中项，得，即，而，
所以．
由是和的减比中项，得，
而，则，于是，令，则，
因此，即，
由知，，，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，于是得，
所以是和的减比中项．
由知，，，，
由，得，，
而，当时，，，因此，
由，得，即，变形得，
因此，
，
所以．
19.【答案】解，
故为上增函数，减函数，
，
故值域为
令，故，．
所以，
令，
，
下面证明，其中．
令，，
则．
所以在上单调递增，
故，
所以当时，．
所以，
所以在上单调递增，
故．
若，即，则，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，
所以符合题意．
若，即，
此时，
又
，
且据及可得，
故，
所以．
又的图象在上不间断，
所以存在，使得，
且当时，，在上单调递减．
所以，其中，与题意矛盾，
所以不符题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是

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