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陕西省西安市鄠邑区第四中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ）
A．33 B．31 C．39 D．27
2．函数在区间上的平均变化率为( )
A．1 B．2 C． D．0
3．函数y＝的导数是 (　　)
A． B． C． D．
4．已知为的导数，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．函数在上的最小值和最大值分别是
A． B． C． D．
6．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的极小值点为
C．函数无极大值
D．函数在上的最大值为
10．如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）

A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
11．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 .
14．曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若曲线在处的切线方程为，求的值．
16．（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程．
17．已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证：当时，.
18．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
（2）若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
19．设函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由已知可得，所以，
所以时物体的瞬时速度是.
故选.
2．【答案】A
【详解】在区间上的平均变化率为，
故选A.
3．【答案】C
【详解】由求导公式可得：，故选C.
4．【答案】B
【详解】根据导数的定义，，
所以.
故选B
5．【答案】A
【详解】函数，cosx，
令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，
∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，
∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，
故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．
故选A．
6．【答案】B
【详解】由图象可知在上单调递增，，

故，即．
故选B．
7．【答案】B
【详解】若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，
即，
∴．故的取值范围为．
故选B.
8．【答案】C
【详解】因为函数有两个不同的零点，所以方程有两个不同的实数根，因此函数与函数有两个交点.
,
当时，单调递减，当时，单调递增，
因此当时，函数有最大值，最大值为：，
显然当时，，当时，，当时，，
因此函数的图象如下图所示：

通过函数的图象和上述分析的性质可知：当时，函数与函数有两个交点.
故选C
9．【答案】BCD
【详解】因为，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以A错误，B正确，C正确；
在上递减，在上递增，，，
所以函数在上的最大值为，D正确.
故选BCD.
10．【答案】AC
【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误；
对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误.
故选AC
11．【答案】AC
【详解】解析：由函数，可得函数的导数为.
当时，单调递减；当时，单调递增，可得函数
在处取得极大值，所以正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，当时，恒成立，所以函数只有一个零点，所以错误；
由在上单调递减，且，可得，所以正确；
由在上单调递减，且，可得，即，所以错误.
故选AC
12．【答案】
【详解】依题意，，
，
所以，
则，
所以.
13．【答案】
【详解】根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，∴，得，代入y＝ex，得，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
14．【答案】/
【详解】由题设知：处的切线的斜率为，而，
∴，可得.
15．【答案】（1）;（2）.
【详解】(1)当时，，∴，
∴曲线在处的切线方程为，即；
(2) ，
若曲线在处的切线方程为，
∴，∴.
16．【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由得，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设切点为，，
则，切线方程为，
将代入上式得，，
由于，故上式可整理为，
，解得或，
所以切线方程为或，
即或.
17．【答案】（1）f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；（2）见解析.
【详解】（1）依题意知函数的定义域为{x|x>0}，
∵f′(x)＝2x-2=，
由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．
（2）设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，
∴g′(x)＝2x-2--3=，
∵当x>2时，g′(x)>0，
∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴g(x)>g（2）＝4-2ln2-6+4>0，
∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,
即当x>2时..
18．【答案】（1）
（2）当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
19．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【详解】（1），
，经检验符合条件
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.

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