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10.2 消元——解二元一次方程组 复习（第2课时）
数学人教版（2024）七年级下册
　　1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，就可将二元一次方程组转化为________________．可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
一元一次方程
　　2．代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用________________________的式子表示出来，再代入另一个方程，实现____________，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫作__________________，简称代入法．
含另一个未知数
消元
代入消元法
　　3．加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数________或________时，把这两个方程的两边分别________或________，就能消去这个未知数，得到一个_________________，这种方法叫作加减消元法，简称____________．
相反
相等
相加
相减
一元一次方程
加减法
　4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．
　　解：设笼中有鸡 x 只、兔 y 只．
　　根据题意，得
　　由①，得 x＝35－y．③
　　把③代入②，得 2(35－y)＋4y＝94，
解得 y＝12．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝12 代入③，得 x＝23．
　　答：笼中有鸡 23 只、兔 12 只．
　　 1．用适当的方法解方程组
类型一、整体思想在解方程组中的应用
　　分析：解题的关键是利用整体思想把 x＋y 和 x－y 分别看成整体进行消元，先求 x＋y，x－y 的值，再求 x，y 的值．
　　解：②×6，得 3(x＋y)＋(x－y)＝6．③
　　③－①，得 5(x－y)＝2，
即 x－y＝ ．
　　把 x－y＝ 代入①，得 x＋y＝ ．
　　解方程组
　　得
　　所以原方程组的解为
利用整体思想解二元一次方程组的步骤
　　第 1 步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子；
　　第 2 步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解；
　　第 3 步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值．
归纳
　　2．已知方程组 的解为 求方程
组 的解．
　　解：把(x＋2)和(y－1)分别看成整体 A，B，
　　则所求的方程组可转化为
　　分析：运用整体思想解二元一次方程组的前提是方程组中每一个方程都有相同结构的式子．
　　因为方程组 的解为
　　所以
　　解得
　　即
　　所以原方程组的解为
　　3．解方程组
类型二、系数成对称关系的二元一次方程组的解法
　　分析：若方程组中两个方程的 x 与 y 的系数成对称关系，则先把两个方程相加和相减，转化为关于 x＋y，x－y 的方程组，再利用加减消元法求解．
　　②－①，得 x－y＝1．④
　　将③④联立，得
　　解：①＋②，得 25x＋25y＝75，即 x＋y＝3．③
　　解得
　　所以原方程组的解为
　　对于系数成对称关系的二元一次方程组，通过两方程加减重新构造方程组解答比较简单，也可直接用加减消元法或代入消元法求解，但过程比较烦琐．
类型三、利用二元一次方程组求代数式的值
　　4．已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值为____________．
　　解析： 把 代入方程组，得
　　由①＋②，得 a＋b＝－4．
　　由①－②，得 5a－5b＝10，即 a－b＝2．
　　所以 (a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．
－8
　　已知二元一次方程组求关于未知数的式子的值时，有时不必解方程组，可将所求式子看作一个整体，利用方程组中两个方程之间的相关运算直接求出式子的值．
归纳
　　5．若 x，y 的值满足方程组 则 ＋ ＝_______，
－ ＝_______．
　　由①＋②，得 ＋ ＝80，则 ＋ ＝16．
　　由①－②，得 － ＝10．
16
10
　　解析：
类型四、同解方程（组）的应用
　　6．已知关于 x，y 的方程组 和 有相同的解，求(－a)b 的值．
　　分析：因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组中不含有 a，b 的两个方程联立，组成新的方程组，求出 x 和 y 的值，再将 x，y 的值代入含有 a，b 的两个方程中，解关于 a，b 的方程组即可得出 a，b 的值，进而可求得(－a)b 的值．
　　解方程组①，得
　　解：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为
　　解得
　　代入方程组②，得
　　所以(－a)b＝(－2)3＝－8．
　　7．若关于 x，y 的方程组 的解也是方程 3x＋2y＝17 的一个解，求 m 的值．
　　①－②，得 3y＝－6m，即 y＝－2m．
　　把 y＝－2m 代入①，得 x－4m＝3m，所以 x＝7m．
　　解：方法 1 ：
　　把 x＝7m，y＝－2m 代入 3x＋2y＝17，得 21m－4m＝17，
　　解得 m＝1．
　　①×3－②，得 2x＋7y＝0．
　　方法 2 ：
　　联立 2x＋7y＝0 与 3x＋2y＝17，得方程组
　　解这个方程组，得
　　解得 m＝1．
　　把 代入①，得 7－4＝3m，
利用同解方程（组）求字母参数的方法
　　当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数或通过运算可将字母参数消去的二元一次方程组成新的方程组，并求出新方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），解方程（组）进而求得字母参数的值．
归纳
类型五、有关二元一次方程组的新题型
　　8．定义一种运算“◎”，规定 x◎y＝ax－by，a，b 为常数，且 2◎3＝6，4◎2＝8，则 a＋b 的值是__________．
　　解得
　　所以 a＋b＝ ．
　　解析：因为 x◎y＝ax－by．
　　所以 2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，
　　即
题目
类型
整体思想在解方程组中的应用
系数成对称关系的二元一次方程组的解法
利用二元一次方程组求代数式的值
有关二元一次方程组的新题型
同解方程（组）的应用
消元解二元一次方程组的灵活应用

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