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八年级下册四边形的证明压轴题
1.（渝北松树桥中学2024-2025八下期中）如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接．
求证：；
（3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值．
2. (八中2024-2025八下定时训练)在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当时，连接，请用含有的代数式表示；
（2）如图2，若点F恰好落在边上，点G、H分别在上，，求证：；
（3）如图3，当，，时，点M、N分别是线段上的动点，且，过A作，，连接，直接写出的最大值．
3.（七中2024-2025八下期中）在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，延长交于，求的度数；
（2）如图2，若，过点作交EC延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线EC于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
4. （2024-2025长寿实验中学八下期中）四边形是菱形，，点是边上一点，连接，．
（1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长；
（2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：；
（3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值．
5. （2024-2025长寿川维中学八下期中）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______
（2）点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围
6.（2024-2025巴川八下期中）如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：；
（3）如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值．
7.（巴蜀中学2024-2025期中）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点．
（1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长；
（2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系；
（3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值．
8.(重庆实验中学2024-2025八下期中) 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点．
（1）如图1．当时，若，求的长；
（2）如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：．
（3）如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值．
9.（2024-2025江津二中联盟八下期中）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F．
（1）如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系．
10. (2024-2025重庆十八中八下期中)如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状；
（3）如图3，若，，，是的中点，求的长．八年级下册四边形的证明压轴题
1.（渝北松树桥中学2024-2025八下期中）如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接．
求证：；
（3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值．
解析：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴， ，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
又，
，
∴CG=BH，
，
，
，
；
（3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，
∵是正方形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴最小值为．
2. (八中2024-2025八下定时训练)在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当时，连接，请用含有的代数式表示；
（2）如图2，若点F恰好落在边上，点G、H分别在上，，求证：；
（3）如图3，当，，时，点M、N分别是线段上的动点，且，过A作，，连接，直接写出的最大值．
解析：（1）∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）：在上取点，使，连接，
∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）：在中，，，BE=1，
∴AE=2BE=2，
由旋转的性质得，
过点作交直线于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AG=ME，，即是等腰直角三角形，作于点，
∴，
作于点，作交直线于点，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴当在同一直线上时，有最大值，最大值为的长，
在中，，，，
∴，
∴的最大值为．
3.（七中2024-2025八下期中）在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，延长交于，求的度数；
（2）如图2，若，过点作交EC延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线EC于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
解析：（1）解：在正方形中，根据题意得，
∵，
，
，
，
，
，
∴的度数为；
（2）：BG+DG=AG，理由如下：
如图：过点作交的延长线于点H，
四边形是正方形，
∴BA=BC=BE, ，
，
，且，
，
，
又∵AG⊥EG，
，
，
在和中，
，
，
又，
∴是等腰直角三角形，即，
又，
，
在和中，
，
，
在等腰中，
，
即，
∴BG+DG=AG；
（3）：如图所示，连接BE， ， ，
，
当点位于和的交点时最小，
将线段绕着点旋转，得到线段BE，
，
，
四边形为正方形，
∴, ，，
，
∴BD=，，
∴DE=BD-BE=，
，
，
∴DH=DE=，
∴HC=4-(，
设，则，
在中，由勾股定理可得：
，
在中，由勾股定理可得：
，
在中，由勾股定理可得：
，
又∵AM=MH+AH，
∴，
解得: ，
∴MB=MC+CM=4+4；
∵BE=AB=BC，，，
，
，即，
，，
，
∴DL=DH=，
，，
∴∠DAN=∠DCL，，
，
，
∴DN=DL=，
∴
4. （2024-2025长寿实验中学八下期中）四边形是菱形，，点是边上一点，连接，．
（1）如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长；
（2）线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接．求证：；
（3）如图3，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在射线上运动的过程中，当取最小值时，直接写出的值．
解析：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，菱形边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，，
，
为等腰直角三角形
在中，
（2）证明：如下图，延长至H，使得，连接
，
线段绕点逆时针旋转得到线段
，
又
∴CE=FH
点是AF中点，
为的中位线
(3)解：如下图，过点作于点，过点作垂线，垂足为
设
，
为等腰直角三角形
将线段绕点逆时针旋转得到线段
，
，即
点的运动轨迹在直线上，当点与点重合时，取最小值
如下图，过点作，交的延长线于点
此时， DE⊥AE
，
，
∵CK⊥AB
为等腰直角三角形
5. （2024-2025长寿川维中学八下期中）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______
（2）点E在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围
解析：（1）解：如图1，取的中点P，连接．
则，
∵点E是的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①成立，理由如下：
如图2，在上取一点P，使，连接，
则，
由（1）得：，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，过D作DH⊥CF交于点H，连接，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，
∴，
∴，
当A、F、H三点共线时，即最短，
此时AF+DF=AH，，
在中，由勾股定理得：，
此时；
当与相等时，即A、D、F三点共线，
此时，
则；
∴的周长c的取值范围是．
6.（2024-2025巴川八下期中）如图平行四边形中，，过点C作交于点E，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：；
（3）如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值．
解析：（1）解：∵∠B=45°，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴设AE=x，则，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或x=-2（不符合题意，舍去），
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，即，
如图，作交的延长线于，
则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴， BC=AD=10，，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于，
则，，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴∠COM=45°，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值，
∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，
则四边形为平行四边形，
∴，
由轴对称的性质可得，，，
∴，
由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为，
作交的延长线于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即的最小值为，
∴的最小值为．
7.（巴蜀中学2024-2025期中）已知平行四边形中，，，，过点作交边于点．
（1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长；
（2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系；
（3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值．
解析：（1）解：如图所示，过点作ET⊥AD于点，
∵∠B=45°，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，，为中点，
∴，
∵∠B=45°，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点、K’、R共线，
∵，
∴，
∴点R的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，
如图，过点作直线的对称点，连接，
由对称得，
∴，当且仅当、R、依次共线时，取得最小值，
此时点R位置如图，过点R作于点，过点作于点V，
∵，∠B=45°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由对称得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，RH⊥BC，
∴，
∴，，
作点R关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点X，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，
由（1）知与间的距离为，
∴，
∴，
∵，平行四边形中，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
8.(重庆实验中学2024-2025八下期中) 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点．
（1）如图1．当时，若，求的长；
（2）如图2，过点A作于点G，连接，有，求证：．
（3）如图3，，将沿直线折叠，得到．过点做交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值．
解析：（1）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
∵，，
，
；
【小问2详解】
证明：如图②，过点作，交于点H，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又，，
∴，
，
，
∴
，
又∵,
∴，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
【小问3详解】
解： 由折叠得：，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴当最小时，最小，最大，最大，
过点作，如图，
∵，
又∵，
∵点与点重合时，，最小，，
此时，故点、H、三点共线，、互相重合；如图。
∴最大时，
，
，
当最大时，的值为．
9.（2024-2025江津二中联盟八下期中）综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F．
（1）如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（2）如图1，求证：；
（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系．
解析：（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点E作交的延长线于点G，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴在中，，
在与中，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3），理由如下：
如图，过点E作交于点G，设与的交点为点P，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在与中，
∴，
∴，
又∵，
∴．
10. (2024-2025重庆十八中八下期中)如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状；
（3）如图3，若，，，是的中点，求的长．
解析：（1）证明：∵AF平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∠BDG=60°；是等边三角形；
∵，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四边形是菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵AF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）解：如图，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
根据解析（2）可知，，
∵M为中点，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，，
∴，
∴．

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