资源简介 云南省昆明市第八中学2024 2025学年高二下学期4月期中诊断数学试卷一、单选题(本大题共8小题)1.已知集合,则( )A. B.C. D.2.设复数z满足,则( )A. B. C.2 D.3.展开式中的常数项为( )A.5 B. C.80 D.4.已知随机变量,,则( )A.a B. C. D.5.设为等差数列的前项和,若,则( )A. B. C.12 D.146.中国空间站又名天宫空间站,最大可扩展为180吨级六舱组合体,以进行较大规模的空间应用,其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室.2024年3月,中国空间站首批材料舱外暴露实验完成.在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与,其中两人出舱完成任务,剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务,则不同的安排方案有( )A.30种 B.60种 C.72种 D.114种7.的内角的对边分别为.其中,则边上的中线的长为( )A. B. C. D.8.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.口袋内装有大小、质地均相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球,记“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球”为事件B,则( )A. B.C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立10.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,过点作直线交抛物线于,两点,则( )A.的最小值为4B.以线段为直径的圆与直线相切C.当时,则D.11.已知定义在上的函数,是的导函数,且恒有成立,则( )A. B.C. D.三、填空题(本大题共3小题)12.已知,且,则 .13.已知 为正实数,直线 与曲线 相切,则 的最小值为 .14.已知函数,①由函数图象上的一个最高点与两个相邻零点构成的三角形的面积为;②将函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称;③函数的图象关于直线对称.从以上三个条件中任选两个作为已知条件,则 .四、解答题(本大题共5小题)15.(1)求值:(2)求不等式:的解集.16.已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)求在区间上的最大值和最小值.(3)若方程有三个不同的实数根,求实数的取值范围.17.如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小;(3)试在线段上一点,使得与所成的角是.18.DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型,其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心.DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等,在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力,某公司组织A,B两部门的50名员工参加DeepSeek培训.(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加,恰有3人来自部门.从这6名部门领导中随机选取2人,记表示选取的2人中来自部门的人数,求的分布列和数学期望;(2)此次DeepSeek培训分三轮进行,每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为,每轮培训结果相互独立,至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.(ⅰ)求每位员工经过培训合格的概率;(ⅱ)经过预测,开展DeepSeek培训后,合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元,不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元,且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用.试估计该公司两部门培训后的年利润(公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用).19.已知分别为椭圆的左、右顶点,均为椭圆上异于顶点的点,为椭圆上的点,直线经过左焦点,直线经过右焦点.(1)求椭圆的标准方程.(2)试问是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请说明理由.(3)设的面积与的面积分别为,求的最小值.参考答案1.【答案】B【详解】由题意可得,又因为所以.故选B2.【答案】D【详解】因为,所以,所以.故选D.3.【答案】D【详解】由题设,展开式通项为,,当时,有.故选D4.【答案】B【详解】随机变量,正态曲线关于对称,,,故选B.5.【答案】A【详解】设等差数列的公差为,由,得,解得,所以.故选A6.【答案】B【详解】根据题意,从5人中选出三人,共有中选法,则把选出的3人,分配到三个舱内,剩余的2人出仓完成任务,共有种不同的安排方案.故选B.7.【答案】A【详解】由题意,,则,则,则,即.故选A.8.【答案】A【详解】,令,函数有两个极值点,则在区间上有两个实数根,,当时,,则函数在区间单调递增,因此在区间上不可能有两个实数根,应舍去,当时,令,解得,令,解得,此时函数单调递增,令,解得,此时函数单调递减,当时,函数取得极大值,根据对数函数和一次函数的增长特征可知,当趋近于0与趋近于时,都有,要使在区间上有两个实数根,则必须且只需,解得,实数的取值范围是,故选A.9.【答案】AB【详解】对于A,,A正确;对于B,,,B正确;对于C,事件可以同时发生,则A与B不互斥,C错误;对于D,,由选项AB知,,则A与B相互不独立,D错误.故选AB10.【答案】BCD【详解】由题设,则,,可设,联立抛物线得,显然,所以,,则,当且仅当时等号成立,A错;由抛物线的定义知,而的中点横坐标为,所以的中点与直线的距离为,即为的一半,所以以线段为直径的圆与直线相切,B对;若,且,则,而,所以,则,所以,则,C对;由,D对.故选BCD11.【答案】CD【详解】由题意令,则,当时,恒有成立,,即在上单调递减,,,即,即得对于A,D,故A错误,D正确;对于B,C,故B错误,C正确.故选CD.12.【答案】【详解】由,得,因为,所以,则.13.【答案】9【详解】设切点为,又因为曲线 ,则,直线 斜率为1,所以,又因为,所以,所以,因为 为正实数,所以,当且仅当,即时,则 取最小值为9.14.【答案】【详解】若选择条件①②:设为函数最小正周期,由①可知三角形的面积,解得,所以,所以,由题意得关于轴对称,即,,即,,由可得,,则,.若选择条件①③:由①可知,由③得,所以,,即,,由可得,,所以,所以.若选择条件②③:由③得,所以,.由②得关于轴对称,即,,无法确定和,即无法确定的值.15.【答案】(1);(2).【详解】(1);(2)因为,所以,化简可得,解得,所以不等式解集为.16.【答案】(1)(2)最大值为,最小值(3)【详解】(1),则,因函数在处取得极值,则,得,此时,,得或,得,则在和上单调递增,在上单调递减,故在处取得极小值,故.(2)由(1)可知在和上单调递增,在上单调递减,而,则在区间上的最大值为和最小值.(3)令,则,则与单调性相同,因方程有三个不同的实数根,则,得,则实数的取值范围为.17.【答案】(1)证明见解析(2)(3)为线段的中点【详解】(1)设的交点为,连接,因为四边形ABCD为正方形,所以为的中点,又在矩形ACEF中,因为M是线段EF的中点,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,又因为面BDE,面BDE,所以平面BDE.(2)正方形和矩形所在的平面互相垂直,平面平面,平面,,则平面,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,如图所示:则,,,,,,,所以,,,因为,平面,所以平面,所以为平面的一个法向量,因为,,所以,所以为平面的一个法向量,所以,所以与的夹角为.即所求的二面角的大小为.法2:在平面中过作于,连接,,,,平面,是在平面上的射影,由三垂线定理得是二面角的平面角在中,,,,,二面角的大小为;(3)设,(),则,因为PF与BC所成的角是60°,所以,解得或(舍).故为线段的中点.18.【答案】(1)分布列见解析,1(2)(ⅰ);(ⅱ)1100【详解】(1)的所有可能取值为0,1,2,且服从超几何分布.的分布列为0 1 2的数学期望.(2)(ⅰ)记“每位员工经过培训合格”,“每位员工第轮培训达到优秀”(),,根据概率加法公式和事件相互独立定义得,.即每位员工经过培训合格的概率为.(ⅱ)记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为,则,,则(万元)即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元.19.【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)依题意可得:,解得,,所以椭圆的标准方程(2) 易得,,设,,则,所以得,,同理可得,则.(3)由(2)易得由,得因为所以,解得或(舍去),当且仅当时,等号成立,故的最小值为. 展开更多...... 收起↑ 资源预览