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浙江省金兰合作组织2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知（，且），则的值为（ ）
A．30 B．42 C．56 D．72
2．根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
3．设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
4．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．80种 C．90种 D．100种
5．若的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为 B．所有奇数项的系数和为
C．第6项的系数最大 D．
6．已知离散型随机变量的分布列如下表：
0 1
其中满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）

A． B． C． D．
8．某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（ ）
（参考数据：）
A．18 B．22 C．26 D．30
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中错误的有（ ）
A．相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
B．决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好
C．若随机变量服从两点分布，其中，则，
D．随机变量，若，则
10．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（ ）
A．从第2行起，第行的第个位置的数是
B．记第行的第个数为，则
C．从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则
D．从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．4次传球后球在甲手上的概率是 D．2025次传球后球在甲手上的概率小于
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中的系数为 ．
13．设随机事件，已知，，，则 ．
14．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ．
参考数据：若，则：；；．
四、解答题（本大题共5小题）
15．随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码 1 2 3 4 5
交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15
(1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．）
(2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据：，，
参考公式：相关系数；
线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，．
16．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项．
17．北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务．
(1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答）
(2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
(3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答）
18．DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题．
(1)求小张能全部回答正确的概率；
(2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
(3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小．
19．乒乓球比赛一般有两种赛制：“5局3胜制”和“7局4胜制”．“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.
(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，经统计在某个赛季的所有比赛中，在不同赛制下甲、乙两人的胜负情况如下表．请先将下面的列联表补充完整，然后根据小概率值的独立性检验，分析不同赛制是否对甲获胜的场数有影响.
甲获胜场数 乙获胜场数
5局3胜 8 10
7局4胜 1
合计 20
(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为，没有平局．记事件为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”，事件为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”，试证明：．
(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为.若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小．
参考公式：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以，解得或（舍去），
所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】因为，，所以样本中心点，
因为回归方程过样本中心点，所以，解得.
故选C.
3．【答案】D
【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线.
由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确.
故选D.
4．【答案】B
【详解】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：
若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，
此时有种不同的选法；
则一共有种选法.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由，可得二项式的展开式的通项公式可得，，
由已知可得，所以，
所以由二项式的展开式可知所有二项式系数和为，
所以奇数项的二项式系数和为，故A正确；
令，可得，
令，可得，
解得，故B错误；
由通项公式可知，奇数项的系数全为正，偶数项的系数全为负，
故第6项的系数不是最大值，故C错误；
令，可得，
所以，
所以，故D错误.
故选A.
6．【答案】B
【详解】依题意，，解得，可得，
则，
而
，则当时，.
故选B.
7．【答案】C
【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；
若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.
故选：C
8．【答案】A
【详解】设逐份化验方式，样本需要检测的总次数，则，
设混合化验方式，每组样本需要化验的次数可能取值为1，11．
，，
，
所以100组的化验次数的均值为
要使得混合化验方式优于逐份化验方式，需，
即，即，即，
又，，
，．
故选A.
9．【答案】AC
【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；
对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；
对于C，若，则，，，
所以，，故C错误；
对于D，随机变量，若，则，故D正确；
故选AC．
10．【答案】BCD
【详解】A选项，从第2行起，第行的第个位置的数是，故A错误；
B选项，第行的第个数为，则，
因为
，故B正确；
C选项，由题意可得，
则, ，以上各式相加得，
因此，故C正确；
D选项，由题意可得从第3行起，每行第3个位置的数，
所以
所以.故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A中，第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结构为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4个结果，且它们等可能，其中2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2个结果，所以概率为，所以A正确；
对于B中，3次传球后的所有结果为：
甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，且它们等可能，
其中3次传球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3个结果，
所以3次传球后球在乙手上的概率是，所以B不正确；
设次传球后球在甲手上的事件为，则有，
令，则，
所以，
所以，则，
因为第一次有甲传球后，求不可能在甲手中，所以，则，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
因为，可得，所以，所以D正确；
当时，可得，所以C正确.
故选ACD.
12．【答案】240
【详解】由可得二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，所以.
所以在的展开式中的系数为.
13．【答案】/0.25
【详解】.
14．【答案】4
【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，，
，
设第次抽到优等果的概率，
恰好抽取次的概率，
所以，
设 ①，则
②，
两式相减得：
所以，
由，即，
又，，
所以的最大值为4．
15．【答案】(1)0.92，线性相关性程度很强．
(2)，15.9百亿．
【详解】（1）由已知得，，
，，
，
故，
，所以线性相关性程度很强；
（2），，
则，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿．
16．【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）由题意得，，
即，
即，或，因为，所以．
故，
因为二项式系数最大的项为第4项和第5项，
所以所求的项分别为，．
（2）是有理项，当且仅当，
因为，，所以，
故展开式中有2个有理项，分别是，．
17．【答案】(1)34
(2)490
(3)300
【详解】（1）方法一：“直接法”，分成3种情况讨论：
恰有1名女性，共有种选法；恰有2名女性，共有种选法；
恰有3名女性，共有种选法；所以共有种选法；
方法二：“间接法”，总共有种，没有一名女航天员有种，
所以共有种选法．
（2）先选4名航天员，有种，然后先分组再分配，可分两类：
若分为2，2的两组再分配，有种；
若分为1，3的两组再分配，有种；
所以共有种选法．
（3）先选2名航天员，有种；然后安排甲、乙两人，有种；
最后安排剩下的2人，有种；
所以共有种选法．
18．【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，．
【详解】（1）因为小张能全部回答正确的概率；
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，
由题意知，，，
则，
所以
；
（3）已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以，
已知DeepSeek答对的题数为，则，
故，
所以．
19．【答案】(1)表格见解析，赛制对甲获胜的场数没有影响．
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：零假设为：赛制与甲获胜场数独立，即两者无关联．
由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下：
甲获胜场数 乙获胜场数
5局3胜 8 2 10
7局4胜 9 1 10
合计 17 3 20
可得．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即赛制对甲获胜的场数没有影响．
（2）解：由事件为“甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜”， 事件为“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”且甲每局比赛的胜率均为，没有平局，
可得，
，
综上可得：．
（3）解：考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局，
记事件为“第一阶段甲获胜”，事件为“第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局”，
事件为“赛满局甲获胜”，
则，
因为，，
所以，
则
，
由，所以，所以．

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