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高考押题预测 函数概念与性质
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浙江月考）若函数为奇函数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2025 市中区校级模拟）函数y＝loga（9﹣ax）在区间（1，3）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，3） D．（1，3]
3．（2025 东昌府区校级模拟）设有集合A＝{x|x2+ax﹣1≥0}，定义在R上的函数为偶函数，求（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024秋 威海期末）已知函数，若对 x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有，则（　　）
A． B．a≤0 C．a≥﹣3 D．a≥1
5．（2024秋 会泽县期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x﹣2），若x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（99）＝（　　）
A．3 B．﹣1 C． D．1
6．（2025 安顺模拟）函数，若 x∈（1，+∞），不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
7．（2025 五华区模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣2b），a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f（x）≥0，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（0，+∞）
8．（2024秋 新吴区校级期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）设定义在R上的函数f（x）和g（x），记g（x）的导函数为g'（x），且满足f（x）+g′（x）＝4，f（x﹣1）﹣g′（3﹣x）＝4，若g（x）为奇函数，则下列结论一定成立的有（　　）
A．f（2）+f（4）＝8 B．f（2025）＝4
C． D．g′（4）＝0
（多选）10．（2025 邢台模拟）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（2）＝0．则下列命题正确的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）在定义域R上单调递减
C．函数f（x）在[a，b]（a∈Z，b∈Z）上的最大值为2﹣a
D．f（x）关于（1，0）中心对称
（多选）11．（2025 五华区模拟）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中cosh（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
C． x∈R，f（x）≥a
D．cosh（2x）＝2[cosh（x）]2﹣1
（多选）12．（2024秋 会泽县期末）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝4|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 青浦区校级模拟）设m∈R，已知，若f（m+1）＜1，则m的取值范围为 　 　．
14．（2024秋 昆明期末）已知定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x）在[0，3]上单调递减，若f（2a﹣1）＞f（1），则实数a的最小值为　 　．
15．（2024秋 昆明期末）已知函数，则f（f（﹣1））的值为 　 　．
16．（2024秋 会泽县期末）已知f（x）＝ax2+xlnx+x﹣1，且f（1）＝1，f（x）＝xg（x）， 　 　，对于任意正整数n，且n≥2，记，求S（2025）＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 上海月考）设定义域为R的函数y＝f（x），对于r＞0，定义．
（1）设f（x）＝2x+1，求S1；
（2）设f（x）＝4x2+a，是否存在a，使得S1是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；
若不存在，请说明理由．
（3）函数y＝g（x）的定义域是（0，+∞），函数值恒正，其导函数为y＝g′（x）；当x＞0时，0＜g′（x）＜1．若对任意r＞0，均有Sr＝[﹣g（r），g（r）]，求证：“函数y＝f（x）是R上的严格增函数”当且仅当“{x|f（x）≥0}＝[0，+∞）”．
18．（2025春 淅川县校级期中）已知函数f（x）＝log3x+blogx9+2，x∈（0，1）∪（1，+∞）．
（1）若b＝﹣1，求方程f（x）＝1的解；
（2），不等式f（x）≥3sinθ+8对于 x∈[3，27]恒成立，求实数b的取值范围．
19．（2025春 柘荣县校级月考）已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）f（1） g（1）的值；
（2）令．
①用函数单调性的定义判断H（x）的单调性．
②若不等式H[g2（x）]+H[（1﹣m）f（x）]＞H（0）对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
20．（2025 盐山县校级一模）已知函数f（x），点A（1，5），B（2，4）是f（x）图象上的两点．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值．
高考押题预测 函数概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 浙江月考）若函数为奇函数，则实数m＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】应用奇函数的定义结合指数运算及余弦函数的奇偶性或f（0）＝0结合特殊角的三角函数值计算求参即可．
【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
即得，
所以，即得．
必有m＝2．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，注意奇函数的定义，属于基础题．
2．（2025 市中区校级模拟）函数y＝loga（9﹣ax）在区间（1，3）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，3） D．（1，3]
【考点】复合函数的单调性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可．
【解答】解：根据题意，函数y＝loga（9﹣ax），
设t＝9﹣ax，y＝logat，
由于a＞0且a≠1，则t＝9﹣ax为减函数，
若函数y＝loga（9﹣ax）在区间（1，3）上是减函数，
则，解可得1＜a≤3，
故a的取值范围是（1，3]．
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
3．（2025 东昌府区校级模拟）设有集合A＝{x|x2+ax﹣1≥0}，定义在R上的函数为偶函数，求（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先根据函数χA（x）为偶函数，求出a的值，在求的值．
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数为偶函数，
而集合A＝{x|x2+ax﹣1≥0}，
则不等式x2+ax﹣1≥0的解集关于原点对称．
设f（x）＝x2+ax﹣1，则f（x）为偶函数．
由f（x）＝f（﹣x） x2+ax﹣1＝（﹣x）2+a（﹣x）﹣1 a＝0．
得A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
所以
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性，属于中档题．
4．（2024秋 威海期末）已知函数，若对 x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有，则（　　）
A． B．a≤0 C．a≥﹣3 D．a≥1
【考点】复合函数的单调性．
【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】问题转化为函数g（x）＝f（x）﹣x在（1，3）上单调递减，令t＝ax2﹣2x﹣1，可得t＝ax2﹣2x﹣1在（1，3）上单调递减，然后对a分类讨论求解．
【解答】解：不妨设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
由，得f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，
即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，
令g（x）＝f（x）﹣x，
可知该函数在（1，3）上单调递减，
令t＝ax2﹣2x﹣1，由函数y＝2t是定义域内的增函数，
则t＝ax2﹣2x﹣1在（1，3）上单调递减，
当a＝0时，符合题意；
当a＞0时，需，即a；
当a＜0时，需，可得a＜0．
综上所述，．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性及其应用，考查化归与转化思想，是中档题．
5．（2024秋 会泽县期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x﹣2），若x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（99）＝（　　）
A．3 B．﹣1 C． D．1
【考点】抽象函数的奇偶性；奇函数偶函数的性质．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，分析函数的周期性，结合奇偶性可得f（99）＝f（1），由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），则f（x）＝f（x+4），
又由f（x）为偶函数，f（99）＝f（﹣1+100）＝f（﹣1）＝f（1），
而x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝1，
故f（99）＝1．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性，注意分析函数的周期性，属于中档题．
6．（2025 安顺模拟）函数，若 x∈（1，+∞），不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性进行转化不等式，然后再由恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为，
易得f（x）为奇函数且在R上单调递减，
若 x∈（1，+∞），不等式恒成立，
则f（x+2m）＜﹣f（）＝f（）在x∈（1，+∞）上恒成立，
所以x+2m在x∈（1，+∞）上恒成立，
即x﹣1m2﹣2m﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，
因为x﹣12，当且仅当x﹣1，即x＝2时取等号，
所以2＞m2﹣2m﹣1，
解得﹣1＜m＜3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
7．（2025 五华区模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣2b），a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f（x）≥0，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（0，+∞）
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；向量法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据三次函数的性质，结合穿根法判断．
【解答】解：因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，则f（x）的零点是x1＝a，x2＝b，x3＝a+2b，
要使f（x）≥0，在x≥0上恒成立，如图：
当三个零点都小于零时，符合题意；
如图：
当存在正根时，则必定是重根（即两个正根，一个负根），
当a＝b＞0时，a+2b＞0，不符合题意；
当a+2b＝a＞0时，b＞0，不符合题意；
当a+2b＝b＞0时，a＝﹣b＜0，符合题意；
综上，满足（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0恒成立时，只有a＜0．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想，属于中档题．
8．（2024秋 新吴区校级期末）函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性，排除选项，然后通过特殊值判断选项即可．
【解答】解：函数，
可得f（x），所以函数是奇函数，排除B；
当x＞0时，f（x）＞0，排除C；
又f（10）f（100），排除D；
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，函数的图象的判断，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湛江一模）设定义在R上的函数f（x）和g（x），记g（x）的导函数为g'（x），且满足f（x）+g′（x）＝4，f（x﹣1）﹣g′（3﹣x）＝4，若g（x）为奇函数，则下列结论一定成立的有（　　）
A．f（2）+f（4）＝8 B．f（2025）＝4
C． D．g′（4）＝0
【考点】抽象函数的周期性；抽象函数的奇偶性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用已知得出g′（x）的图象关于（1，0）对称，又得出g′（x）是偶函数，从而它的周期性，然后通过g′（x）的值计算出f（x）相应的值，判断各选项．
【解答】解：根据题意，f（x）和函数g（x）的导数g（x）满足f（x）+g′（x）＝4，
变形可得：f（x﹣1）+g′（x﹣1）＝4．
又f（x﹣1）﹣g′（3﹣x）＝4，所以g′（x﹣1）＝﹣g′（3﹣x），即g′（x）＝﹣g′（2﹣x），
所以g′（x）关于（1，0）对称，g′（1）＝0．
又因为g（x）是奇函数，故g′（x）是偶函数，所以g′（x）满足条件g′（x+4）＝g′（x），
依次分析选项：
对于A，因为g′（4）＝﹣g′（﹣2）＝﹣g′（2），所以g′（4）+g′（2）＝0，
所以f（2）+f（4）＝4﹣g′（2）+4﹣g′（4）＝8﹣[g′（4）+g′（2）]＝8，A正确；
对于B，f（2025）＝4﹣g′（2025）＝4﹣g′（1）＝4，B正确；
对于C，因为g′（3）＝﹣g′（﹣1）＝﹣g′（1）＝0，所以g′（1）+g′（2）+g′（3）+g′（4）＝0，
所以，C正确；
对于D，g′（4）＝g′（0），但不一定为0，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数周期性的判断，涉及函数奇偶性的性质和应用，属于中档题．
（多选）10．（2025 邢台模拟）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣2．当x＜0时，f（x）＞2，且f（2）＝0．则下列命题正确的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）在定义域R上单调递减
C．函数f（x）在[a，b]（a∈Z，b∈Z）上的最大值为2﹣a
D．f（x）关于（1，0）中心对称
【考点】奇偶性与单调性的综合；定义法求解函数的单调性．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用赋值法计算可得A正确；根据函数单调性定义证明可得B正确；令y＝1可知f（x+1）＝f（x）﹣1，类比等差数列通项公式可得C正确；由对称中心定义可得D错误．
【解答】解：对于A，令x＝y＝1，可得f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣2，又f（2）＝0，可得f（1）＝1，即A正确；
对于B，取 x1，x2∈R，且x1＜x2，可得x1﹣x2＜0；
则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）+f（x2）﹣2﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣2，
由x＜0时，f（x）＞2，可得f（x1﹣x2）﹣2＞0，即f（x1）＞f（x2），
即f（x）在定义域R上单调递减，可得B正确；
对于C，令y＝1，可知f（x+1）＝f（x）+f（1）﹣2＝f（x）﹣1，
即f（x+1）﹣f（x）＝﹣1，可知当x∈N*时，f（x）是公差为﹣1的等差数列；
由选项B可知f（x）在[a，b]（a∈Z，b∈Z）上单调递减，所以最大值为f（a），类比等差数列通项公式可得f（a）＝f（1）+（a﹣1）×（﹣1）＝2﹣a，即C正确；
对于D，令x＝﹣y，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣2＝2，即f（x）+f（﹣x）＝4，可知f（x）关于（0，2）中心对称，即D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断和应用，涉及抽象函数的对称性，属于中档题．
（多选）11．（2025 五华区模拟）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中cosh（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增
C． x∈R，f（x）≥a
D．cosh（2x）＝2[cosh（x）]2﹣1
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新文化类．
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的定义可知选项A正确，通过导数可知选项B错误，由基本不等式可知选项C，结合指数基本运算检验选项D．
【解答】解：由题知，定义域为R，
所以，f（x）是偶函数，故选项A正确；
对函数求导得，
当x∈（﹣∞，0）时，（coshh（x））'＜0，此时函数cosh（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，（coshh（x））'＞0，此时函数cosh（x）单调递增，
单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞），
又a＞0，所以函数在（﹣∞，0）单调递增，
由复合函数的单调性，可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项B错误．
由基本不等式可知，当且仅当x＝0时取等号，故选顶C正确；
2[cosh（x）]2﹣1＝2×（）2﹣1，
cosh（2x），故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 会泽县期末）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数的是（　　）
A． B．y＝4|x|
C．y＝lg（x2+1） D．
【考点】复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，其定义域为[0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝4|x|，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意；
对于C，设f（x）＝lg（x2+1），其定义域为R，有f（﹣x）＝lg（x2+1）＝f（x），则f（x）为偶函数，
设t＝x2+1，则y＝lgt，
t＝x2+1在（﹣∞，0）上递减，而y＝lgt在（0，+∞）上递增，
则y＝（﹣∞，0）lg（x2+1）上是减函数，符合题意；
对于D，设f（x）＝ln（x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝ln（x）＝﹣ln（x）＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，不符合题意．
故选：BC．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 青浦区校级模拟）设m∈R，已知，若f（m+1）＜1，则m的取值范围为 　（﹣2，0）　．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣2，0）．
【分析】讨论m+1＜1、m+1≥1，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案．
【解答】解：因为，
若m+1＜1，即m＜0时，（m+1）2＜1，可得﹣2＜m＜0；
若m+1≥1，即m≥0时，m+2＜1，可得m＜﹣1，不符合题意，
综上，m的取值范围为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）
【点评】本题主要考查了不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
14．（2024秋 昆明期末）已知定义在[﹣3，3]上的奇函数f（x）在[0，3]上单调递减，若f（2a﹣1）＞f（1），则实数a的最小值为　﹣1　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】结合函数性质可得函数f（x）在[﹣3，3]上单调递减，结合函数的单调性及定义域化简不等式可得结论．
【解答】解：奇函数f（x）的定义域为[﹣3，3]，且在[0，3]上单调递减，
故f（x）在[﹣3，3]上单调递减，
f（2a﹣1）＞f（1） ﹣3≤2a﹣1＜1，
解得﹣1≤a＜1，
所以a的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，为中档题．
15．（2024秋 昆明期末）已知函数，则f（f（﹣1））的值为 　﹣1　．
【考点】函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣1．
【分析】根据分段函数解析式计算可得．
【解答】解：由题意可知，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝3，
所以f（f（﹣1））＝f（3）＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
16．（2024秋 会泽县期末）已知f（x）＝ax2+xlnx+x﹣1，且f（1）＝1，f（x）＝xg（x）， 　2　，对于任意正整数n，且n≥2，记，求S（2025）＝ 　4050　．
【考点】函数的值．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2；4050．
【分析】由f（1）＝1可得a＝1，进而可求g（x），然后求出g（x）+g（），结合g（x）+g（）进而可求．
【解答】解：因为f（x）＝ax2+xlnx+x﹣1，且f（1）＝a＝1，
所以a＝1，f（x）＝x2+xlnx+x﹣1，
因为f（x）＝xg（x），
所以g（x）＝x+lnx+1，则g（）lnx+1﹣x，
2，
因为
所以S（2025）＝g（）+g（）+…+g（）+g（2）+…+g（）+g（）
＝2×2025＝4050．
故答案为：2；4050．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 上海月考）设定义域为R的函数y＝f（x），对于r＞0，定义．
（1）设f（x）＝2x+1，求S1；
（2）设f（x）＝4x2+a，是否存在a，使得S1是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；
若不存在，请说明理由．
（3）函数y＝g（x）的定义域是（0，+∞），函数值恒正，其导函数为y＝g′（x）；当x＞0时，0＜g′（x）＜1．若对任意r＞0，均有Sr＝[﹣g（r），g（r）]，求证：“函数y＝f（x）是R上的严格增函数”当且仅当“{x|f（x）≥0}＝[0，+∞）”．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】（1）；
（2）存在，[﹣1，1）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据题设有，化简并解一元二次不等式求S1；
（2）构造g（x）＝16x4+（8a+1）x2+（a2﹣1），对其求导并讨论、研究S1是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围；
（3）从充分、必要性两方面判断“函数y＝f（x）是R上的严格增函数”与“{x|f（x）≥0}＝[0，+∞）”的推出关系，即可证结论．
【解答】解：（1）由题设，将x2+（2x+1）2≤1化简得5x2+4x≤0，
解得，故．
（2）因为f（x）＝4x2+a，代入定义得：16x4+（8a+1）x2+（a2﹣1）≤0，
构造函数g（x）＝16x4+（8a+1）x2+（a2﹣1），
故g′（x）＝64x3+2（8a+1）x＝x（64x2+16a+2），令g'（x）＝0，
当时，存在t∈R，g′（t）＝0；所以当x＝0、x＝±t时，g'（x）＝0，
进一步，列表可得：
x （﹣∞，﹣t） ﹣t （﹣t，0） 0 （0，t） t （t，+∞）
g′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +
g（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由此x＝0是函数y＝g（x）的极大值点，故当g（0）＜0时，S1是一段闭区间，
因此，
特别地，当a＝﹣1时，g（t）＜0，g（0）＝0，g（﹣t）＜0，故S1仍是一段闭区间，
故．
当时，当且仅当x＝0时，g'（x）＝0．
同理，x＝0是函数y＝g（x）的极小值点，且取得最小值，
当g（0）＜0时，S1是一段闭区间，由此得，
综上所述，存在满足条件的a，且a∈[﹣1，1）．
（3）证明：假设f（0）≠0，若r0∈（0，|f（0）|），则，因此矛盾，故f（0）＝0，
①先证充分性：
引理：对任意x＞0，当满足r2＝x2+f2（x）时，x＝g（r），
已知x∈Sr，x≤g（r）．
假设x＜g（r），设g（r）＝x0，任取r0＜r，r2＝x2+f2（x）＞r0，则，
因为函数y＝g（x）是严格增函数，所以g（r0）＜g（r），即，
所以x0＝g（r）＞x＞g（r0），由此g（r）﹣g（r0）＞x0﹣x，
因此考虑构造h（x）＝g（x）﹣x，当r0＞r﹣x0+x，则h（r）﹣h（r0）＞x0﹣x﹣r+r0＞0，
而h′（x）＝g′（x）﹣1＜0，函数是y＝h（x）严格减函数，h（r）﹣h（r0）＜0，故矛盾，
即x＝g（r），
下面证明函数y＝f（x）在（0，+∞）上为严格增函数：
任取x1＞x2＞0，若，，
联立上式可得．
而g（r1）＝x1，g（r2）＝x2，又因为y＝h（x）是严格减函数，
则x1﹣x2＜g（r1）﹣g（r2）＜r1﹣r2.由于r1＞x1，r2＞x2，
所以，故f（x1）＞f（x2）．
同理，可证函数y＝f（x）在（﹣∞，0）上为严格增函数，且f（0）＝0，
故函数y＝f（x）在R上为严格增函数，因此充分性得证．
②再证必要性：
因为函数y＝f（x）是R上的严格增函数且f（0）＝0，
当x＜0时，f（x）＜f（0）；当x≥0时，f（x）≥f（0），
因此{x|f（x）≥0}＝[0，+∞），因此必要性得证．
【点评】本题考查函数恒成立问题，属于中档题．
18．（2025春 淅川县校级期中）已知函数f（x）＝log3x+blogx9+2，x∈（0，1）∪（1，+∞）．
（1）若b＝﹣1，求方程f（x）＝1的解；
（2），不等式f（x）≥3sinθ+8对于 x∈[3，27]恒成立，求实数b的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；对数方程求解．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）或x＝3；
（2）．
【分析】（1）将函数化为，设t＝log3x，得到关于t的方程，解方程即可求得结果；
（2）根据正弦函数值域可将问题转化为在t∈[1，3]上恒成立，分离变量，结合二次函数最值可求得结果．
【解答】解：（1），
设t＝log3x，因为x∈（0，1）∪（1，+∞），所以t∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
所以方程f（x）＝1可化为：，解得：t＝﹣2或t＝1，所以或x＝3．
（2）当时，sinθ∈[﹣1，1]，所以（3sinθ+8）min＝5；
由（1）知：f（x）可化为，
当x∈[3，27]时，t＝log3x∈[1，3]，所以在t∈[1，3]上恒成立，
即2b≥﹣t2+3t在t∈[1，3]上恒成立，
当时，，所以，解得，
即实数b的取值范围为．
【点评】本题主要考查方程的解的求法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2025春 柘荣县校级月考）已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）+g（x）＝2x+1．
（1）f（1） g（1）的值；
（2）令．
①用函数单调性的定义判断H（x）的单调性．
②若不等式H[g2（x）]+H[（1﹣m）f（x）]＞H（0）对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；定义法求解函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①判断过程见解析；②（﹣∞，1）．
【分析】（1）求出f（﹣x）+g（﹣x），f（x）﹣g（x），联立即可求解f（x）和g（x），代值计算可得f（1） g（1）的值；
（2）①将函数H（x）的解析式变形为，然后利用函数单调性的定义证明即可；
②先证明出函数H（x）为R上的奇函数，求出H（0），证明原题可转化为（2x﹣2﹣x）2＞（m﹣1）（2x+2﹣x）对任意的x∈R恒成立，令t＝2x+2﹣x（t≥2），根据单调性即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，f（x）+g（x）＝2x+1①，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2﹣x+1②，
由①②得：f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x，
所以f（1）g（1）．
（2）①，定义域为R，
x1、x2∈R，且x1＜x2，
有，
因为y＝4x在R上单调递增，且x1＜x2，所以，，
所以H（x1）﹣H（x2）＜0，所以H（x）是R上的增函数；
②因为，
又，故H（x）为R上的奇函数，
根据奇函数的性质可得，H（0）＝0，
故H[g2（x）]＞﹣H[（1﹣m）f（x）]＝H[（m﹣1）f（x）]对任意的x∈R恒成立，
又因为H（x）为R上增函数，所以g2（x）＞（m﹣1）f（x）对任意的x∈R恒成立，
即（2x﹣2﹣x）2＞（m﹣1）（2x+2﹣x）对任意的x∈R恒成立，
令t＝2x+2﹣x，则，
当且仅当2x＝2﹣x时，即当x＝0时，等号成立，此时t的最小值为2，
故t≥2，
故（2x﹣2﹣x）2＝22x+2﹣2x﹣2＝（2x+2﹣x）2﹣4＝t2﹣4，
所以t2﹣4＞（m﹣1）t对任意的t≥2恒成立，即对任意的t≥2恒成立，
函数在[2，+∞）上单调递增，故，所以m﹣1＜0，即m＜1．
因此，实数m的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
20．（2025 盐山县校级一模）已知函数f（x），点A（1，5），B（2，4）是f（x）图象上的两点．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值．
【考点】函数的最值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝1，b＝8；
（2）最大值为5，最小值为．
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入求解即可；
（2）由题意可得f（x）2，根据函数在[1，3]上的单调性求解即可．
【解答】解：（1）因为点A（1，5），B（2，4）在f（x）的图象上，
所以，解得，
所以a＝1，b＝8；
（2）由（1）可知f（x）2，
易知f（x）在[1，3]上单调递减，
所以f（x）max＝f（1）＝5，f（x）min＝f（3），
所以函数f（x）在[1，3]上的最大值为5，最小值为．
【点评】本题考查了求函数的解析式、根据函数的单调性求最值，属于基础题．
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