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重庆市第八中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（ ）
A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上
C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上
2．甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．两双不同的鞋，其中一双的两只记为．另一双的两只记为．从中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚的”．则（ ）
A．包含于 B． C．与互斥 D．
5．过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．正项数列的前项和为，首项，已知函数有且仅有两个零点，则（ ）
A．120 B．125 C．57 D．247
7．定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆和双曲线有公共焦点（为上焦点），椭圆与双曲线在第一象限交于点，直线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：
乙组：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第百分位数是
B．乙组数据的众数是
C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为
D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低
10．椭圆的左、右焦点分别为，点在上，圆是以椭圆的短轴为直径的圆，为圆的一条直径（在第一象限），直线与圆的另一个交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为
B．若，则直线被椭圆截得的弦长为
C．若是以为其中一腰的等腰三角形，则满足条件的点有6个
D．若为与轴正半轴的交点，，则直线的斜率为
11．定义域为的函数的导函数记为，的导函数为，若为奇函数，为偶函数，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于点，且，则 ．
13．若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
14．对恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．记是公差大于0的等差数列的前项和，，且成等比数列．
（1）求和．
（2）若，证明：数列的前项和．
16．某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：

（1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分．
（2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率．
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数：，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差．
17．如图，三棱柱的各棱长均相等，是棱的中点，平面．
（1）求证：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若当时，存在极大值，求实数的取值范围；
（3）证明：函数存在零点的充要条件是．
19．双曲线的离心率为，斜率为的直线和斜率为的直线均过原点，且分别与的右支交于点和点．
（1）求实数的值；
（2）作斜率为的过原点的直线（异于）与的右支分别交于点，记的面积为．
（i）求证：：
（ii）若，且，记，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为事件“至少有一次正面朝上”，
所以由对立事件的定义得事件“两次均反面朝上”，故C正确.
故选C
2．【答案】B
【详解】因为甲、乙两人各抛掷一枚骰子，所以共有种情况，
符合条件的有，共种，
且设概率为，则，故B正确.
故选B
3．【答案】B
【详解】对于，有，，
下面，我们开始分析选项，对于A，C，不满足，故A，C错误，
对于D，不满足，故D错误，
对于B，满足的全部性质，故B正确.
故选B
4．【答案】D
【详解】随机取出2只，所有可能结果：；；；； ；；
包含：；； ；；
包含：；；
包含：；；
对于A： 包含，故错误；
对于B：，故错误；
对于C：与可以同时发生，故错误；
对于D：，正确；
故选D
5．【答案】A
【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为，
且设和的切点为，
因为，所以，由导数的几何意义得，
则切线方程为，将代入方程，得到，
解得，则切线方程为，设和的切点为，
且，由斜率的几何意义得，解得，
代入中，得到切点为，代入中，
得到，解得，故A正确.
故选A
6．【答案】A
【详解】因为，
所以，而，
则方程有且仅有一个根，
得到，即，
而是正项数列，得到，
则，又，得到，
令，，且，
得到是首项为，公比为的等比数列，
则，得到，即，
故，得到，故A正确.
故选A
7．【答案】C
【详解】因为，所以，.
由，得，
则，即，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
对于A，可得，则，
得到，即，故A错误，
对于B，可得，则，
得到，即，故B错误，
对于C，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故C正确，
对于D，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故D错误.
故选C
8．【答案】B
【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，由题意：，
不妨令，，得：．
由角平分线定理：，即：，
，一方面：，
另一方面：，
(负舍)，
故双曲线的离心率为：.
故选B.

9．【答案】BCD
【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字，
而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数，
为，故A错误，
对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次，
则乙组数据的众数是，故B正确，
对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为，
乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件，
从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为，
得到，，而相互独立，
由独立事件概率公式得，故C正确；
对于D，甲组的平均成绩为厘米，
乙组的平均成绩为厘米，
则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后，
甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确.
故选BCD
10．【答案】AD
【详解】由题设，椭圆，得，
则，，
对于A，因为在椭圆上，所以，
而，即，
则，得，故，
所以，故A正确；
对于B，若，则，
又，故，
故，故直线的斜率为，
故直线的方程为，
由可得，故或，
故直线被椭圆截得的弦长为，故B错误；
对于C，设，则，即，，
因为是以为其中一腰的等腰三角形，，
故或，
当时，则，
解得或（舍），故，
可知满足条件的有2个，即，
由椭圆的对称性可知时，满足条件的有2个，
所以满足条件的共有4个点，故C错误；
对于D，由题意，圆的半径为，
设，则，设的中点为，连接，
则，故，
又，
则，故，
故，
因为在第一象限，故在第三象限，
故的斜率存在且为正数，设直线的斜率为，
则直线，则，故，
则直线，又圆，
由可得，解得或，
故，则，得，
故，故，故D正确.

故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】由为偶函数，得：，
故，
令，
则：，
即：的图象关于对称；
继续求导，得：，
即：关于直线对称．
又由为奇函数，得：，
即：的图象以为对称中心.
是周期为的周期函数，
也是周期为的周期函数．
对于A，，故A正确；
对于B，，而题设条件无法支撑B错，
对于C，根据对称性，因为关于对称，则，
又因为的周期，则，
又因为关于直线对称，则，
则，
，C对；
对于D，同样根据对称性，，
故，D对.
故选ACD
12．【答案】
【详解】设，，直线斜率为，
因为倾斜角为，所以，则直线方程为，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，由焦半径公式得，
，
因为，所以，解得.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
当时，，则此时单调递增，得到不可能有两个零点，
当时，令，，令，，
得到在上单调递减，在上单调递增，
因为函数有两个零点，
所以需有，
而，此时满足，解得，则实数的取值范围是.
14．【答案】
【详解】由题意：对恒成立，
设，则，
设，
则，
因为，则，，，
设，，则，则在上单调递增，
则，则在上恒成立，
故在上单调递增，又，故，故在上单调递增，
又，
故.
15．【答案】（1）；
（2）证明见解析
【详解】（1）因为是公差大于0的等差数列，
所以设公差为，因为成等比数列，
所以，即，
解得或，因为，所以符合题意，
则，.
（2）由上问得，因为，
所以，则，
得到，
因为，所以，得到，即得证.
16．【答案】（1）；
（2）
（3）
【详解】（1）因为小长方形面积和为，
所以，
解得，而设平均分为，
得到，
，
即本次竞赛成绩的平均分为分.
（2）若从样本成绩为和的学生中共抽取6人，
且成绩在的人数为人，
在的人数为人，
即从的学生中取人，从中取人，
设这名学生分别为，2人中有来自组的学生的概率为，
则基本事件为，
，共有种基本事件，
符合条件的有，共种，
则，故2人中有来自组的学生的概率为.
（3）因为这6个分数的平均数，标准差，
所以这6个分数的平均数为分，，
则，解得，
设新的方差为，
，则这8个分数的方差为.
17．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为三棱柱的各棱长均相等，
所以不妨设棱长为，则，
得到是等边三角形，因为是的中点，
所以，且平面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为平面，所以，
因为是棱的中点，
所以，而，由勾股定理得，
同理可得，则，，，，
，，由中点坐标公式得，，
由题意得，则，设，
故，得到，，即，
由中点坐标公式得，则，
，，设面的法向量为，
得到，，
令，解得，，故，
则，而面，故平面.
（2）由上问得，，，
，，则，，
，设面的法向量为，
则，，
令，解得，，得到，
设直线与平面所成角为，
则.
18．【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【详解】（1）由，
得：，
令，对称轴为：，
当，即时，，所以，即恒成立，
此时的单调增区间是，无减区间；
当时，即，
若，即，此时，即恒成立，
此时的单调增区间是，无减区间；
若，即，抛物线开口向上，与轴有两个交点；
令，可得：，
此时在，，即，
在，，即，
在，，即，
所以的单调递增区间：和，
单调递减区间：；
综上所述：时，单调增区间是，无减区间；
当时，单调递增区间：和，单调递减区间：；
（2）由（1）可知，若时，存在极大值，结合（1）中单调性知：
需满足，解得，
所以实数的取值范围.
（3），
存在零点在有解在有解，
令，，
令，显然与同号，
对恒成立，在上单调递增，
注意到：，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
，当时，，.
当时，由于，
故方程有解，有零点．证毕．
19．【答案】（1）16
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）双曲线的离心率，，.
（2）（i）联立：，
即：，
同理，有：．
，
同理，有：，
.
比较可得：．
（ii）由（i）知：当时，．
，且.
同理有：，
到的距离.
.
令，则，
令，解得，令，解得，
则当时，单调递减；当时，单调递增，
，当时，；当时，，
因此，
，
.
又时，.

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