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浙江省台州十校联盟2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（ ）
A．10种 B．35种 C．105种 D．210种
2．无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
3．下列求导过程错误的选项是（ ）
A． B．
C． D．
4．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ）
A． B． C．1 D．3
5．语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A． B． C．60 D．240
7．将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ）

A． B． C． D．
8．已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（ ）
A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法
B．一共有16种安排方法
C．若将《·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法
D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法
10．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数，则（ ）
A．是奇函数 B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个极值点 D．是的一条切线方程
三、填空题（本大题共3小题）
12．随机变量，则 ．
13．的展开式中的系数为 ．
14．已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．计算：（用数字作答）
(1)；
(2)．
16．已知函数在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值与最小值．
17．已知离散型随机变量X的分布列．
(1)求常数的值；
(2)求；
(3)求随机变量的分布列及方差．
18．若，；求：
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由组合数的定义可知共有种选法.
故选B.
2．【答案】C
【详解】随机变量服从正态分布，则，
，
当时， ，
，
当变小时，与的值不变，则、都不变，
故选C.
3．【答案】B
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题意可知，，则.
故选A.
5．【答案】D
【详解】从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种，
该同学能及格的情况有种，
由古典概型可知，该同学能及格的概率为.
6．【答案】C
【详解】,
由题意可得，解得.
故展开式的通项为，
令，所以，所以，
所以展开式中的常数项为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】根据广义杨辉三角的定义：；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故选D．
8．【答案】B
【详解】设
则当时单调递减，
故
故进而，
设
由于函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
因此，
故，
故，
因此，
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于A，按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确；
对于B，按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误；
对于C，按影厅放映的电影一定有《逆转时间》，则有种安排方法，故C正确；
对于D，按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误．
故选AC．
10．【答案】BCD
【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误；
对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知；
对于C，由B选项分析同理可得，
由条件概率的定义可知，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A正确；
对于B，当时，，在上恒成立，
即在上单调递增，且此时；
同理当时，，在上恒成立，
即在上单调递增，且此时，又，
故在上单调递增，又，由零点存在定理可知有且仅有1个零点，故B正确；
对于C，由B选项分析可知在上恒成立，且在处两边导数值均为正不变号，
由函数极值点的定义可知，函数在上无极值点，故C错误；
对于D，当时，令，解得，
且，此时，故不是在内的切线方程；
当时，令，解得，
且，此时，故是在处的切线方程；
当时，因为，此时，故不是在处的切线方程；
综上，是在处的切线方程，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】随机变量，则．
13．【答案】14
【详解】，
的展开式中含的项为
的展开式中的系数为14.
14．【答案】
【详解】由，得，
令，得
∵，∴
当时，；当时，;
所以在区间上是增函数，在上是减函数.
若在上不单调，则，
解得.
即a的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式.
（2）法一（直接计算）：原式
法二（组合数的性质）：原式
16．【答案】(1)
(2)的最大值为，最小值为
【详解】（1），由题意得，即，解得，
经检验，时函数在处取得极大值，故解析式为；
（2）由（1）知，令解得或，
因，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，，故的最大值为，最小值为．
17．【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）由题意可知，的所有可能值为、、、，
，，
，，
所以的分布列为：
P
所以，
．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，
令，则可得：
所以.
（2）令，得 ①；
令，得 ②；
① + ②得：
所以.
（3）因为，根据二项式定理，可得，所以.
设最大，则，即.
由可得：
，解得;
由可得：
解得;
所以，又因为，所以.
则.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，则，故，．
所以当时，曲线在点处的切线方程．
（2）因为，则，
当，定义域为，此时，故，
此时，函数的减区间为，无增区间；
当，定义域为，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在有两个不同根，
令，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.

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