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山东省济宁市育才中学2024 2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ）
A．24 B．36 C．64 D．81
2．已知为的导数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
4．已知定义域为R的函数（为的导函数），则（ ）
A． B．0 C． D．1
5．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
7．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（ ）
A．从六位专家中选两位的不同选法共有20种
B．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
10．已知函数，则（ ）
A．时，函数在上单调递增
B．时，若有3个零点，则实数的取值范围是
C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
D．若存在极值点，且，其中，则
11．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．存在，使得 B．函数的递减区间是
C．任意，都有 D．对任意两个正实数、，且，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 种．
14．已知实数，，满足，（其中为自然对数的底数），则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的有理项．
16．用0，1，2，3，…，9这十个数字．
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
17．某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
18．已知函数，，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最小值；
(3)设，讨论函数的零点个数.
19．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】不同方法的种数是：．
故选C．
2．【答案】B
【详解】根据导数的定义，，
所以.
故选B.
3．【答案】D
【详解】，
的通项公式为，
令，则，则，
令，则，则，
所以展开式中 的系数为.
故选D.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，所以，解得：，所以，所以.
故选C.
5．【答案】C
【详解】直线的斜率，函数定义域为，
点是曲线上任意一点，设，，
令，解得或（舍去），
，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为，
所以曲线上点到直线的最小距离，
为点到直线的距离.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由，
则
，
所以，
即被10除得的余数为0，结合选项可知只有2020被10除得的余数为0.
故选A
7．【答案】D
【详解】当时，令，则，所以在上单调递增，
当时，，即，
当时，，即，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以当时，，当时，，
所以不等式的解集为.
故选D.
8．【答案】B
【详解】解：函数，
，，，因此时，函数单调递增.
，，，可得函数在单调递增；
可得函数在单调递减.
可得：在时，函数取得极大值，.
画出图象：

可知：.
令，
①时，函数无零点.
②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去.
，由，可知：此时函数无零点，舍去.
③，解得或.
解得，.
时，，.此时函数无零点，舍去.
因此，可得：.
由恰有四个不同的零点，
∴，，.
解得：.
则a取值范围为.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；
对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；
对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；
对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；
故选BC.
10．【答案】BD
【详解】对于A：求导，当时，有2个不相等的实根，，在区间上，单调递减，故选项A错误.
对于B：当时，令，得，，若有3个零点，则极大值，极小值，实数的取值范围是，故选项B正确.
对于C：令二阶导数，得，则三次函数的对称中心是.当直线与曲线有3个不同的交点，，，且时，点一定是对称中心，所以，故选项C错误.
对于D：若存在极值点，则，，.令，得，因为，于是，
所以，化简得：，
因为，故，于是，即.故选项D正确.
故选BD.
11．【答案】BCD
【详解】因为，定义域为，，
令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，
令，
则．
在上为减函数，则，
令，由，得，
则，当时显然成立．
对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】令，则，
令，则，
所以.
13．【答案】480
【详解】解：依题意，首先染A区域有种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有种方法.
14．【答案】/
【详解】，
令函数，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，
即，，于是，即，
当且仅当，即时取等号，依题意，，，
令，求导得，当时，，当时，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以的最小值是.
15．【答案】(1)0
(2)
(3)有理项为，，
【详解】（1）依题意，由组合数的性质得，
令，得展开式中各项系数之和为.
（2）因为二项式的展开式的通项为，
因为，
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
（3）由（2）可得：二项式的展开式的通项为，
令，得，
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述：二项式展开式中的有理项为，，
16．【答案】(1)900；
(2)648；
(3)379
【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；
第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法，
根据分步乘法计数原理，共有个.
（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，
根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．
（3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类：
第一类，满足条件的一位自然数：有10个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；
第二步，确定十位数，有9种选法；
第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个，
所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）.
17．【答案】(1)，
(2)见解析
【详解】（1）设该容器的体积为，则，
又，所以
因为，所以.
所以建造费用，
因此，.
（2）由（1）得，.
由于，所以，令，得.
若，即，当时，，为单调递减函数，当时，，为单调递增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.
若，即，当时，，为单调递减函数，此时是的最小值点.
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.
18．【答案】(1)
(2)
(3)当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数无零点
【详解】（1），令，可得，
故的单调递增区间为；
（2），
令，
则，
由，故恒成立，
故在上单调递增，
又，，
故存在，使，即，
即在上单调递减，在上单调递增，
故，
由，则，
令，则有，
，当时，恒成立，
故在上单调递增，故，即，
则，
即的最小值为；
（3）令，
即有，
即函数的零点个数为的实数根的个数，
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且，
又当时，，当时，，
故当，即时，有唯一实数根，
当，即时，有两实数根，
当，即时，无实数根，
即当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数无零点.
19．【答案】(1)
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，所以，
所以，，
所以函数在处的切线方程为即；
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，所以，
，
①当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即在不恒成立．
②当时，，
当时，，在上单调递增，
又，此时，
综上所述，所求m的取值范围是；
（3）由（2）知，当时，在上恒成立，
取，得即，当且仅当时等号成立，
令，，
则，
所以，
所以
，
所以．

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