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山西省2024 2025学年高二下学期期中联合考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则（ ）
A．3 B．27 C．81 D．18
2．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
5．已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ）
A．180 B．246 C．168 D．192
二、多选题（本大题共3小题）
9．过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（ ）

A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ， .
13．已知随机事件满足，则 .
14．近年来，国内中，短途旅游人数增长显著，2024年全年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙三位同学打算去上海、成都、西安、南京四个地方旅游，每位同学只去一个地方，则上海有人去的情况有 种.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在长方体中，.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成角的余弦值.
16．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，.
（1）求的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和.
17．数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图.
（1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数.
（2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.
①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；
②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列.
18．已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围．
19．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
（1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
（2）已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C
2．【答案】D
【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列，
则有，
设，则，所以，故.
故选D.
3．【答案】A
【详解】易知的周长为.
因为所以，
故的周长为.
故选A
4．【答案】B
【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即.
故选B.
5．【答案】A
【详解】易知函数定义域为，因为，
所以，令，得，
所以，即，所以的单调递增区间为，
故选A.
6．【答案】D
【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，则，
所以，双曲线的方程为，
因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，
由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.
故选D.
7．【答案】B
【详解】.
令，得；令，得.
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以极小值点为1.
故选B.
8．【答案】D
【详解】当甲乙相邻且与丙不相邻时，先将其余三人全排列，有种排法，
再将甲乙组合与丙插空，有种排法，则有种排法；
当甲与乙相邻且乙与丙相邻，则有种排法，
综上可得一共有种排法.
故选D
9．【答案】BD
【详解】设切点，因为，则，
则切线方程为，又，
所以，又切线过点，
所以，整理得到，
即，所以或，
当时，切线方程为，即，
当时，切线方程为，即，
故选BD.
10．【答案】ABC
【详解】易知两圆的位置关系为内含，
记为坐标原点，圆的半径为1，
结合图象易知，
则.
符合条件的有ABC，
故选ABC
11．【答案】AC
【详解】因为
，
所以被2024除所得的余数为，所以.
故选AC.
12．【答案】1
【详解】令，得.
令，得，
所以，
故.
13．【答案】
【详解】因为，
所以.
14．【答案】37
【详解】上海有人去可以分为1个人去，2个人去，3个人去三类情况.
当只有1个人去上海时，有种不同的情况；
当有2个人去上海时，有9种不同的情况；
当有3个人去上海时，有1种情况.
故有人去上海共有种不同的情况.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
因为，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为；
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以令，得.
设直线与平面所成的角为，因为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设平面的法向量为，因为，
所以
令，得，
设平面与平面所成的角为，
，
故平面与平面所成角的余弦值为.
16．【答案】（1）或
（2）
【详解】（1）由题意知，
解得或，
当时，，，故，；
当时，，，故，
，
所以或；
（2）因为，所以.
因为，
所以，
两式相减得
，
故.
17．【答案】（1）40；
（2）①；②分布列见解析.
【详解】（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，
所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内.
设AI大模型用户年龄的第60百分位数为，
则，解得，
所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.
（2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人.
①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件，
则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为.
②的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意知，、两点关于轴对称，
设点在轴右侧，则，即点，
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得，
故抛物线的方程为.
（2）不妨设点、分别在第一、二象限，直线的方程为，
设点、，
联立得，，
由韦达定理可得，，
由得，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
同理可知，直线的斜率为，直线的方程为，
联立直线、的方程得，
解得，则，故点，
因为点在圆上，所以，且，显然成立，
过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
令，因为，则，，
所以，
令，则函数在区间上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最小值，且最小值为，
当时，取最大值，且最大值为.
因此，的取范围是.
19．【答案】（1）
（2）①；②证明见详解
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，.
因为是上的凸函数，所以在上恒成立，
即当时，恒成立.
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
综上可得.
（2）①因为，，所以，.
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，则.
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减.
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即.
因为在上单调递增，在上单调递减，所以.
欲证，即证.
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证.
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立.
欲证，即证.
因为，所以只需证，
即证，即需证.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，则原不等式得证.
故.

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