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高考押题预测 复数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南模拟）已知复数z＝a+bi（a，b∈R）满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 青浦区校级模拟）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
3．（2025春 浙江月考）若复数z满足（2﹣i）z＝3i，则复平面内复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025 孝义市模拟）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（　　）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝1，b＝2
5．（2024秋 肇东市校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝i+i2，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．0
6．（2024秋 威海期末）已知复数z＝1+2i，则（z）z＝（　　）
A．4+8i B．4﹣8i C．4i﹣8 D．4i+8
7．（2025 安顺模拟）已知复数z＝1﹣2i，则为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 五华区模拟）在复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点之间的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）复数z1，z2满足z1+z2＝4，z1 z2＝8，则（　　）
A．|z1| |z2|＝8 B．|z1﹣z2|＝4 C．|z1|+|z2|＝4 D．
（多选）10．（2025 江苏开学）在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，，则（　　）
A．|z1z2|＝| |
B．|z1﹣z2|＝||
C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0
D．若||＝||，则 0
（多选）11．（2025 东昌府区校级模拟）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（　　）
A．为纯虚数
B．若|z|＝2，则
C．若|z+i|＝1，则Z的轨迹是以（0，﹣1）为圆心，半径为1的圆
D．若，则
（多选）12．（2025 苏州模拟）已知复数z1＝3﹣4i，z2＝x+yi（x，y∈R）（i为虚数单位），则（　　）
A． B．
C． D．若|z2﹣z1|≤2，则|z2|≤7
三．填空题（共4小题）
13．（2025 青浦区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2＝z﹣2i，则z＝ 　 　．
14．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　 　．
15．（2025 德州开学）已知复数z满足z（1+i）＝1+5i，则|z|＝ 　 　．
16．（2025 广东模拟）设复数z满足|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+kmin＝2，则称z1，z2关于r的“差比模”是协调的．
（1）若，求z1，z2关于z0的“差比模”；
（2）若，是否存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由；
（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求的值．
18．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
19．（2024春 嘉陵区校级期中）已知复数，i为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
20．（2024春 金牛区校级期中）如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，4+3i，﹣3+5i，试求：
（1）对角线所表示的复数；
（2）求B点对应的复数．
高考押题预测 复数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南模拟）已知复数z＝a+bi（a，b∈R）满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的模；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；数形结合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由复数的模可得a2+b2＝1，又表示圆上的点（a，b）与点（﹣2，0）连线的斜率，由直线与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：由题意可得，所以，
化简得a2+b2＝1，表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，
表示圆上的点（a，b）与点（﹣2，0）连线的斜率，
设为k，则过点（﹣2，0），斜率为k的直线为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，
由直线与圆有交点，得，解得，
所以的最大值为．
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于中等题．
2．（2025 青浦区校级模拟）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（　　）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一条抛物线上 D．一支双曲线上
【考点】复数与复平面中的轨迹问题．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件设出z，化简，由此确定正确答案．
【解答】解：根据题意可知，复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，
设圆的半径为r，则可设z＝r（cosθ+isinθ），
则，
的对应点均在半径为的圆上．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的性质，属于基础题．
3．（2025春 浙江月考）若复数z满足（2﹣i）z＝3i，则复平面内复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数对应复平面中的点；复数的除法运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可根据几何意义求解．
【解答】解：由题意，zi，
在复平面内对应的点为（，），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
4．（2025 孝义市模拟）已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（　　）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝1，b＝2
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：a﹣2i＝（b+i）i＝﹣1+bi，
则a＝﹣1，b＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．
5．（2024秋 肇东市校级期末）已知i是虚数单位，复数z＝i+i2，则|z|＝（　　）
A．1 B．2 C． D．0
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】利用复数的运算及复数的模公式即可求解．
【解答】解：z＝i+i2＝﹣1+i，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算及复数的模公式，属于基础题．
6．（2024秋 威海期末）已知复数z＝1+2i，则（z）z＝（　　）
A．4+8i B．4﹣8i C．4i﹣8 D．4i+8
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：复数z＝1+2i，
则，
故（z）z＝4i（1+2i）＝﹣8+4i．
故选：C．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
7．（2025 安顺模拟）已知复数z＝1﹣2i，则为（　　）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1﹣2i，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
8．（2025 五华区模拟）在复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点之间的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
【考点】复数对应复平面中的点；复数的加、减运算及其几何意义．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点分别为（2，1），（3，﹣1），
则两点之间的距离为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）复数z1，z2满足z1+z2＝4，z1 z2＝8，则（　　）
A．|z1| |z2|＝8 B．|z1﹣z2|＝4 C．|z1|+|z2|＝4 D．
【考点】复数的混合运算；复数的模．
【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，求解即可．
【解答】解：依题意得，复数z1，z2是方程x2﹣4x+8＝0的两个根，
x2﹣4x+8＝0可得Δ＝（﹣4）2﹣4×8＝﹣16＝（4i）2，
解得x2±2i，则z1＝2+2i，z2＝2﹣2i，
所以|z1| |z2|228，选项A正确；
|z1﹣z2|＝|4i|＝4，选项B正确；
|z1|+|z2|＝224，选项C错误；
||＝||1，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了复数模的定义与运算问题，是基础题，
（多选）10．（2025 江苏开学）在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别为，，则（　　）
A．|z1z2|＝| |
B．|z1﹣z2|＝||
C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0
D．若||＝||，则 0
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据题意，设z1＝a+bi，z2＝c+di，其中i为虚数单位，a、b、c、d∈R，则可得（a，b），（c，d），根据复数的四则运算法则与复数模的公式、平面向量数量积的运算性质，对各项的结论依次进行验证，即可得到本题的答案．
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，其中a、b、c、d为实数，i为虚数单位．
则（a，b），（c，d），
对于A，z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（bc+ad）i，
可得|z1z2|，
而| |＝|ac+bd|，可得|z1z2|≠| |，故A项不正确；
对于B，z1﹣z2＝a﹣c+（b﹣d）i，可得|z1﹣z2|，
而（a﹣c，b﹣d），可得||．
所以|z1﹣z2|＝||，可知B项正确；
对于C，若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，即|a﹣c+（b﹣d）i|＝|a+c+（b+d）i|，
可得，
化简得ac+bd＝0，可知z1z2＝ac﹣bd+（bc+ad）i≠0，故C项不正确；
对于D，若||＝||，即（）2＝（）2，整理得 0，故D项正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算法则、平面向量数量积的运算性质与模的公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
（多选）11．（2025 东昌府区校级模拟）若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（　　）
A．为纯虚数
B．若|z|＝2，则
C．若|z+i|＝1，则Z的轨迹是以（0，﹣1）为圆心，半径为1的圆
D．若，则
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；纯虚数．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，举例判断即可，对于B，根据复数模的性质分析判断，对于C，设z＝x+yi（x，y∈R），再由|z+i|＝1可得答案，对于D，设z＝a+bi，然后由可得a＝b，再化简判断．
【解答】解：对于A，若，不是纯虚数，故A错误；
对于B，因为|z|＝2，所以，故B正确；
对于C，设z＝x+yi（x，y∈R），|z+i|＝1即x2+（y+1）2＝1，
表示圆心在（0，﹣1），半径为1的圆，故C正确；
对于D，设z＝a+bi（a，b∈R），则，
b﹣a+（a﹣b）i＝0，解得a＝b，
，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．
（多选）12．（2025 苏州模拟）已知复数z1＝3﹣4i，z2＝x+yi（x，y∈R）（i为虚数单位），则（　　）
A． B．
C． D．若|z2﹣z1|≤2，则|z2|≤7
【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数的概念求，复数模的定义求，判断A，根据复数的乘法运算法则求，结合复数的模的定义求，由此判断B，结合复数的乘法法则，模的定义求判断C，结合复数的模的几何意义判断D．
【解答】解：由z2＝x+yi，得，
∴，，
即，故A正确；
由z1＝3﹣4i，得，
则，故B错误；
∵，|z1z2|＝|z1||z2|，又，∴，故C正确；
由|z2﹣z1|≤2，得，
可得点（x，y）到点（3，﹣4）的距离小于等于2，
故点（x，y）在以（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆上或圆内，
∴，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 青浦区校级模拟）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2＝z﹣2i，则z＝ 　2i　．
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意化简出，利用复数的除法运算，即可得答案．
【解答】解：iz+2＝z﹣2i，
则1+i2+2i＝2i．
故答案为：2i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　　．
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：，
则z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
15．（2025 德州开学）已知复数z满足z（1+i）＝1+5i，则|z|＝ 　　．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据复数运算法则求z的代数形式，再根据模的计算公式求结论．
【解答】解：由z（1+i）＝1+5i，
得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
16．（2025 广东模拟）设复数z满足|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝　i　．
【考点】共轭复数；复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】i．
【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．
【解答】解：复数z满足|1﹣i|+iii，
则复数zi，
故答案为：i．
【点评】本题考查了复数模的计算公式、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 唐县校级期末）对于z0，z1，z2∈C，记为z1，z2关于z0的“差比模”．若取遍|z0|＝r（r＞0），记z1，z2关于|z0|＝r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+kmin＝2，则称z1，z2关于r的“差比模”是协调的．
（1）若，求z1，z2关于z0的“差比模”；
（2）若，是否存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由；
（3）若z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，若z1，z2关于r的“差比模”是协调的，求的值．
【考点】复数的模；复数的三角表示．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）z1，z2关于z0的“差比模”为；
（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的，证明详见解析；
（3）．
【分析】（1）根据“差比模”的定义进行运算；
（2）根据“差比模”协调的定义以及共轭复数的性质、复数的模的性质，可推出kmax+kmin＞2，故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；
（3）根据“差比模”协调的定义结合复数的三角表示，根据三角函数的有界性将问题以及韦达定理对所求式子进行转化和求解．
【解答】解：（1）由题意得：||＝||
＝||＝||＝||，故z1，z2关于z0的“差比模”为；
（2）不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的．理由如下：
先证明共轭复数有如下性质：若任意z1，z2∈C，则±，．
证明：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），
则a±c﹣（b±d）i，
而±a﹣bi±（c﹣di）＝a±c﹣（b±d）i，故±，
，
，故．
综上，共轭复数性质±，得证．
记当“差比模”取最大值kmax时的复数z0为zmax，即，
由已知，，所以|z1|＝|z2|，
由已证明共轭复数的性质与复数模的性质|z|＝||可得，
因为，
所以当z0＝zmax时取得kmax，则z0时取得kmin，故可知kmax kmin＝1，
由取遍|z0|＝r（r＞0），k＝||不恒为常数，则kmax≠kmin，
故由基本不等式可得kmax+kmin＞2，
故不存在r＜2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的；
（3）z1＝a，z2＝bi，a，b∈R且a，b＞r，设z0＝r（cosθ+isinθ），
则k＝||，
平方整理得：（a2+r2）﹣（b2+r2）k2＝2arcosθ﹣2brk2sinθ，
所以，即
[（a2+r2）﹣（b2+r2）k2]2≤4a2r2+4b2r2k4，
整理得：（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，
令t＝k2，设方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0，
则Δ＝[2（a2+r2）（b2+r2）]2﹣4[（b2﹣r2）（a2﹣r2）]2＝16（a2b2+r4）（a2+b2）r2＞0，
故方程有两个不等的实数根，设为m，n，不妨设m＜n，
由题意知a＞r＞0，b＞r＞0，a2﹣r2＞0，b2﹣r2＞0，
则m+n，且mn，
故方程（b2﹣r2）2t2﹣2（a2+r2）（b2+r2）t+（a2﹣r2）2＝0有两不等的正实数根m，n，
由关于k2的不等式（b2﹣r2）2k4﹣2（a2+r2）（b2+r2）k2+（a2﹣r2）2≤0，
解得k2∈[m，n]，则kmax，，
由已知z1，z2关于r的”差比模”是协调的，则所以，
利用韦达定理，，
则有2（a2+r2）（b2+r2）+2（a2﹣r2）（b2﹣r2）＝4（b2﹣r2）2，化简可得a2＝b2﹣2r2，故．
【点评】本题主要考查复数的模和复数的三角表示，属于较难题．
18．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及i的运算性质可得{}＝{}；同理求得{}．则Ma可求；
（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω MZ．
【解答】（1）解：由，得，
∴，，
当时，∵，，
∴{}＝{}；
当时，∵，
∴{}．
∴Ma＝{}；
（2）证明：∵ω∈MZ，
∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．
于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），
由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，
∴Mω MZ．
【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（2024春 嘉陵区校级期中）已知复数，i为虚数单位．
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
【考点】复数的除法运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）m＝﹣4，n＝5．
【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得z＝2﹣i，即可求得；
（2）将z代入方程x2+mx+n＝0，利用复数相等的概念即可求得m＝﹣4，n＝5．
【解答】解：（1）因为复数，
所以；
（2）因为复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，
所以（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，
可得4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，即（3+2m+n）﹣（m+4）i＝0，
所以，解得m＝﹣4，n＝5．
【点评】本题考查了复数的四则运算，共轭复数的求法，是基础题．
20．（2024春 金牛区校级期中）如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，4+3i，﹣3+5i，试求：
（1）对角线所表示的复数；
（2）求B点对应的复数．
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）7﹣2i；
（2）1+8i．
【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解；
（2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解．
【解答】解：（1）因为，
所以所表示的复数为（4+3i）﹣（﹣3+5i）＝7﹣2i；
（2）因为，
所以所表示的复数为（4+3i）+（﹣3+5i）＝1+8i．
即B点对应的复数为1+8i．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
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