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云南省昆明市第八中学2024 2025学年高二下学期4月期中诊断数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设复数z满足，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．展开式中的常数项为（ ）
A．5 B． C．80 D．
4．已知随机变量，，则（ ）
A．a B． C． D．
5．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．12 D．14
6．中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（ ）
A．30种 B．60种 C．72种 D．114种
7．的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（ ）
A． B．
C．A与B为互斥事件 D．A与B相互独立
10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．的最小值为4
B．以线段为直径的圆与直线相切
C．当时，则
D．
11．已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且，则 ．
13．已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 .
14．已知函数，①由函数图象上的一个最高点与两个相邻零点构成的三角形的面积为；②将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称；③函数的图象关于直线对称.从以上三个条件中任选两个作为已知条件，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）求值:
（2）求不等式：的解集．
16．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
17．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）试在线段上一点，使得与所成的角是．
18．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
19．已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设的面积与的面积分别为，求的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，
又因为
所以.
故选B
2．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.
故选D.
3．【答案】D
【详解】由题设，展开式通项为，，
当时，有.
故选D
4．【答案】B
【详解】随机变量，
正态曲线关于对称，
，
，
故选B.
5．【答案】A
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
故选A
6．【答案】B
【详解】根据题意，从5人中选出三人，共有中选法，
则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，
共有种不同的安排方案.
故选B．
7．【答案】A
【详解】由题意，，
则，
则
，
则，即.
故选A.
8．【答案】A
【详解】，
令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，
，
当时，，则函数在区间单调递增，
因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，
当时，令，解得，
令，解得，此时函数单调递增，
令，解得，此时函数单调递减，
当时，函数取得极大值，
根据对数函数和一次函数的增长特征可知，当趋近于0与趋近于时，都有，
要使在区间上有两个实数根，
则必须且只需，解得，
实数的取值范围是，
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；
对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误.
故选AB
10．【答案】BCD
【详解】由题设，则，，
可设，联立抛物线得，显然，
所以，，则
，当且仅当时等号成立，A错；
由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，
所以的中点与直线的距离为，即为的一半，
所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；
若，且，则，而，
所以，则，
所以，则，C对；
由，D对.
故选BCD
11．【答案】CD
【详解】由题意令，
则，
当时，恒有成立，
，即在上单调递减，
，
，
即，
即得
对于A，D，故A错误，D正确；
对于B，C，故B错误，C正确.
故选CD.
12．【答案】
【详解】由，得，
因为，所以，
则.
13．【答案】9
【详解】设切点为，
又因为曲线 ，则，直线 斜率为1，
所以，又因为，
所以，所以，因为 为正实数，
所以，
当且仅当，即时，则 取最小值为9.
14．【答案】
【详解】若选择条件①②：设为函数最小正周期，由①可知三角形的面积，
解得，所以，所以，
由题意得关于轴对称，即，，
即，，由可得，，
则，.
若选择条件①③：由①可知，由③得，
所以，，即，，由可得，，
所以，所以.
若选择条件②③：由③得，所以，.
由②得关于轴对称，
即，，无法确定和，即无法确定的值.
15．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）；
（2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为．
16．【答案】(1)
(2)最大值为，最小值
(3)
【详解】（1），则，
因函数在处取得极值，
则，得，
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故.
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值.
（3）令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）为线段的中点
【详解】（1）设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点，
又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE.
（2）正方形和矩形所在的平面互相垂直，
平面平面，平面，，
则平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
所以，，，
因为，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
，
所以，所以为平面的一个法向量，
所以，所以与的夹角为．
即所求的二面角的大小为．
法2：在平面中过作于，连接，
，，，
平面，
是在平面上的射影，
由三垂线定理得
是二面角的平面角
在中，，，
，，
二面角的大小为；
（3）设，（），则，
因为PF与BC所成的角是60°，
所以，
解得或(舍)．
故为线段的中点．
18．【答案】（1）分布列见解析，1
（2）（ⅰ）；（ⅱ）1100
【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
0 1 2
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）依题意可得：，解得，，
所以椭圆的标准方程
（2）

易得，，设，，
则，
所以
得，，
同理可得，
则.
（3）由（2）易得
由，得
因为所以，解得或(舍去)，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.

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