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高考押题预测 二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2025 市中区校级模拟）已知（1+2x）n（n∈N*）的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025 海淀区校级开学）已知的展开式中常数项为6，则n＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2025 宝鸡模拟）（1+2x+3x2）5展开式中x3的系数为（　　）
A．200 B．230 C．120 D．180
4．（2025 长沙校级开学）已知（1﹣ax2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数a的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2
5．（2025 河南校级二模）x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．﹣4
6．（2025 芜湖一模）若（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，则实数a为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
7．（2025 湖南模拟）的展开式中的常数项为（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣12
8．（2025 山东模拟）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 龙岩校级月考）已知，则（　　）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为
D．
（多选）10．（2024秋 辽宁月考）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（　　）
A．二项式系数最大的项是第4项
B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为
D．系数最大的项是第3项
（多选）11．（2024秋 锡山区校级期末）已知f（x）＝（2x﹣3）n的展开式的二项式系数的和为512，且f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+ +an（x﹣1）n，下列选项正确的是（　　）
A．a1+a2+ +an＝1
B．
C．f（6）除以8所得的余数为1
D．a1+2a2+3a3+…+nan＝18
（多选）12．（2024秋 白银期末）已知，则（　　）
A．
B．a0+a1+a2+ +a11＝0
C．
D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 河南模拟）已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为 　 　．（用数字作答）
14．（2025春 广州校级月考）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 　 　．
15．（2025 南阳模拟）（2x2+y）10的展开式的第8项是 　 　．
16．（2025 南阳模拟）设（其中a，b∈Q），则a＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 德州期末）在的二项展开式中．
（1）若n＝6，求展开式中含x整数次幂项的系数之和；
（2）若展开式含有常数项，求最小的正整数n的值．
18．（2024秋 卓尼县校级期末）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15．试在是三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中x2的系数．
19．（2025 深圳一模）已知（x）n的展开式中共有9项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x4的系数；
（3）求二项式系数最大的项．
20．（2024秋 龙岩期末）已知，满足a0+a1+a2+…+an+1＝﹣32．
（1）求n的值；
（2）求a3的值．
高考押题预测 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 市中区校级模拟）已知（1+2x）n（n∈N*）的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得．
【解答】解：已知（1+2x）n（n∈N*）的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，
可得：，即，
化简得6（n﹣1）＝6+（n﹣1）（n﹣2），即：n2﹣9n+14＝0，
解得：n＝7或n＝2（舍去）．
即n＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
2．（2025 海淀区校级开学）已知的展开式中常数项为6，则n＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用二项展开式和组合数求出结果．
【解答】解：的展开式的通项公式为：Tr+1 xn﹣r （）r xn﹣2r，
当n＝2r时，6，故r＝2，n＝4．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：组合数，二项展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（2025 宝鸡模拟）（1+2x+3x2）5展开式中x3的系数为（　　）
A．200 B．230 C．120 D．180
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解．
【解答】解：（1+2x+3x2）5＝[1+（2x+3x2）]5，
由通项公式可得Tr+1 （2x+3x2）r，r＝0，1，2，3，4，5，
则x3的系数由（2x+3x2）r来确定，
由其通项公式可得T′ （2x）r﹣k （3x2）k 2r﹣k 3k xr+k，k＝0，1， ，r．
由r+k＝3（k≤r，r∈N*，k∈N），得或，
所以x3的系数为 23 30 21 31＝80+120＝200．
故选：A．
【点评】本题考查了二项式定理应用问题，是基础题．
4．（2025 长沙校级开学）已知（1﹣ax2）（1+x）4的展开式中x3的系数为12，则实数a的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣2
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】利用二项展开通项公式，结合题意得到（1﹣ax2）（1+x）4含x3的项为，从而得到关于a的方程，解之即可得解．
【解答】解：由（1+x）4的展开式通项为，含x3的项包含了r＝3和r＝1两项，
因为（1﹣ax2）（1+x）4＝（1+x）4﹣ax2（1+x）4，
所以（1﹣ax2）（1+x）4含x3的项为，
所以，可得a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
5．（2025 河南校级二模）x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为（　　）
A．2 B．6 C．4 D．﹣4
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】B
【分析】利用二项式的展开式的通项可求得x（1﹣x）4的展开式中x3的系数．
【解答】解：二项式（1﹣x）4的展开式的通项为，
x（1﹣x）4的展开式中x3的系数即为（1﹣x）4的展开式中x2的系数，
令r＝2，可得，
所以（1﹣x）4的展开式中x2的系数为6，所以x（1﹣x）4的展开式中x3的系数为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
6．（2025 芜湖一模）若（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，则实数a为（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】令x＝﹣1，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1+ax）5的展开式各项系数之和为﹣1，
令x＝1，
则（1+a）5＝﹣1，解得a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理，是基础题．
7．（2025 湖南模拟）的展开式中的常数项为（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣12
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；转化法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】可变形为，结合二项式的展开式的通项公式求结论．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：，k＝0，1，2，3，4，5，
因为，
所以展开式的常数项为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
8．（2025 山东模拟）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】二项式系数的性质．
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式中二项式系数的性质求解．
【解答】解：由题意，展开式一共有13项，即n＝12．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春 龙岩校级月考）已知，则（　　）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为
D．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果
【解答】解：由于，
对于A，二项式系数之和为，故A正确；
对于B，令x＝﹣1，得32021＝a0﹣a1+a2﹣a3+ ﹣a2021，①
令x＝1，得﹣1＝a0+a1+a2+a3+ +a2021，②
①+②，可得32021﹣1＝2（a0+a2+ +a2020），∴，故B正确；
对于C，①﹣②，得32021+1＝﹣2（a1+a3+ +a2021），∴，故C错误；
对于D，令x＝0，得a0＝1，令，得．
∴，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 辽宁月考）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（　　）
A．二项式系数最大的项是第4项
B．展开式没有常数项
C．各项系数之和为
D．系数最大的项是第3项
【考点】二项式定理的应用．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据二项式系数之和是64可求出n的值，再结合二项式定理求解即可．
【解答】解：因为的展开式中二项式系数之和是64，
所以2n＝64，
解得n＝6，
则的通项为Tr+1，
对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，故A正确；
对于B，令0，得r＝2，
所以常数项为T3，故B错误；
对于C，令x＝1得，各项系数之和为，故C错误；
对于D，由通项可知，当r为偶数时，系数才有可能取到最大值，
又因为T1x3，T3，T5，T7，
所以系数最大的项是第3项，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于中档题．
（多选）11．（2024秋 锡山区校级期末）已知f（x）＝（2x﹣3）n的展开式的二项式系数的和为512，且f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+ +an（x﹣1）n，下列选项正确的是（　　）
A．a1+a2+ +an＝1
B．
C．f（6）除以8所得的余数为1
D．a1+2a2+3a3+…+nan＝18
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】直接利用组合数，二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．
【解答】解：f（x）＝（2x﹣3）n的展开式的二项式系数的和为512，故2n＝512，解得n＝9；
故对于A：，当x＝2时，a0+a1+a2+...+a9＝1，当x＝1时，a0＝﹣1，故a1+a2+...+a9＝2，故A错误；
对于B：|a0|+|a1|+...+|a9|＝﹣a0+a1﹣a2+...+a9＝﹣（﹣3）9＝39，故B正确；
对于C：f（6），故余数为1，故C正确；
对于D：对于：，两边取导数，
故9×2×（2x﹣3）8＝a1+2a2（x﹣1）+...，令x＝2，故a1+2a2+3a3+...+9a9＝18，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：赋值法的应用，二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 白银期末）已知，则（　　）
A．
B．a0+a1+a2+ +a11＝0
C．
D．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法即可求解．对于选项A，令x＝0即可求解；对于选项B，令x＝1即可求解；对于选项C，令x＝﹣1，与x＝1时的式子作差即可求解；对于选项D，令x＝2，结合选项A即可求解．
【解答】解：已知，
令x＝0，得，故选项A正确；
令x＝1，得a0+a1+a2+ +a11＝1①，故选项B错误；
令x＝﹣1，得②，
由①﹣②得，故选项C正确；
令x＝2，得，
则，
得，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 河南模拟）已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为 　60　．（用数字作答）
【考点】二项展开式的通项与项的系数；二项式系数与二项式系数的和．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】60．
【分析】利用二项式的通项公式，列方程求解可得n的值，进而求解结论．
【解答】解：由题设知，，解得n＝6．
所以展开式的通项公式为Tr+1 （﹣1）r ，
令r＝0，解得r＝2，所以展开式的常数项是T3＝（﹣1）2 60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，以及二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，是基础题．
14．（2025春 广州校级月考）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 　﹣160　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】﹣160．
【分析】由二项式系数性质得n值，然后由二项展开式通项公式确定常数项．
【解答】解：的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则n＝6，
故展开式的通项公式为：，
由3﹣r＝0得r＝3，
所以常数项为T4＝（﹣2）3 160．
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
15．（2025 南阳模拟）（2x2+y）10的展开式的第8项是 　960x6y7　．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】960x6y7．
【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解．
【解答】解：根据二项式展开式的通项公式，可得（2x2+y）10的展开式的第8项为T8 （2x2）3 y7＝960x6y7．
故答案为：960x6y7．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16．（2025 南阳模拟）设（其中a，b∈Q），则a＝ 　239　．
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】239．
【分析】利用二项展开式计算的值，即可得出a的值．
【解答】解：因为
，其中a、b∈Q，
故a＝239．
故答案为：239．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 德州期末）在的二项展开式中．
（1）若n＝6，求展开式中含x整数次幂项的系数之和；
（2）若展开式含有常数项，求最小的正整数n的值．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）1270；（2）7．
【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式结合整数幂分类写出项即可计算系数和；
（2）根据二项式展开式的通项公式得出常数项即可计算得出最小值．
【解答】解：在，
（1）当n＝6时，展开式的通项公式为
（r＝0，1，2，3，4，5，6），
当r＝0时，，所以展开式中含x12项的系数为，
当r＝3时，，所以展开式中含x5项的系数为，
当r＝6时，，所以展开式中含x﹣2项的系数为，
所以展开式中含x整数次幂项的系数之和为1270．
（2）展开式的通项公式为，
令，解得，因为n∈N*，
所以当n＝7时，r取得最小值6，此时展开式含有常数项，
所以最小的正整数n的值为7．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
18．（2024秋 卓尼县校级期末）在的展开式中，_____．
给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15．试在是三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中x2的系数．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）n＝6，展开式常数项为160；
（2）400．
【分析】（1）若选①利用二项式系数和公式先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选②利用赋值法先求n，结合展开式通项公式可求常数项；若选③利用二项式定理先求n，结合展开式通项公式可求常数项；
（2）利用二项式定理及其展开式通项可求指定项系数．
【解答】解：二项式为：，
（1）若选①，易知2n＝64，则n＝6，此时的常数项为；
若选②，令x＝1，则，
则n＝6，此时的常数项为；
若选③，易知，则n＝6，此时的常数项为；
（2）由上可知不论选①②③，都有n＝6，
则问题为求展开式中x2的系数，
所以展开式中含x2的项为：，和160x2，
而240x2+160x2＝400x2，所以其系数为400．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
19．（2025 深圳一模）已知（x）n的展开式中共有9项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x4的系数；
（3）求二项式系数最大的项．
【考点】二项式系数的性质；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）8；
（2）112；
（3）1120．
【分析】（1）根据二项展开式的性质即可求解；
（2）根据通项公式即可求解结论；
（3）根据二项式系数的性质即可求解结论．
【解答】解：（1）由题意得n十1＝9，解得n＝8．
（2）由（1）可知（x）8展开式的通项为 Tr+1 x8﹣r （）r ＝2r x8﹣2r，
令8﹣2r＝4，解得r＝2，
则T3＝22x4 ＝112x4．
故展开式中x4的系数为112．
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为T5 ＝24x0＝1120．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
20．（2024秋 龙岩期末）已知，满足a0+a1+a2+…+an+1＝﹣32．
（1）求n的值；
（2）求a3的值．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）n＝5；
（2）a3＝﹣10．
【分析】（1）令x＝1即可得解．
（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为，满足a0+a1+a2+…+an+1＝﹣32．
令x＝1时，，
可得n＝5．
（2）由（1）知，
故，
所以a3＝﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
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