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重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024 2025学年高二下学期第一学月检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．
4．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（ ）
A．16种 B．12种 C．8种 D．6种
7．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若，则实数t的值不可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．0
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的图象在点处的切线方程为 ．
13．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，则质点运动到1的移动方式有 种．

14．已知函数仅有一个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
16．现有体积均相同但质量均不同的红球1个、白球3个、黑球2个，将这6个小球放入恰好能容纳6个小球的圆柱形卡槽内．
（1）若同种颜色的球必须相邻，试问共有多少种不同的放法？
（2）若3个白球互不相邻，且质量最大的白球不能放在卡槽的两端，试问共有多少种不同的放法？
17．已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求函数的单调区间；
（2）若，求证：当时，．
18．已知等差数列的各项均为正数，其前项和为，且，函数．
（1）求；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）设，求证：．
19．已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，其中，求m的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，令，解得.
所以，，为减函数.
故选B
2．【答案】B
【详解】依题意可知，有两类衣服可选，
第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；
第二类：选择连衣裙，共有种选择；
所以共有种选择.
故选B.
3．【答案】B
【详解】设切点为，，，所以，
即切点为，
所以，解得，.
故选B
4．【答案】C
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选C
5．【答案】A
【详解】由函数有两个零点，
得直线与函数的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以m的取值范围是.
故选A
6．【答案】C
【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种，
马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种，
故不同的比赛方式共有种.
故选C.
7．【答案】B
【详解】令，
则，
当时，，则，
即在上是减函数，
由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，所以是偶函数，在单调递增，
所以，，
又时，，即，
由不等式，
当时，可得，符合题意；
当时，不等式即为，等价为，
所以，解得，且.
综上所述，不等式的解集为．
故选B.
8．【答案】B
【详解】，因为函数在区间内存在2个极值点，
所以在区间内有两个解.
即在区间内有两个解.
设，，，
当时，，函数在上为增函数；
当时，，函数在上为减函数，
又，，，则，如图所示.
由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点，
此时即在区间内有两个解，故实数a的取值范围为.
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对选项A，，故A正确.
对选项B，，故B错误.
对选项C，，故C正确.
对选项D，，故D正确.
故选ACD
10．【答案】ABD
【详解】对选项A，，故A正确.
对选项B，，故B正确.
对选项C，当时，，，
所以，故C错误.
对选项D，
.
因为，故D正确.
故选ABD
11．【答案】AD
【详解】函数，定义域为，
，所以为奇函数，
，
当且仅当，即取等号.
所以在为增函数.
，
即，解得.
故选AD
12．【答案】
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
13．【答案】3
【详解】由题意，要使质点移动3次，最后到1，则质点向右移动2次，向左移动1次，
移动方式共有种．
14．【答案】
【详解】设，则.
①当时，有，，所以在上必有一个零点.
从而，且，不满足条件.
②当时，有，，所以在上必有一个零点.
从而，且，不满足条件.
③当时，对有，对有.
所以在上递减，在上递增，从而有.
如果，即等号成立，则一定有，且，从而.
这说明只要，就必有，故.
而显然，故有唯一零点，满足条件.
综合①②③可知，的取值范围是.
15．【答案】（1），单调区间见解析
（2）最大值为4，最小值为
【详解】（1）由，则，
因为函数在处取得极值，则，即，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，则，
又函数在点处的切线方程为，
则，所以，
且函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以函数的最大值为4，最小值为.
16．【答案】（1）72
（2）72
【详解】（1）首先将3个白球捆绑共有种情况，将2个黑球捆绑共有种情况，
再将红白黑三种颜色的小球全排列，共有种情况，
故.
（2）首先将红球和黑球全排列，共有种情况，
然后将质量最大的白球放入，共有种情况，
再将其他白球放入，共有种情况，
故.
17．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明见解析
【详解】（1）由，则，
因为是函数的极小值点，则，即，
此时，
设，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
则时，，，
时，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，则，
由上述可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
则，
设，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以函数在上单调递增，
又，则当时，.
18．【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）由，，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去），
因为数列为等差数列，则，
所以，
则.
（2）由，，
则，
当时，，函数在上单调递增，
又，则时，，不符合题意；
当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，
由恒成立，且，则.
（3）由（2）知，当时，，
即，，
令，则，
由，则，，
则，
即，.
19．【答案】（1）答案见详解；
（2）；
（3）2.
【详解】（1）因为，所以，
当时，因为，所以，即，
所以在上单调递增；
当时，，即，解得，
当时，，则，在上单调递减，
当时，，则，在上单调递增，
综上所述：当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则在上恒成立， ，
当时，易知，在上单调递增，
当时，，不满足恒成立；
当时，易知，在上单调递增，
当时，，不满足恒成立；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，要使恒成立，即，则，
综上所述：的取值范围是.
（3）已知 ，
则恒成立，
即恒成立，等价于恒成立，也就是恒成立。
令，，令，，
易知在上单调递增，且，，
所以存在，使得，即，
当 时， ，在上单调递减；
当时， ，在上单调递增，
所以，
在上单调递减，所以
即，所以，所以，
又因为，
所以的最大值为.

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