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四川省内江市第一中学2024 2025学年高二下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若可导函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．写出数列的一个通项公式（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
4．若数列满足，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．若数列的通项公式是，则等于（ ）
A． B．30 C． D．20
6．两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（ ）
A．4052 B．2047 C．2048 D．2026
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）

A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
10．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程为 .
13．已知数列满足，则 .
14．已知递增数列共有项，前三项成等差数列，后七项成等比数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列各函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
17．已知数列满足，，
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由．
18．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，
(1)求，，，及的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
①求，的值；
②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
19．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为可导函数满足，
所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】数列，
则其分母为，分子为，则其通项公式为.
故选B.
3．【答案】B
【详解】解：由题得.
故选B.
4．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
，
，
，…，
可得，
则．
故选A.
5．【答案】B
【详解】由题意，数列的通项公式是，
则，
所以．
故选B.
6．【答案】C
【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且，
根据等差数列的求和公式，可得.
故选C.
7．【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选A.
8．【答案】D
【详解】解：因为没有去掉“1”之前，第行的和为，
所以每一行的数的和构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以前n行所有数的和为，
又因为每一行的数的个数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以前n行的数的所有个数为：，
当时， ，所以去掉“1”后的所有数的个数为 ，
所以数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……的前45项和为：
，
故选D.
9．【答案】AC
【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误；
对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误.
故选AC.
10．【答案】CD
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选CD.
11．【答案】ABD
【详解】对A，，A对；
对B，，，B对；
对C，由得，∴，C错；
对D，，D对.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】,
,
,
切线方程为，
即.
13．【答案】
【详解】∵，由，解得，
∴有，
是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，∴.
14．【答案】
【详解】数列为递增数列，且，则恒成立，
由题意可知，成等差数列，成等比数列，
则， ，，
故等比数列的公比为，可得，，
，
则数列所有项的和为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以
（3）因为，所以
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以.
（2）.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)，是中的项，是第119项.
【详解】（1）由题意，，则，
又，则，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知：，即，则，
故，
所以，
令，解得，所以是中的项，是第119项.
18．【答案】(1)，，，，.
(2)①，；②不存在，理由见解析.
【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除，
所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列，
所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为，
则，，，，.
（2）①由，得.
当时，，，
由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故；
当时，，，
由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故.
②不存在，理由如下：
由题意，即，所以．
假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列，
则，即．化简得．
又因为，所以，
得，所以，
又因为，所以，
即，所以，即，这与题设矛盾．
所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列．
19．【答案】(1)
(2)
(3)9
【详解】（1）若选①，因为，
当时，，两式相减得，
当时，，即，
又，所以，故，满足，
所以是首项为，公比为的等比数列，故；
若选②，因为，
所以
，又，所以.
（2）由（1）知，
则①
②
两式相减得：
，
所以.
（3）由，得，，
化简得，.
设，，则，，
因为，所以，又，所以，.
故，
因为，所以，则，，
则，所以数列为递增数列.
又因为，
，
因此，使得不等式（）成立的最小整数为9.

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